新教材人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊各章綜合測驗及模塊測驗含答案解析

人教B選擇性必修第一冊綜合測驗

第一章空間向量與立體幾何.....................................................1

第二章平面解析幾何.........................................................15

模塊綜合測驗..................................................................28

第一章空間向量與立體幾何

一'單項選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.在平行六面體A8C0-A5C。中，向量相、和、就是()

A.有相同起點的向量B.等長的向量

C.共面向量D.不共面向量

ggc

解相向量而、而、而顯然不是有相同起點的向量,A不正確；

由該平行六面體不是正方體可知，這三個向量不是等長的向量,B不正確.

又：,初一病=麗=后方，

/.AB'.AD',BD共面,C正確,D不正確.

2.已知2=(-2,-3,1歷=(2,0,4)￡=(-4,-6,2),則下列結論正確的是()

A.a〃c,b〃cB.a/7b,a±c

C.a〃c,aJ_bD.以上都不對

ggc

解析解=(-2,-3,l),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),.：a,b=-4+0+4=0,.：a_l_b.

3.在長方體ABCD-AIBIGDI中，瓦？+近+西=()

A.D/iB.取

C.DB]D.BD]

ggD

畫如圖所示，

長方體ABCO-AIBIGOI中,

瓦?+就+西=（函4-麗）+西=前+西=西.

4.如圖所示，已知空間四邊形ABC。,連接ACBDMG分別是BC,CD的中點，則方+

g麗+：前等于（）

A.ADB.GA

CAGD.MG

ggc

VM,G分別是BC,CD的中點,

1於M1

---

22

-->1-->1-->-->--->--->--->-->-->

.MB+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.

22

5.在四棱錐P-ABCD中，荏=(4,-2,3),同=(-4,1,0),荏=(-6,2,-8),則這個四棱錐的高h等于

()

A.lB.2C.13D.26

答案|B

阿函設平面ABCD的法向量為n=（x,y,z）,

(nAB=0,

4x-2y+3z=0,

則.而即

n=0,-4%+y=0.

不妨令x=3,則y=12,z=4,可得n=(3,12,4),

四棱錐的高/片粵=^=2.

\n\13

6.已知兩不重合的平面a與平面ABC,若平面a的法向量為m=(2,-3,1),存=(1,0,-

2),前=(1,1,1),則()

A.平面a〃平面ABC

B.平面a_L平面A3C

C.平面a、平面ABC相交但不垂直

D.以上均有可能

fgA

理責由題意,ni-荏=2xl+(-3)x0+lx(-2)=0,得mJ_荏,ni?元=2xl+(-3)xl+lxl=0,得ni

1.AC,

所以平面A8C,所以平面a的法向量與平面ABC的法向量共線，則平面a〃平

面ABC.

7.直線AB與直二面角a-lf的兩個面分別交于A,8兩點，且A,B都不在棱I上,設直線AB

與a/所成的角分別為。和夕,則e+(p的取值范圍是()

A.0°<0+9<90°B.0°<6+衿90°

C.90°<8+s<180°D.6+夕=90°

假畫如圖，分別過點A,3向平面尸,a作垂線，垂足為4囚,連接84481.

由已知a,及所以因此NB4B=0,NA84I=9.由最小角定理得N

BAA126,而Na44+s=90°,故。+3=8+90°-ZBA4i^90°,

當AB，/時,8+9=90°，應選B.

8.長方體4AM3A4-8以&&的底面為邊長為1的正方形，高為2,則集合3工=瓦瓦?

4出/￡{123,4}{1,2,3,4}}中元素的個數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

ggc

儲畫廠長方體4424344-81&&84的底面為邊長為1的正方形，高為2,

.：建立如圖的空間直角坐標系，

則A?(1,1,0)42(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),

Bi(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),

則不％=(-1,0,2),

與石瓦=(0,0,2)相等的向量為灰瓦=A3B3=石瓦，此時灰瓦?4瓦=2x2=4,

與不瓦=(0,-1,2)相等的向量為不瓦，此時不瓦?灰瓦=2x2=4,

與石瓦*=(0,1,2)相等的向量為軟瓦，此時不瓦?乖上2x2=4,

與瓦瓦=(1,0,2)相等的向量為不瓦，此時灰瓦?瓦瓦=-1+4=3,與無瓦=(-1,0⑵相等

的向量為瓦瓦，

此時不瓦?不瓦=1+4=5,

體對角線向量為=(-11,2),此時不瓦-=1+4=5,瓦瓦=(1,-1,2),/祖'?

A2B4=-l+4=3,

京=(1,1,2),京?砌=-1+4=3,

值;=(-1,1,2),用瓦?瓦瓦=1+4=5,

綜上集合{x|x=不瓦?硒,iW{1,2,3,4}/W{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的個數(shù)為3

個.

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分.

9.設向量a,b,c可構成空間一個基底，下列選項中正確的是()

A.若a_Lb,b_Lc,貝！Ja±c

B.則a,b,c兩兩共面，但a,b,c不可能共面

C.對空間任一向量p,總存在有序實數(shù)組(x,y,z),使p=ra+yb+zc

D.則a+b,b+c,c+a一定能構成空間的一個基底

答案|BCD

解析由a,b,c是空間一個基底，知：

在A中,若a_Lb,b_Lc,則a與c相交或平行，故A錯誤；

在B中,a,b,c兩兩共面，但a,b,c不可能共面，故B正確；

在C中，對空間任一向量p,總存在有序實數(shù)組(x,y,z),使p=xa+.yb+2C,故C正確；

在D中,a+b,b+c,c+a一定能構成空間的一個基底，故D正確.

10.已知向量2=(1,2,3)方=(3,0,-1)?=(-1,5,-3),下列等式中正確的是()

A.(ab)c=bc

B.(a+b)-c=a-(b+c)

C.(a+b+c)2=a2+b2+c2

D.|a+b+c|=|a-b-c|

答案|BCD

解稠A.左邊為向量，右邊為實數(shù)，顯然不相等，不正確；

B.左邊=(4,2,2)(1,5,-3)=0,右邊=(1,2,3>(2,5,-4)=2+10-12=0,.：左邊=右邊，因此正確.

C.a+b+c=(3,7,-1),左邊=32+72+(-1)2=59,右邊=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(一

3產=59,

.:左邊=右邊，因此正確.

D.由C可得左邊=聞，：.a-b-c=(-l,-3,7),

.：m1)工|=聞，.：左邊=右邊，因此正確.故BCD正確.

11.在正方體A3C0-A出GA中,E,F,G,"分別為AB,CGAOi,GDi的中點，則下列結論

正確的是()

\.AiE±AC\B.8F〃平面ADOIAI

C.BFLDGD.AtE//CH

答案|BCD

|解析卜殳正方體的棱長為1,以。為原點,D4QC,。。所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，則AI(1,0,1),￡(1,J,0),C(0,1,0),F(0,1,|),CI(0,1,1),W(

0,i1),GQ,0,1)4(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,0),

則砧==(-l,O,i),DG=g,0,1),CH=

所以《:?宿=，，所以A\E與ACi不垂直，故A錯誤；

顯然平面ADDiAi的一個法向量v=(0,1,0),

有加?v=0,所以BF〃平面AOOiAi,故B正確；

BF?麗=0,所以即」。G,故C正確；

砧=上百，所以4E〃C”,故D正確.

12.將正方形45co沿對角線8D折成直二面角A-3Q-C有如下四個結論：

①②△ACD是等邊三角形;③43與平面BCD所成的角為60°;④43與CD所

成的角為60°.其中正確的結論有()

A.①B.②C.③D.④

|答案,BD

fZ

解胡如圖所示，建立空間直角坐標系。孫z,設正方形A8CO的邊長為企，則0(1,0,0),8(-

l,0,0),C(0,0,1)次(0,1,0),所以前=(0,-1,1),前=(2,0,0),麗=(1,O,-1W=(l,-l,0),AB=(-1,-

l,0W-BD=0,

故AC，8。,。正確.

又|北|=夜,|而|=&,|而|=a,

所以△ACD為等邊三角形，②正確.

對于③為平面BCD的一個法向量，

cos<福而>=亙旦

I福麗I

=(-1,-1,0)-(0,1,0)_V2

V2V1-V2i2■

因為直線與平面所成的角6[0°,90°],所以AB與平面BCD所成的痢為45°,故③

錯誤.

又cos<AB,CD>=ABCD

IABIICDI

_(-l,-l,0)(l,0,-l)_1

V2V2i25

因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以AB與CD所成的角為60°,故@正確.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.在棱長為a的正四面體中，屈-JC+AC-BD=.

2

gg-aT

齷畫棱長為。的正四面體中H3=3C=a,且方與近的夾角為120°,AC1BD./.AB-

BC+AC-BD=a-acosl20°+0=--.

2

14.已知2=(1,2,-)，)]=(*,1,2),且但+21))〃(22-1)),貝!]xy=.

gg-2

由題中條件得a+2b=(1+2r,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2j-2),E)(a+2b)//(2a-b),

所以存在AGR使得1+2x=，2-x)且4=32且-y+4=2(-2y-2),所以2=；K=[J=-4,所以

xy=-2.

15.設PA，RtA43C所在的平面a,ZBAC=90°,PB,PC分別與a成45°和30°

角,PA=2,則PA與BC的距離是;點P到BC的距離是.

mv3V7

解耐作AD_L3C于點。，

p

：/A，面ABC,

.：PA_LAD.：A￡>是PA與BC的公垂線.

易得A3=2,AC=2b，BC=4,AO=K,連接PD,則POL3cp到BC的距離PD=回

16.已知向量01=伍力,0）,11=（（?,41）,其中02+〃=/+^=],現(xiàn)有以下命題：

。向量n與z軸正方向的夾角恒為定值（即與c,d無關）；

@n-n的最大值為企；

&km,n>（m,n的夾角）的最大值為斗；

定義uxv=|u|?|v|sin<u,v>,則|mxn|的最大值為企.

其中正確的命題有.（寫出所有正確命題的序號）

gg①③④

解析|①取z軸的正方向單位向量a=（0,0,l）,

則cos<n,a>=7--=,2:一=馬=邑，,：向量n與z軸正方向的夾角恒為定值2,

|n||a|Vc2+d2+l2xlV224

命題正確；

.」一。2+。2b2+d2a2+c2+b2+d21+11

（^irn=ac+0dW--------1--------=---------------=——=1,

2222'

當且僅當時取等號，因此m?n的最大值為1,命題錯誤；

③由（2）^[得|m?n|<1,?：?1WnvnW1,

.mn

..cos<m,n>=——

|m||n|

ac+bd=2

Va2+d2Vc2+d2+l2—lxV22!

.：<m,n>的最大值是小，命題正確;

4

④由值可知:年Wcos<m,n>wj,

?：2W<m,n>W郊，淳<sin<m,n>WL?：mxn=|m|x|n|xsin<m,n><lx&xl=魚,命

442

題正確.

綜上可知，正確的命題序號是⑦③④

四、解答題:本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）如圖所示，在四棱錐M-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的正方形，側棱AM的

長為3,且AM和A3,A。的夾角都是60°,N是CM的中點，設a=彳^,b=同,。=詢，試以

a,b,c為基向量表示出向量前，并求BN的長.

gfi/V=5C+CW=AD+1CM=AD+|（AM-AC）=AD+|[AM-（AD+AB）]

=4希+四+網.

所VABN=-|a+|b+jc,

麗2=前2=(_4+%+%)2

222

=-(a2+b2+c2-2a-b-2a-c+2b-c)=—.

44

18.（12分）如圖，正三棱柱ABC-AxB\C\中，底面邊長為傘.

（1）設側棱長為1,求證:

⑵設AB\與BCy所成的角為;，求側棱的長.

(1)怔明福=AB+兩，西=蔣+~BC.

因為平面ABC,

所以兩?通=0,兩?BC=0.

又△ABC為正三角形，

所以</B,BC>=TI-<BA,BC>=n-^=與.

因為福?~BC[=(AB4-西)?(西+BC)

.>....>>2.'”一‘>

—AB,BBI+AB,BC+B+BB】?BC

=\AB\-\BC\-cos<AB,BC>+BB^

=-1+1=0,

所以AB」3G.

⑵解由(1)知福?~BC^=\AB\-\BC\-cos<AB,BC>+'BB^2=西

又|AB1I=1AB2+BB1=不2+BB1=\BCT\,

---.2

所以cos(福，沆7>=出國=[,

2+西2

所以|西|=2,即側棱長為2.

19.(12分)已知空間中三點A(2,0,-2),3(11,-2),C(3,0,-4),設a=AB,b=AC.

⑴若|c|=3,且c〃近,求向量c;

(2)已知向量ka+b與b互相垂直，求k的值；

(3)求△ABC的面積.

解⑴：?空間中三點A(2,0,-2),B(1l,-2),C(3,0,-4),設a=AB,b=AC,

.：BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2),

:卜|=3,且c〃近，

?：c-mBC=m(2,l,-2)

?：|c|=(2m)2+m2+(-2m)2=3|m|=3,

.：〃2=壬1,.：c=(2,l,-2)或c=(-2,-l,2).

(2)由題得a=(-l,-l,0),b=(l,0,-2),

.:版+b=4-11,0)+(1,0,-2)=(1

:響量Aa+b與b互相垂直,.：(依+1))力=1/+4=0,解得％=5../的值是5.

(3)荏=(-1,-l,0W=(1,0,-2),FC=(2,1,-2),

cos<AB,AC>=^^-急=扁,sin＜荏心=后=高

\AB\-\AC|

.".S^ABC=^\AB\x\AC\xsin<AB,AC>=^X迎x?x島=宗

20.(12分)已知民AG,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.

(1)用向量法證明瓦EG,“四點共面；

⑵用向量法證明：8?！ㄆ矫鍱FGH-

(3)設M是EG和戶口的交點，求證:對空間任一點O,有麗=^(OA+OB+OC+OD).

|證明|(1)如圖，連接BGjBD=2EH,BC=2BF,JO']EG='EB+BG=~EB+^(BC+前)=麗4-

BF+EH=EF+EH,

由共面向量定理的推論知&F、G、”四點共面.

(2)因為前=用一荏=：而一1而

=；須一隔=渺.

所以EH〃BD,叉EHu平面EFGH,BDU平面EFGH,

所以BO〃平面EFGH.

A

(3)連接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,

由Q）知麗前,

_1..>'…—一>……一>

同理尸G=；BD,所以EH=FG,

EH〃FG,EH=FG,所以EG、FH交于一點M且被M平分，所以麗=^（0E+0G）=1

OD)]

+OB)+^(OC+

1-->-->--?--?

=：(0A+0B+0C+0D).

21.（12分X2021全國甲，理19）已知直三棱柱ABC-4BG中，側面A413B為正方

形,AB=BC=2,E,尸分別為AC和CCi的中點，。為棱43上的點

（1）證明:8/，?！?/p>

（2）當3D為何值時，平面8BGC與平面。bE所成的二面角的正弦值最小?

證明⑴如圖，連接4E,取BC中點M,連接

C

:分別為AC,8C中點，

.,.EM//AB.

又A8〃48i,.：A|Bi〃EM

則點四點共面，故DEu平面4BME又在側面BCGBi中,

MBBi,

?：NFBM=NMBiB.

又NM8]B+N3iM8=90°,

.：ZFBM+ZBlMB=90°,/.BFLMB\.

又8E，43i,MBinAi3i=8i,M8iASu平面48ME,.：3月，平面4BME,.：3尸，

DE.

(2),.'BFLA\B\,.,.BFLAB,

/.AF2=BF2+AB2=CF1+BC2+AB2=9.

又A/=尸。2+4。2,.：4。2=8,則AB±BC.

如圖，以8為原點,3C,BA,8BI為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則

B(0,0,0),C(2,0,0)4(0,2,0),￡(l,1,0),尸(2,0,1).則齊=(11,1),前=(-11,2),

設DBi=f,則D(0j,2),0WW2.

則平面B3GC的法向量為m=(0,1,0),設平面OEF的法向量為n=(x,y,z),.：

n=0,

n=0,

p-y+z=0,

1I-X+(t-l)y+2z=0,

?：n=(l+，32-。.

貝Ucos〈m,n>=、3—.3

J(l+t)2+32+(2^o

要求最小正弦值，則求最大余弦值.

當時二面角的余弦值最大，

則三時二面角正弦值最小.

22.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形4?！?。,/4。。=90°,平

面PA。，底面ABCRQ為AO的中點，〃是棱PC上的點,PA=PO=2,BC=IO=1,CO=V5.

L

AB

(1)求證:平面P5CL平面PQB;

(2)當PM的長為何值時，平面QM8與平面PDC所成的角的大小為60°?

(1)怔明|VAD//BC,Q為AO的中點,8C=I。，

.,.BC//QD,BC=QD,

.：四邊形BCDQ為平行四邊形,.：BQ〃CD

rZADC=90°,.'.BC±BQ.

VPA=PD,AQ=QD,.'.PQ±AD.

又丁平面PADJ_平面ABC。,平面PAOn平面ABCO=AO,.：PQJ_平面ABCD,/.PQ

IBC.

又：,PQnBQ=Q,.：3C，平面PQB.

:'BCu平面PBC,.：平面PBCL平面PQB.

⑵網由⑴可知PQ_L平面ABCD如圖，以Q為原點，分別以QA,Q8,QP所在直線為x軸,y

軸,z軸，建立空間直角坐標系，則G(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,V3),B(0,V3,0),C(-1,V3,0),

X

:.QB=(0,V3,0),DC=(0,V3,0),DP=(1,O,V3),PC=(-1,V3,-V3),

PC=J(-1)2+(V3)2+(-V3)2=V7.

設詢=加？，則詢=(U,何,-B),且0W/IW1，得M(-/l,V3/l,V3-V32),

.：QM=(-A,V3A,V3(1-A)).

設平面MBQ的法向量為m=(x,y,z),則

m=0,即C-Ax+V3Ay+V3(l-A)z=0,

m=0,[V3y=0.

令則產02e二^^..：平面MBQ的一個法向量為m=(V5,0,高).

設平面PDC的法向量為n=(￡,y,z),則

令％'=3,則y=O,z'=-V^?：平面POC的一個法向量為n=（3,0,-V3）.

?：平面QM8與平面POC所成的銳二面角的大小為60。，

.：cos60°=5=|31-后今|1

|n||m|g13+3)22

.U=|,.：PM=ipC=y.^^「加=?時，平面QM8與平面P0C所成的角大小為60°.

第二章平面解析幾何

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.在平面直角坐標系中，記d為點P（cos仇sin。）到直線x-my-2^0的距離，當6,m變化時0

的最大值為（）

A.lB.2C.3D.4

ggc

|解析|：cos26>+sin2^=l,

.：P為單位圓上一點,而直線mny-2=0過點4(2,0),."的最大值為|。4|+1=2+1=3,

故選C.

2.已知點P(-2,4)在拋物線y2=2px(p>0)的準線上，則該拋物線的焦點坐標是()

A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0)

Ige

庭畫因為點P(-2,4)在拋物線y2=2px的準線上，所以￡=-2,所以p=4,則該拋物線的焦點坐

標是(2,0).

3.已知直線/i：xcos2a+V5y+2=0,若八，/2,則傾斜角的取值范圍是()

A.日B.M

叱用唔%

H]c

解析因為l\:xcos2a+V3>'+2=0的斜率ki=-c°^ae[-日,o],當cosa=0時，即M=0時，女不存

在，此時傾斜角為之由/」/2,公用時，可知直線/2的斜率k=±->8，此時傾斜角的取值

范圍為時).

綜上可得/2傾斜角的取值范圍為植

丫2人

4.(2021全國乙，文11)設8是橢圓C：Y+/=1的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為

()

A.|B.V6C.V5D.2

ggA

阿相(方法一)由橢圓方程可得a=V5,b=1,故橢圓的上頂點為8(0,1).設P(x,y),則有

2

gv+V=L

故f=5(l-y2),由橢圓的性質可得?1WyW1.則|P5|2=x2+(y-l)2=5(l-y2)+(y-l)2=-4y2-

2y+6=-4(/+丫)+6=-4(y+"2+空.

JJ?J44

因為-10W1,所以當y=一時,|PB|2取得最大值，且最大值為所以|P8|的最大值為|.

(方法二)由題意可設P(V^cos6,sin⑨(。eR),又僅0,1),則|PB|2=5cos2^+(sin^-

l)2=5cos26+sii?d2sin0+1=-4sin282sin0+6,于是當sin，=2時,最大，此時|PB「=-

4

4x--2x(-i)+6=-i+-+6=—,

16\47424

故|P8|的最大值為李

5.在一個平面上,機器人到與點C(3,-3)的距離為8的地方繞C點順時針而行，它在行進過

程中到經過點A(-10,0)與8(0,10)的直線的最近距離為()

A.8V2-8B.8V2+8C.8V2D.12V2

ggA

|g而|機器人到與點C(3,-3)距離為8的地方繞C點順時針而行，在行進過程中保持與點C

的距離不變，

.：機器人的運行軌跡方程為(x-3)2+6+3)2=64,如圖所示；

：2(-10,0)與5(0,10),

?：直線AB的方程為+看=1，即為光-＞'+10=0,

則圓心C到直線A3的距離為4=畔雪=8近＞8,.：最近距離為80-8.

V1+1

6.設P是雙曲線捺一*1(。＞0力＞0)上的點,四尸2是焦點，雙曲線的離心率是2且N

BP尸2=90°，△丹產人的面積是7,則等于()

A.3+V7B.9+V7C.10D.16

藕A

7,

-2mn=，

健畫由題意，不妨設點P是右支上的一點,|PE|=m,|P尸2|=〃,則：=上42?:

77^Ii-C,

C_4

一3,

a=3,c=4.

.,.b=y/c2-a2=V7..,.a+b=3+V7.

7.位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地

看成拋物線,該橋的高度為〃，跨徑為則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為()

解析根據(jù)題意，以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,

該拋物線方程可寫為x2=-2/?^(p>0).

:?該拋物線經過點停,/),代入拋物線方程可得?=2%解得片方:橋形對應的拋

物線的焦點到準線的距離即為

p=—8九.

8.平面直角坐標系中，設4-0.98,0.56),3(1.02,2.56),點M在單位圓上，則使得為直

角三角形的點M的個數(shù)是()

A.lB.2C.3D.4

,A/r

-3-2-A023x

解冊根據(jù)題意，如圖，若△MAB為直角三角形，分3種情況討論：

(DZMAB=90°，則點M在過點A與A8垂直的直線上，設該直線為人,又由A(-

0.98,0.56),8(1.02,2.56),則人心篙：：：,

±.UZ-(-U.7O)

則刖『-I,直線1\的方程為y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,

此時原點O到直線/,的距離"=喀=生幺<1,直線/i與單位圓相交，有2個公共點,

V2100

即有2個符合題意的點M;

②NM8A=90°,則點M在過點B與AB垂直的直線上，設該直線為12,

同理可得，直線b的方程為y-2.56=-(x-L02),即x+y-3.58=O,此時原點O到直線b的

距離”號=需>1，

直線/2與單位圓相離，沒有公共點，即沒有符合題意的點M-,

③NAMB=90°,此時點M在以A3為直徑的圓上，

又由4(-0.98,0.56),3(1.02,2.56),設AB的中點為C,則C的坐標為

(0.02,1.56),|/IB|=V4T4=2V2,5!'J以A3為直徑的圓的圓心。為(0.02,1.56),半徑

r=^\AB\-^2,

此時|OC|=J(0.02)2+(156)2=,2.4340,

則有a-l<|OC|〈迎+1,兩圓相交，有2個公共點，即有2個符合題意的點M.

綜合可得，共有4個符合條件的點M.

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分.

9.已知圓Ci：x2+.y2=r2,0］。2：0。)2+(廣/?)2=產(r>0)交于不同的A(xi,yi),8(x2,y2)兩點,下列結

論正確的有()

A.a(xi-X2)+b(y\-y2)=0

B.2ax\+2/?yi=a2-^h2

CJC\+尤2=。

D.y\+y2=2b

|答案|ABC

I解析I兩圓方程相減可得直線AB的方程為序+店口^^^二。,即2依+2力=〃2+力2,故B正確;

分別把A(xi,yD,8(X2,y2)兩點代入2辦+2勿=。2+匕2得

20rl+20yi=序+。22al2+2勿2=層+。2,

兩式相減得2a(x\-%2)+2Z?(y1-yi)=0,

即4(X1-X2)+優(yōu)>」-丁2)=0,故A正確；

由圓的性質可知，線段AB與線段C1C2互相平分,?：為+也=。,y+”二〃,故C正確,D錯

沃'VT.

10.若P是圓C：Q+3)2+3-3)2=1上任一點，則點P到直線y=kx-\距離的值可以為()

A.4B.6

C.3V2+1D.8

答案|ABC

解畫直線)，=依-1恒過定點A(0,-l)點，當直線與AC垂直時，點P到直線y=Ax-l距離最大，

等于AC+r,圓心坐標為(-3,3),

所以為［(召產+(3+1)2+1=6,

當直線與圓有交點時，點P到直線的距離最小為0,所以點P到直線>=丘-1距離的

范圍為［0,6］.

11.在平面直角坐標系中，曲線。上任意點P與兩個定點420)和點8(2,0)連線的斜率之

和等于2,則關于曲線C的結論正確的有()

A.曲線C是軸對稱圖形

B.曲線。上所有的點都在圓f+產=2外

C.曲線。是中心對稱圖形

D.曲線C上所有點的橫坐標x滿足|M>2

固剽BC

解析設P(x,y),則"A+BB=2,即1++=2(#土2),整理得/-沖=4(存土2),

所以曲線C是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故c正確,A錯誤；

由/-盯=4>2=『+優(yōu)所以曲線C上所有的點都在圓f+尸=2外，故B正確；

由婿孫=4可知,無￡R且#0,片土2,故D錯誤.

12.已知P是橢圓E:=+學=1上一點,F1,凡為其左右焦點，且△BPB的面積為3,則下列

84

說法正確的是()

A.P點縱坐標為3

B.ZF1PF2>^

?！魉臼龅闹荛L為4(a+1)

D.AF,PFi的內切圓半徑為|(V2-1)

H]CD

解析設P點坐標為(x,y),sWx2cx[y|=1x4x|y|=3j^y=/y=-|,故A錯誤；

橢圓中焦點三角形面積為S=/?2tan-(^為焦點三角形的頂角),S=4tan2=3,得tan-=

2224

則g故B錯誤；

，\研2=2。+2。=4(內1),故C正確；

設△F1PF2的內切圓半徑為艮，(4a+4)=3,得/?='(或-1),故D正確.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.經過點P(l,4),且在兩坐標軸上的截距相反的直線方程是.

|答案[y=4x或y=x+3

麗根據(jù)題意，分2種情況討論：

⑦直線經過原點，則直線/的方程為y=4x;

②直線不經過原點,設直線方程為x-y=a,把點P(l,4)代入可得1-4=。，解得a=-3,即直

線的方程為y=x+3.

綜上可得,直線的方程為y=4x或y=x+3.

22

14.若雙曲線上-蕓=1的一個焦點到坐標原點的距離為3,則m的值為.

mm-5-----------

客剽7或-2

麗依題意可知c=3,

當雙曲線的焦點在x軸上時，租>5=m+tn-5=9,所以m=7;當雙曲線的焦點在y軸上

時,m<0,(?2=?Z%+5?〃2=9,所以m=-2.

綜上,m=7或m=-2.

15.如圖，過拋物線尸=4%的焦點尸作直線,與拋物線及其準線分別交于AAC三點，若

斤二3而,則直線AB的方程為,|AB|=_.

國氯y

庭畫拋物線的焦點坐標為尸(1,0),準線方程為x=-l,設

:同=3而,.：(-24)=3(。-1力)=(3a-3,3b),則3a-3=-2,m=34即冶,此時"=4xg,得

b=-卡=-^■，即m=-2y/3,

則。(-1,-2遍),則48的斜率k=^=V3,

則直線方程為y=V3(x-l),

代入V=4x,得3x1-\Qx+3=O,^X\+X2=y,|/4BI=X1+X2+2=Y+2='y-

16.已知點。(0,0)/(4,0)乃(0,4).若從點尸(1,0)射出的光線經直線A3反射后過點。(-2,0),

則反射光線所在直線的方程為;若從點M(m,0)*6(0,4)射出的光線經直線

A8反射，再經直線OB反射后回到點M則光線所經過的路程是(結果用團表

示).

|答案卜-2y+2=0yj2m2+32

庭畫根據(jù)題意，設點Pg力)與點P(l,0)關于直線A8對稱，則Pi在反射光線所在直線上，

又由4(4,0),5(0,4),

則直線A8的方程為x+y=4,

則有恒一；=4解需二?PP",3)，

反射光線所在直線的斜率k=-=

4-(-2)2

則其方程為y?0=：(九+2),即x?2y+2=0;

設點M3仇)與點M關于直線AB對稱，點強與M關于y軸對稱,易得M2(-/??,0);

線段的長度就是光線所經過的路程，

fb0=1,—A

則有常。無，解得b；二4-m即M?，4加)，又由此(如,0),則

1=4,、u

k2----------2---------'

1(4+m)22y/2m2+

\MIM2\=+(4-m)=32.

四、解答題:本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知△A8C三個頂點的坐標分別為A(2,4),B(0,-5),C(10,0),線段AC的垂直平分

線為/.

(1)求直線/的方程；

(2)點P在直線/上運動，當|AP|+|8P|最小時，求此時點P的坐標.

解1)直線AC的斜率為以。=蕓嚀，

所以直線/的斜率為ki=2,

直線AC的中點為(6,2),所以直線/的方程為y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.

(2)由(1)得點A關于直線/的對稱點為點C,所以直線與直線/的交點即為

|AP|+|8P|最小的點.由8(0,-5),0(10,0)得直線8C的方程為二+上=1,即x-2y-10=0,聯(lián)立方

10-5

程圜黑::;解得.*,所以點P的坐標喏,中).

18.(12分)已知直線l-ax-y-3a+\=0恒過定點P,過點P引圓C:(x-l)2+/=4的兩條切線，設

切點分別為48

(1)求直線A3的一般式方程；

(2)求四邊形PACB的外接圓的標準方程.

陶⑴丁直線/:y-l=a(x-3).

.:直線/恒過定點P(3,1).由題意可知直線x=3是其中一條切線，且切點為A(3,0).

由圓的性質可知AB,PC,

?'kpc=—=?：AAB=-2,所以直線AB的方程為y=-2(x-3),即2x+y-6=0.

3-12

(2)由題意知|PC|=J(3-1K+(1-0)2=V5.

VPA±AC,PB±BC,

所以四邊形PACB的外接圓是以PC為直徑的圓,PC的中點坐標為(2,所以四邊

形PACB的外接圓為(x-2)2+(y-y2=*

22

19.(12分)已知尸咫分別是雙曲線后盤一k=1g>0力>0)的左、右焦點,P是雙曲線上一

點,后到左頂點的距離等于它到漸近線距離的2倍，

⑴求雙曲線的漸近線方程；

(2)當NFIPF2=60°時,△PFIB的面積為488,求此雙曲線的方程.

解⑴因為雙曲線的漸近線方程為法±ay=0,

則點巳到漸近線距離為善駕=伙其中c是雙曲線的半焦距)，所以由題意知c+a=2A

vb2+a2

又因為屋+從=/,解得b=^a,

故所求雙曲線的漸近線方程是4x土3y=0.

(2)因為/尸1尸&=60°，由余弦定理得IPFIF+IP&R21PBMPF21cos60°=1尸國產,

即|「川2+|尸尸2臼PF1].|P尸2|=4d.

又由雙曲線的定義得||PFi|-IPF211=2”，

平方得『/1|2+|尸產2|2-2尸￡|.尸&|=4/,相減得|尸產]|.修尸2|=4，-4/=4廿.

2

根據(jù)三角形的面積公式得S=1|PFi|-|PF2|sin60°=苧4〃=例2=48同得&=48.

由⑴得。2=/2=27,

故所求雙曲線方程是過一些=1.

2748

20.（12分）已知過拋物線f=2〃）。>0）的焦點，斜率為9的直線交拋物線于

A（xi,力）,8（X2,”）（為<*2）兩點，且IAB|=9.

（1）求該拋物線的方程；

（2）0為坐標原點，。為拋物線上一點，若赤=瓦求2的值.

|g⑴拋物線*=2p〉的焦點為（0,0,

所以直線AB的方程為）=今+|，

=立4-E

聯(lián)立y4X2，消去X,得4y2-5py+p2=0,所以yi+y2=拳由拋物線定義得

x2=2py,

|A8|=yi+），2+p=9,即詈+p=9,所以p=4.

所以拋物線的方程為爐=8p

（2）由〃=4知，方程4）2-5py+p2=o,

可化為/5卜+4=0,

解得>1=1）2=4,故幻=-2&淚=4魚.

所以A（-2a,1）,3（4夜,4）.

貝=瓦?+2而=（-2魚,1）+〃4瘋,4）=（-2或+4a九1+4/1）.因為C為拋物線上一點,

所以（-2或+4&2=8（I+%,

整理得乃-22=0,所以2=0或2=2.

21.（12分X2021全國乙，文20）已知拋物線Gy2=2px（p>0）的焦點/到準線的距離為2.

（1）求。的方程；

(2)已知。為坐標原點，點P在C上，點Q滿足同=9下,求直線0Q斜率的最大值.

阿⑴在拋物線C中,焦點F到準線的距離為p,故p=2,C的方程為六4乂

(2)設點P(XIJI),Q(X2,?).

又尸(1,0),則PQ=(X2-xij2?yi),QF=(l?孫?”).

因為聞=9而，

所以%2-xi=9(1?及)J2?y1=?9”，

得xi=10x2-9,yi=10y2.

又因為點P在拋物線C上,所以比=4孫

所以(10/2)2=4(10X2-9),

則點Q的軌跡方程為產|六套

易知直線OQ的斜率存在.

設直線OQ的方程為y=kx,當直線OQ和曲線丁=|心費相切時，斜率取得最大值、最

小值.

(y=kx,、、29

由1229得之/二工長益，

□=孑云，525

即Fx2_|x+￡=0,(*)

當直線OQ和曲線產芻畸相切時，方程(*)的判別式/=0,即(-|)2一必2卷=0,解得

上士y斤以直線。。斜率的最大值為去

22.

(12分)如圖所示，取同離心率的兩個橢圓成軸對稱內外嵌套得一個標志，為美觀考慮，要

求圖中標記的①，②③三個區(qū)域面積彼此相等.(已知橢圓面積為圓周率與長半軸、短半

22\

軸長度之積，即橢圓會+k=1(〃泌＞0湎積為SiffiM=nab'

(1)求橢圓的離心率的值；

(2)已知外橢圓長軸長為6,用直角角尺兩條直角邊內邊緣與外橢圓相切，移動角尺繞外橢

圓一周，得到由點M生成的軌跡將兩橢圓圍起來，整個標志完成.請你建立合適的坐標系,

求出點M的軌跡方程.

g(l)建立如圖平面直角坐標系.設外橢圓的方程為捺+，=l(aM>0),

丁內外橢圓有相同的離心率且共軸，可得內橢圓長軸為。，設內橢圓短軸長為力,焦距

長為匕得￡=葭，*力，2=廬一。，2=戶字=羋2=與

abaa2a2a2

22

?：內橢圓的方程為靠+市二1.

a2

圖中標記的①，②③三個區(qū)域面積彼此相等,由對稱性只需S外=35內，即似ib=3n*

得層二3尻

即〃2二3(。2-廿),故e=半.

(2)同(1)建立如圖平面直角坐標系，由于外橢圓長軸為6,.：。=3,又e=y,ZC=V6