矩陣分析 課件 3.2 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

3.1Jordan標(biāo)準(zhǔn)形1、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的定義定義3.7形如的方陣叫作階Jordan塊。特別的，一階方陣叫作一階Jordan塊。定義3.8由若干個(gè)Jordan塊組成的分塊對(duì)角矩陣其中為階Jordan塊，時(shí)，這個(gè)矩陣叫作n階Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，記為

J或當(dāng)定理3.8如果任意若不計(jì)

J中的Jordan塊的排列順序，則

J由A唯一確定。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，則Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J的對(duì)角元素就是

A的特征值。對(duì)角矩陣也是一個(gè)Jordan矩陣，它的每個(gè)Jordan塊是一階的。Jordan矩陣特征值恰是對(duì)角線(xiàn)元素，對(duì)角線(xiàn)上方的次對(duì)角線(xiàn)的的元素可能為1或0。在Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J中，不同Jordan塊的對(duì)角元素Jordan塊本身就是一個(gè)Jordan矩陣?？赡芟嗤部赡懿煌?。因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦担虼?，若矩?/p>

A與一個(gè)都與一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，（ⅰ）特征向量法2、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算Step1求特征值及其代數(shù)重?cái)?shù)，Step2對(duì)每個(gè)特征值，確定其對(duì)應(yīng)的Jordan塊。是

A的單特征值，則只對(duì)應(yīng)一個(gè)一階Jordan塊如果是

A的重特征值，計(jì)算的幾何重?cái)?shù)則共對(duì)應(yīng)個(gè)以的Jordan塊，這些Jordan塊的階數(shù)Step3A的所有特征值對(duì)應(yīng)的所有Jordan塊構(gòu)成的Jordan矩陣設(shè)

A的互不相同的特征值為

代數(shù)重?cái)?shù)指特征值的重?cái)?shù)如果之和等于即為

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

幾何重?cái)?shù)指特征值對(duì)應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)幾何重?cái)?shù)小于等于代數(shù)重?cái)?shù)。為對(duì)角元素例3.4如果求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（1）解

可求得

A特征值為特征值只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量故

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（2）A的特征值為由可知以為特征值的Jordan塊有階數(shù)之和為3。注：當(dāng)矩陣

A的某一特征值重?cái)?shù)較高時(shí)，對(duì)應(yīng)的Jordan塊的解個(gè)，這兩個(gè)Jordan塊中，一個(gè)一階塊，一個(gè)二階塊，故階數(shù)可能無(wú)法確定。例3.4如果求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（ⅱ）初等變換法Step1

求出的全部初等因子為Step2對(duì)每個(gè)初等因子，確定其對(duì)應(yīng)的Jordan塊

Step3

A的所有初等因子對(duì)應(yīng)的所有Jordan塊構(gòu)成的Jordan矩陣注：上述Step1中，可能有相同的。且當(dāng)任意一個(gè)

n階復(fù)矩陣

A可以對(duì)角化的充分必要條件為的初等因子全是一次的。即為

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。時(shí)，例3.5求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（1）解初等因子為則

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（2）因此的初等因子為所以

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形解例3.5求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（ⅲ）行列式因子法求

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。Step1

求的

n個(gè)行列式因子Step2

根據(jù)定理3.4推論，求的不變因子；Step3

求

A的全部初等因子和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。行列式因子法是利用行列式因子與初等因子的關(guān)系例3.6求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：解選取計(jì)算得的一個(gè)三階子式由于，所以從而于是

A的不變因子為即

A的初等因子為故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（1）例3.6求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（2）解不變因子為初等因子為故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為A的行列式因子為3、相似變換矩陣

A與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，即存在一個(gè)可逆矩陣

P，那么如何求矩陣

P呢？通過(guò)求解線(xiàn)性方程組就可以求出

P.Step1

將

P按列分塊寫(xiě)成，則有Step2

由于J的對(duì)角線(xiàn)元素為

A的特征值，對(duì)角線(xiàn)上方平行線(xiàn)可化為如下方程組的形式：即其中或1Step3

依次求解這些方程即可求得使得上元素為0或1，因此例3.7求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J，并求出可逆矩陣

P，解可求得

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為令，由可得即分別求解三個(gè)方程可得，可選取所以，使得例3.8求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J，并求出可逆矩陣

P，使得解可求得

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為令，由可得即即為特征值的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，的通解為若令，方程無(wú)解。若令，方程依然無(wú)解。由于方程組設(shè)再代入由可知時(shí)方程有解。不妨取，即可求得的解為可取，故所用的相似變換矩陣為注：從例3.7和例3.8可知，相似變換

P不是唯一的。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的冪設(shè)其中則計(jì)算的關(guān)鍵是計(jì)算定理3.9階Jordan塊的

k次冪，其中多項(xiàng)式特別的，當(dāng)為2階Jordan塊時(shí)，設(shè)多項(xiàng)式，則當(dāng)為3階Jordan塊時(shí)，由定理3.9，例3.9已知