華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)22-2一元二次方程的解法第2課時(shí)因式分解法課件

九年級(jí)

上冊(cè)華東師大版初中數(shù)學(xué)第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第2課時(shí)因式分解法知識(shí)點(diǎn)2用因式分解法解一元二次方程基礎(chǔ)過關(guān)全練1.(2024河南鶴壁淇濱中學(xué)月考)一元二次方程x2=3x的解是

(

)A.x=0

B.x=3C.x=-3

D.x1=0,x2=3D解析移項(xiàng),得x2-3x=0,分解因式,得x(x-3)=0,解得x1=0,x2=3.2.(2024山西臨汾第一中心學(xué)校月考)方程x2-4x+4=0的根是

(

)A.x=2

B.x1=x2=2C.x=4

D.x1=x2=4B解析分解因式,得(x-2)2=0,解得x1=x2=2.3.(2024海南臨高期中)已知代數(shù)式3-x與-x2+3x的值互為相反

數(shù),則x的值是(

)A.-1或3

B.1或-3C.1或3

D.-1和-3A解析∵代數(shù)式3-x與-x2+3x的值互為相反數(shù),∴(3-x)+(-x2+

3x)=0,即(3-x)+x(3-x)=0,分解因式得(3-x)(1+x)=0,解得x1=3,x2=

-1,故x的值是-1或3.4.(2022廣西梧州中考)一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是

.x1=2,x2=-7解析∵(x-2)(x+7)=0,∴x-2=0或x+7=0,∴x1=2,x2=-7.5.(新考向·新定義試題)(2024安徽宿州泗縣期中)對(duì)于實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算“※”如下:a※b=a2-ab,例如:5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(3x-2)=3,則x的值為

.0或0.5解析∵a※b=a2-ab,∴(x+1)※(3x-2)=(x+1)2-(x+1)(3x-2)=3,

即2x2-x=0,∴x(2x-1)=0,解得x=0或0.5.6.(易錯(cuò)題)(2024河南南陽(yáng)宛城期中)一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分

別為3和8,第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程x(x-9)-13(x-9)=0的根,

則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是

.20解析原方程分解因式得(x-9)(x-13)=0,解得x1=9,x2=13,分情

況求解如下:(1)當(dāng)?shù)谌叺拈L(zhǎng)為9時(shí),8-3<9<8+3,能構(gòu)成三角形,故這個(gè)三

角形的周長(zhǎng)為3+8+9=20;(2)當(dāng)?shù)谌叺拈L(zhǎng)為13時(shí),3+8=11<13,不能構(gòu)成三角形,舍去.綜上,這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為20.易錯(cuò)點(diǎn):本題易因忽略考慮三角形的三邊關(guān)系而發(fā)生多解的

錯(cuò)誤.7.解下列方程:(1)2x(x-3)=9-3x;

(2)2x2-12x=-18;(3)(一題多解)(2024吉林長(zhǎng)春五十二中教育集團(tuán)期中)4(x+3)2

-(x-2)2=0.解析

(1)方程整理得2x(x-3)=3(3-x),移項(xiàng),得2x(x-3)+3(x-3)=

0,提公因式,得(x-3)(2x+3)=0,解得x1=3,x2=-

.(2)移項(xiàng),得2x2-12x+18=0,整理得x2-6x+9=0,分解因式,得(x-3)2=0,解得x1=x2=3.(3)解法1(因式分解法):4(x+3)2-(x-2)2=0可整理得[2(x+3)]2-(x-

2)2=0,分解因式,得[2(x+3)+(x-2)][2(x+3)-(x-2)]=0,整理,得(3x+4)(x+

8)=0,解得x1=-

,x2=-8.解法2(直接開平方法):移項(xiàng),得4(x+3)2=(x-2)2,開平方,得2(x+3)

=-(x-2)或2(x+3)=x-2,解得x1=-

,x2=-8.8.(新獨(dú)家原創(chuàng))有一個(gè)圓形的兒童游樂場(chǎng)吸引了眾多孩子,

為滿足需求老板決定擴(kuò)建,擴(kuò)建后兒童游樂場(chǎng)的半徑增加了

10m,面積增加為原來的4倍,求兒童游樂場(chǎng)原來的半徑.解析設(shè)兒童游樂場(chǎng)原來的半徑為xm,則擴(kuò)建后兒童游樂

場(chǎng)的半徑為(x+10)m,依題意可得π(x+10)2=4πx2,整理得(x+10+

2x)(x+10-2x)=0,解得x1=-

(不合題意,舍去),x2=10,故兒童游樂場(chǎng)原來的半徑為10m.9.(新考法)(2024河南南陽(yáng)鎮(zhèn)平二模,6,★☆☆)若實(shí)數(shù)k、b是

一元二次方程(x+3)(x-1)=0的兩個(gè)根,且k<b,則一次函數(shù)y=kx+

b的圖象不經(jīng)過

(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限能力提升全練C解析本題將一元二次方程的求解和一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合

考查,命題設(shè)計(jì)新穎.∵實(shí)數(shù)k、b是一元二次方程(x+3)(x-1)=0

的兩個(gè)根,且k<b,∴k=-3,b=1,∴函數(shù)y=kx+b,即y=-3x+1的圖象

經(jīng)過第一、二、四象限,不經(jīng)過第三象限.10.(新考法)(2024甘肅天水二中一模,6,★★☆)如圖,已知A,B,

C是數(shù)軸上異于原點(diǎn)O的三個(gè)點(diǎn),且點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),點(diǎn)B為

AC的中點(diǎn).若點(diǎn)B表示的數(shù)是x,點(diǎn)C表示的數(shù)是x2-3x,則x=

.

6解析∵O是原點(diǎn),且是AB的中點(diǎn),∴OA=OB,∵B點(diǎn)表示的數(shù)

是x,∴A點(diǎn)表示的數(shù)是-x.∵B是AC的中點(diǎn),∴AB=BC,∴(x2-3x)

-x=x-(-x),∴x2-6x=0,∴x(x-6)=0,解得x1=0,x2=6.∵B異于原點(diǎn),∴x≠0,∴x=6.11.(2024湖南衡陽(yáng)成章實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模,18,★★☆)解方程(x+1)2-5(x+1)+6=0時(shí),我們可以將x+1看成一個(gè)整體,設(shè)x+1=y,則原

方程可化為y2-5y+6=0,解得y1=2,y2=3.當(dāng)y=2時(shí),x+1=2,解得x=

1;當(dāng)y=3時(shí),x+1=3,解得x=2,所以原方程的解為x1=1,x2=2.利用

這種方法求得方程(2x-1)2-4(2x-1)+3=0的解為

.x1=1,x2=2解析設(shè)2x-1=m,則原方程可化為m2-4m+3=0,∴(m-1)(m-3)=

0,∴m-1=0或m-3=0,解得m1=1,m2=3.當(dāng)m=1時(shí),2x-1=1,解得x=1;

當(dāng)m=3時(shí),2x-1=3,解得x=2,故原方程的解為x1=1,x2=2.12.(教材變式·P45T6)(2024河南新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一模,19,★★☆)一

個(gè)直角三角形三條邊的長(zhǎng)為連續(xù)正整數(shù),求此直角三角形的

周長(zhǎng).解析設(shè)該直角三角形三條邊的長(zhǎng)分別為x-1,x,x+1(x>1),依

題意可得x2+(x-1)2=(x+1)2,整理得x2-4x=0,分解因式得x(x-4)=

0,解得x1=0(舍去),x2=4,∴x-1=3,x+1=5,故此直角三角形的周

長(zhǎng)為3+4+5=12.13.(新考向·過程性學(xué)習(xí)試題)(2024吉林長(zhǎng)春寬城二模,23,★

★☆)小麗與小霞兩位同學(xué)解方程3(x-3)=(x-3)2的過程如下:小麗:兩邊同除以(x-3),得3=x-3,解得x=6.小霞:移項(xiàng),得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)·(3-x-3)=0,所以x-3=0或3-x-3=0,解得x1=3,x2=0.(1)你認(rèn)為她們的解法是否正確?若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”;

若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”,并寫出你的解答過程.(2)請(qǐng)結(jié)合上述題目總結(jié):形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程

的一般解法.解析

(1)她們的解法都不正確,正確的解答過程如下:移項(xiàng),

得3(x-3)-(x-3)2=0,提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0,所以x-3=0或6-x=0,解得x1=3,x2=6.(2)形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程的一般解法:移項(xiàng),得ax2-

bx=0,提取公因式,得x(ax-b)=0,所以x=0或ax-b=0,解得x1=0,x2=

.14.(新考向·規(guī)律探究試題)(2024吉林長(zhǎng)春第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)一

模,24,★★☆)某天延時(shí)課上,聞老師帶領(lǐng)同學(xué)們利用棋子構(gòu)

圖研究數(shù)字規(guī)律.將一些棋子按如圖所示的規(guī)律擺放:

第1個(gè)圖中有7個(gè)棋子,第2個(gè)圖中有11個(gè)棋子,第3個(gè)圖中有17

個(gè)棋子,……,按此規(guī)律依次遞增.(1)第5個(gè)圖中有

個(gè)棋子;第n個(gè)圖中有

個(gè)棋

子.(2)第n個(gè)圖中的棋子個(gè)數(shù)能是115嗎?如果能,求出n的值;如

果不能,請(qǐng)說明理由.解析

(1)由規(guī)律可得,第4個(gè)圖中有25個(gè)棋子,第5個(gè)圖中有3

5個(gè)棋子,第n個(gè)圖中有n(n+1)+5=(n2+n+5)個(gè)棋子.(2)能,令n2+n+5=115,整理得,(n+11)(n-10)=0,解得n1=-11(舍

去),n2=10,∴第10個(gè)圖中的棋子個(gè)數(shù)為115.15.(運(yùn)算能力)(2024河南周口商水月考)我們知道可以用公式

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)來分解因式解一元二次方程.例如:x2+6x+5=0,方程分解為

=0,x2-2x-15=0,方程分解為

=0.愛鉆研的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的方程也可以借助

此方法解一元二次方程.素養(yǎng)探究全練(2)請(qǐng)利用此方法解方程2x2+3x-5=0;(3)請(qǐng)利用此方法解關(guān)于x的一元二次方程3x2-(6+a)x+2a=0.例如:3x2-7x+2=0.解:方程分解為(x-2)(3x-1)=0,從而