浙教七年級下學期《3 7 整式的除法》同步練習卷

浙教新版七年級下學期《3.7整式的除法》

同步練習卷

一.解答題(共50小題)

1.已知a是大于1的實數(shù)，且有/+晨3=〃，〃3-。-3=夕成立.

(1)若p+q=4,求p-g的值；

(2)當/=22"+g-2(〃21,且〃是整數(shù))時，比較p與(?3+1)的大小，

并說明理由.

2.在求1+2+2?+23+24+25+26的值時，小明發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都

是前一個加數(shù)的2倍，于是他設(shè)：S=1+2+2?+23+24+25+26①然后在①式的兩

邊都乘以2,得：25=2+22+23+24+25+26+27②；②-①得2S-S=27-1,S

=27-1,即1+2+22+23+24+25+26=27-1.

(1)求1+3+32+33+34+35+36的值;

(2)l+tz+a2+673+---+a2013(aWO且aWl)的值.

3.根據(jù)以下10個乘積，回答問題：

11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；

16X24；17X23；18X22；19X21；20X20.

(1)試將以上各乘積分別寫成一個“口2-。2"(兩數(shù)平方差)的形式，并寫出

其中一個的思考過程；

(2)將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；

(3)試由(1)、(2)猜測一個一般性的結(jié)論.(不要求證明)

4.小麗在學習了“除零以外的任何數(shù)的零次累的值為1”后，遇到這樣一道題：

“如果(X-2)"3=I,求％的值”，她解答出來的結(jié)果為x=-3.老師說她

考慮的問題不夠全面，你能幫助小麗解答這個問題嗎？

5.在形如J=N的式子中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：

①已知a和匕，求M這是乘方運算；

②已知匕和N,求a,這是開方運算；

現(xiàn)在我們研究第三種情況：己知。和M求從我們把這種運算叫做對數(shù)運算.

定義：如果/=N(a>0,aWl,N>0),則〃叫做以a為底N的對數(shù)，記作匕

=log“N.

例如：求log28,因為23=8,所以log28=3；又比如..”川二工，二kg9=_3.

8°2

(1)根據(jù)定義計算：

?log381=；②logiol=；③如果log.J6=4,那么x=.

y

(2)設(shè)，=M,a=N,則\ogaM=x,k)g“N=y(a>0,aWl,M、N均為正數(shù))，

(+y

.,.a=M*N.'.\ogaMN=x+y,即log.MN=logaM+log“N

這是對數(shù)運算的重要性質(zhì)之一，進一步，我們還可以得出：log“MM2M3…％

(其中Mi、M2、M3、…、均為正數(shù)，a>0,aWl).

(3)請你猜想：ig—=(a>0,a#l,M、N均為正數(shù)).

i0o§aN----------

6.若機、〃滿足(n+2016)2=0,求旭"+〃°的值.

7.觀察下列各式：

「+23=1+8=9,而(1+2)2=9,13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,/.13+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

/.13+23+33+43+53=()2=.

根據(jù)以上規(guī)律填空：

(1)13+23+33+-+?3=()2=[]2.

(2)猜想:113+123+133+143+153=.

8.探究應(yīng)用：

(1)計算(tz-2)(/+2a+4)=；(2x-y)(4x2+2xj+y2)=.

(2)上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：(請

用含a.〃的字母表示).

(3)下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是.

A.(a-3)(a?-3a+9)B.(2tn-n)(2m2+2mn+n2)

C.(4-x)(16+4%+x2)D.(機-〃)(m2+2mn+n2)

(4)直接用公式計算：

(3x-2y)(9x2+6xy+4y2)=；

(2m-3)(4m2+6m+9)=.

9.機取什么值時，x3+y3+zi+mxyz(孫zWO)能被x+y+z整除？

10.已知a,b,c為實數(shù)，且多項式xS+a^+bx+c能被多項式-4整除，

⑴求4a+c的值；

(2)求2a-2￡?-c的值；

(3)若a,A,c,為整數(shù)，且c2a>l,試確定a,A,c的值.

11.已知關(guān)于x的多項式被2x+l除的余數(shù)為1,而能夠被3x-l整除，求這個

多項式被(3x-1)(2%+1)除的余數(shù).

12.計算

(1)(-2ry2)2,3x2y^-(-x3y4)

(2)(2x+y)(2x-3)-2yCx-I)

(3)3(m+1)2-5(m+1)(m-1)+2(m-1)2

⑷(2x2y-x3y2-1-xy3)

33

13.已知a+0=l,ap=-1.設(shè)$=a+0,52=6+『，s3=a+p,???,S〃=a"+0"

(1)計算：S\=,S2=，ST,=,$4=；

(2)試寫出工一2、S“T、S”三者之間的關(guān)系;

(3)根據(jù)以上得出結(jié)論計算：。7+『.

14.觀察下列式子：(f-1)4-(x-1)=x+l

(x3-1)4-(x-1)=x2+x+1

(x4-1)-r(X-1)=x3+x2+x+l

(x5-1)4-(x-1)=x4+x3+x2+x+l

(1)根據(jù)以上式子，請直接寫出(Z-1)9(x-1)的結(jié)果(〃為正整數(shù))；

(2)計算：1+2+22+23+24+-+220'5.

15.我們已經(jīng)學習過多項式除以單項式，多項式除以多項式一般可用豎式計算，

步驟如下：

①把被除式、除式按某個字母作降暴排列，并把所缺的項用零補齊；

②用被除式的第一項除以除式第一項，得到商式的第一項；

③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面(同類項對齊)，消去相等項；

④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或

余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式=除式X商式+余式.若余式為

零，說明這個多項式能被另一個多項式整除.

例如：計算(6/-7/-7-1)+(2x+l),可用豎式除法如圖：

所以6%4-7%3-￥-1除以2%+1,商式為3/-5產(chǎn)+2%-1,余式為0.

根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題(直接填空)：

(1)(x3-A:2-4x+4)4-(x-2)=；

(2)(x2+2x+4)4-(x-1),余式為；

(3)x3+ax2+bx-2能被f+2x+2整除，貝Ua=,b=.

3--5e+2%-1

2x+l)6x'-「/-x'+O-x-l

6x-+3x'

-10x3-x:

-10A?-5x:

4x:+0-x

2x*+2x

-2x-l

—2x-1

0

16.利用我們學過的知識，可以導(dǎo)出下面這個形式優(yōu)美的等式：a2+b2+c2-ab-

be-ac=—[(a-b)2+(。-c)2+(c-a)2],該等式從左到右的變形，不僅

2

保持了結(jié)構(gòu)的對稱性，還體現(xiàn)了數(shù)學的和諧、簡潔美觀.

(1)請你檢驗這個等式的正確性；

(2)若a=2005,8=2006,c=2007,你能很快求出<z2+/?2+c2-ab-be-ac的

值嗎？

17.計算：(-ya2b-^-ab2)2+r^-a4b3-

qboiz

18.閱讀下列材料，并解決后面的問題.

材料：我們知道，〃個相同的因數(shù)。相乘n可記為。"，如23=8,此時，3叫做以

2為底8的對數(shù)，記為log28(即log28=3),一般地，若a"=。(a>0且aW

1,。>0),則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為log滴(即log疝=〃).如34=81,

則4叫做以3為底81的對數(shù),記為log381(EPlog381=4)

(1)計算以下各對數(shù)的值：log24=,log216=,log264=.

(2)觀察(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式?log24,log216,log264

之間又滿足怎樣的關(guān)系式？

(3)根據(jù)(2)的結(jié)果,我們可以歸納出：log〃M+log“N=log〃MN(a>0且a#

1,M>Q,N>0)

請你根據(jù)累的運算法則：""?/=屋+"以及對數(shù)的定義證明該結(jié)論.

19.閱讀下面一段話，解決后面的問題.

觀察下面一列數(shù)：1，2,4,8,…，我們發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)從第二項起，每一項與

它前一項的比都等于2.

一般地，如果一列數(shù)從第二項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數(shù)，這

一列數(shù)就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的比.

(1)等比數(shù)列5,-15,45,…的第四項是.

(2)如果一列數(shù)a”做，的，如，…是等比數(shù)列，且公比為q，那么根據(jù)上述的

規(guī)定，W—=q,—=q,…所以U2=a\q,?=。29=(。同)q=ai#,

ala2a3

。4=。3<?=(。1/)q=aiq3,…，an=(用含?與q的代數(shù)式表示).

(3)一個等比數(shù)列的第二項是10,第三項是20,則它的第一項是,第

四項是.

20.分類討論

已知(x-1)x+6=l,求x的值.

21.計算下列各式，并且把結(jié)果化為只含有正指數(shù)基的形式.

(1)(,3)2.(蘇)-3；

(2)一2?(優(yōu)3/)2.

22.如圖，在長方形ABCf(中，放入6個形狀和大小都相同的小長方形，已知

小長方形的長為。，寬為b,且a>b.

(1)用含a、。的代數(shù)式表示長方形ABC。的長A。、寬AB；

(2)用含a、8的代數(shù)式表示陰影部分的面積.

D

23.已知M=X2+3X-a,N=-x,P=xi+3x1+5,且M?N+P的值與光的取值無關(guān)，

求a的值.

24.已知A、3為多項式，B=2x+l,計算A+B時，某同學把A+B看成A:8,

結(jié)果得4/-2尤+1,請你求出A+B的正確答案，并求當尤=-1時，A+B的值.

25.(1)(-4x2y3),(--xyz}4-(—xy2)2

82

(2)(54fy-108x)2-36xy).(18xy)

(3)(a+b+3)(a+b-3)

(4)2007°+2-2-(1)2+2014.

2

26.(1)(/)2?y3+(-/)2

(2)(-1-a3b)*(2bc2)3?(ya)2

(3)3X2,(-3xy)2-x2(x2>,2-2x)

(4)(x+—)(x--)-3x(—x-—)

2233

(5)(4x+2)(x+3)-(2尤-3)2

(6)[(x+y)2-(x-y)2]-rjcy

27.某種液體每升含有10口個細菌，某種殺菌劑1滴可以殺死1()9個此種有害細

菌，現(xiàn)在將3L這種液體中的有害細菌殺死，要用這種殺菌劑多少滴？若10

滴這種殺菌劑為10%,要用多少升？

28.解方程：(x+2)2+(x-4)(x+4)=(2x-1)(x+4).

29.南山植物園中現(xiàn)有A、B兩個園區(qū)，已知A園區(qū)為長方形，長為(x+y)米，

寬為(x-y)米；B園區(qū)為正方形，邊長為(尤+3y)米.

(1)請用代數(shù)式表示A、8兩園區(qū)的面積之和并化簡；

(2)現(xiàn)根據(jù)實際需要對A園區(qū)進行整改，長增加(Ux-y)米，寬減少(x-2y)

米，整改后A區(qū)的長比寬多350米，且整改后兩園區(qū)的周長之和為980米.

①求x、y的值；

②若A園區(qū)全部種植C種花，8園區(qū)全部種植。種花，且C、。兩種花投入的

費用與吸引游客的收益如表:

CD

投入(元/平方米)1216

收益(元/平方米)1826

求整改后A、3兩園區(qū)旅游的凈收益之和.(凈收益=收益-投入)

30.計算下面各題，能簡算的要簡算.

(1)x5,x+x8-j-%2

(2)(3x+7)(2x-3)

(3)(x+3y-z)(x+3y+z)

(4)9(x+2)(x-2)-(3x-2)2.

31.計算：

(1)(2/y)2.(-2xy)+(-2/y)3+(2?)

(2)(6m2/7-67n-3〃/)4-(-3〃，)

(3)先化簡，再求值：2(jt+1)2-5(x+1)(x-1)+3(x-1)2,其中x=(1)

32.你能化簡(a-1)(?9WW7+-+o2+a+l)嗎？我們不妨先從簡單情況入

手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論.

(1)先填空：(a-1)(a+1)=；(a-1)(a?+a+l)=；

(a-1)(tz3+cz2+<z+1)=；…

由此猜想(a-1)(6Z9y+4Z9S+iZ97+,**+cz2+a+l)=.

(2)利用這個結(jié)論，你能解決下面兩個問題嗎？

①2199+2198+2197+...+22+2+1；

②若fl5+a4+?3+t22+?+l=0,則不等于多少？

33.如圖所示，長方形A5CD是''陽光小區(qū)”內(nèi)一塊空地，已知A8=2a,BC=

3b,且E為AB邊的中點，DF=^BC,現(xiàn)打算在陰影部分種植一片草坪，求

這片草坪的面積.

D

E

片------------------------'(?

34.已知3X9"27"'=3"+"',求：(-/)3+(/.療)的值.

35.(-3)*12+1-21+(-3)L

36.計算：

(2)-2'2+.?-+1-3-'+(IT-3.14)°.

52

37.已知關(guān)于x的三次多項式/(x)除以x2-1時，余式是2x-3,除以7-4

時，余式是-3x-4時，求這個三次多項式.

38.求出所有的正整數(shù)小使得儼+22+32+42+…+*-(〃+1)2一(〃+2產(chǎn)-(〃+3)

2-------(2/7-1)2-⑵)2=-10115

(參考公式：1+2+3+4+???+〃=n(n+L))

2

39.設(shè)a>b>c,求證：(2b-c-a)2-4(2a-Z?-c)(2c-a-b)=9(a-c)

2

40.鄭明同學在計算機上設(shè)計了一個計算程序：九一平方一+x-9x--X—答案

林軍拿了幾個數(shù)試了一試，列出如下表格：

1

-22007

3

答案11

(1)請將表格填寫完整;

(2)試用一個算式表示這個程序；

(3)結(jié)合(1),(2)你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?

41.化簡下列各式：

(1)3(2-y)2-4(y+5)

(2)(x+2y)(x-2y)-ly(x-8y)

42.現(xiàn)有正方形甲圖片1個、正方形乙圖片3個和長方形圖片丙4張.請你把它

拼成一個長方形并寫出你的拼圖思

43.我國宋朝數(shù)學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如

圖），此圖揭示了（a+b）”為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)

規(guī)律.

例如：（“+。）°=1,它只有一項，系數(shù)為1；（a+b）*l=a+b,它有兩項，系數(shù)分

別為1,1,系數(shù)和為2；（a+b）2=a2+2ah+b2,它有三項，系數(shù)分別為1,2,

1,系數(shù)和為4；（（?+/?）3=a3+3a2h+3ab2+b\它有四項,系數(shù)分別為1,3,

3,1,系數(shù)和為8；…根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（a+力）4展開式共有項，系數(shù)分別為；

（2）（a+A）”展開式共有項，系數(shù)和為.

（3）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出（a+8）5的展開式.

1

11

121

1331

44.某次有10支球隊參加的足球比賽，實行主客場雙循環(huán)賽制，即任何兩隊分

別在主場和客場各比賽一場，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.

（1）試問這次比賽共進行了多少場？

（2）若每場比賽都取得最高分，則這次比賽各隊積分的總和是多少若每場比賽

都取得最低分，則這次比賽各隊積分的總和是多少？

（3）若比賽結(jié)束后按積分的高低排出名次，在積分榜上位次相鄰的兩支球隊積

分差距最多可達幾分？

45.閱讀理解：“速算”是指在特定的情況下用特定的方法進行計算，它有很強

的技巧性.如：末位數(shù)字相同，首位數(shù)字和為十的兩位數(shù)相乘，它的方法是：

兩首位相乘再加上末位得數(shù)作為前積，末位的平方作為后積（若后積是一位

數(shù)則十位補0),前積后面添上后積就是得數(shù).

如：84X24=100X(8X2+4)+42=2016

42X62=100X(4X6+2)+22=2604

(1)仿照上面的方法，寫出計算77X37的式子

77X37==；

(2)如果分別用m8表示兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字，用c表示個位數(shù)字，請用含

。、仄c的式子表示上面的規(guī)律，并說明其正確性；

(3)猜想4918X5118怎樣用上面的方法計算？寫出過程.并仿照上面的方法推

導(dǎo)出：計算前兩位數(shù)和為一百，后兩位相同的兩個四位數(shù)相乘的方法.

46.計算：

(1)4a?(-看。4力3)+(__^_&5孫2)

(2)a(a-2b)+Ca+b)2.

47.閱讀下列材料，并解決后面的問題.

材料：一般地，〃個相同的因數(shù)。相乘：n個記為.如23=8,此時，3叫做以

2為底8的對數(shù)，記為log28(即log28=3).一般地，若a"=0(a>0且“W1,

b>0),則“叫做以。為底b的對數(shù)，記為log/(即log“"=〃).如34=81,

則4叫做以3為底81的對數(shù),記為log381(即log381=4).

問題：(1)計算以下各對數(shù)的值：log24=；log216=；log264

(2)通過觀察(1),請直接寫出log24>log216.log264之間滿足的等量關(guān)系

是.

(3)請你求出Iog696+log681的值：

48.如果10〃=〃，那么稱匕為〃的勞格數(shù)，記為b=d(〃)，由定義可知：10〃

=〃與b=d(〃)所表示的是Z?、〃兩個量之間的同一關(guān)系.

(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d(10)=,d(102)=；

勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：

若m、”為正數(shù)，則d(mn)=d(m)+d(〃)，d(—)=dCm)-d(“).

n

3

根據(jù)運算性質(zhì)，填空：當2=(a為正數(shù)).

(2)下表中與數(shù)x對應(yīng)的勞格數(shù)d(x)有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤

的勞格數(shù)，說明理由并改正.

X1.5356891227

d(x)3a-b+c2a-ba+c\+a-b-3-3a-4a-2b3-b-6a-3b

c3c2c

49.材料一：如果10"=〃，那么〃為〃的勞格數(shù)，記為b=d(〃),由定義可知：

10"=〃與Z?=d(〃)所表示的力、〃兩個量之間的同一關(guān)系.例如：=

d(10)=1；

材料二：勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：若加、n為正數(shù)，則d=d(機)+d(n)

(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d(IO?)=,d(W2)=；

(2)若d(2)=0.301,求d(4)+d(16)的值；

(3)已知d(3)=2a+b,d(9)=3a+2b+c,d(27)=6a+2b+c,證明：a=b

50.已知一個長方形的面積為(6fy+12孫-24孫3)平方厘米，它的寬為6盯厘

米，求它的長為多少厘米?

浙教新版七年級下學期《3.7整式的除法》

同步練習卷

參考答案與試題解析

一.解答題（共50小題）

1.已知a是大于1的實數(shù)，且有/_相3=夕成立.

（1）若p+q=4,求p-q的值；

（2）當才=22"+二廠-2（“N1,且〃是整數(shù)）時，比較〃與（/+2）的大小,

22n4

并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得d=2,代入可求p-q的值；

（2）根據(jù)作差法得到p-（a3+l）=2n-l,分三種情況：當n=l時；當n

44

=2時；當〃23時進行討論即可求解.

【解答】解：（1）???/+”3=p①，②，

得，2a，=p+q=4,

.,.a3=2；

①-②得，p-^=2o'3=-y=l.

a

2in

（2）-：q=2+-L--2（心1,且〃是整數(shù)），

22n

：.q2=（2"-2一”）2,

：.q=T-2一”，

又由（1）中①+②得2/=p+q,a3=A.（p+g）,

3

①-②得2a7=p-q,a'=—（p-q）,

.,.p2-/=4,

p2="+4=（2”"）2,

：.p=2n+2n,

：.ai+a3=2n+2n（3）,

-a3=2n-2-n@,

...③+④得2/=2義2",

：.a3=2",

：.p-(?3+1)=2,,+2M-2,,-1=2'/?-1,

444

當〃=1時，p>a3+^；

當〃=2時，p=a3+—；

4

當〃》3時，p<a3+—.

4

【點評】考查了負整數(shù)指數(shù)累：a"=_k(aWO,p為正整數(shù))，關(guān)鍵是加減消元

ap

法和作差法的熟練掌握.

2.在求l+2+2?+23+24+25+26的值時，小明發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都

是前一個加數(shù)的2倍，于是他設(shè)：S=l+2+22+23+24+2$+26①然后在①式的兩

邊都乘以2,得：25=2+22+23+24+25+26+27②；②-①得2S-5=27-1,S

=27-1,即1+2+22+23+24+25+26=27-1.

(1)求1+3+32+33+34+35+36的值;

(2)求l+a+B+Y+…+4233(“20且Ml)的值.

【分析】⑴將1+3+32+33+34+35+36^3,減去1+3+32+33+34+35+36,把它們的

結(jié)果除以3-1=2即可求解；

(2)將1+&+a2+/+…乘減去l+a+a。/+…+°201:把它們的結(jié)果除以

a-1即可求解.

【解答】解：(1)1+3+32+33+34+35+36

=[(1+3+32+33+34+35+36)X3-(1+3+32+33+34+35+36)]4-(3-1)

=[(3+32+33+34+35+36+37)-(1+3+32+33+34+35+36)]-?2

=(37-1)4-2

=21864-2

=1093；

(2)l+a+a2+a3+--+a2013(。/0且。#1)

==[(1+。+/+/+…+。2°13)x<z-(1+a+a2+a^+',,+tz2013)]4-(a-1)

=[(a+a2+ai+???+a2()l3+?2014)-(1+a+(^+c^+???+a2013)]4-(a-1)

=(?2014-1)+(a-1)

—a2014-1i

a-l

【點評】本題考查了整式的混合運算，有理數(shù)的乘方，讀懂題目信息，理解等比

數(shù)列的求和方法是解題的關(guān)鍵.

3.根據(jù)以下10個乘積，回答問題：

11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；

16X24；17X23；18X22；19X21；20X20.

(1)試將以上各乘積分別寫成一個“口2-。2"(兩數(shù)平方差)的形式，并寫出

其中一個的思考過程；

(2)將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；

(3)試由(1)、(2)猜測一個一般性的結(jié)論.(不要求證明)

【分析】(1)根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫成平方差的形式即可.

(2)減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可.

(3)根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越小.

【解答】解:(1)HX29=202-92；12X28=202-82；13X27=202-72；

14X26=2()2-62；15X25=2()2-52；16X24=202-42；

17X23=2()2-32；18X22=202-22；19X21=202-I2；

20X20=202-02…(4分)

例如，11X29；假設(shè)11X29=IZP-

因為口2-。2=(口+O)(□-O);

所以，可以令口-0=11,0+0=29.

解得，口=20,0=9.故11X29=2()2-92.

(或11X29=(20-9)(20+9)=202-92

(2)這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11X29<12X28<13X27<14

X26<15X25<16X24<17X23<18X22<19X21<20X20

（3）①若"+。=40,a,。是自然數(shù)，貝UabW2（）2=400.

②若a+b=40,貝ija/?W2（）2=400.…（8分）

③若a+/?=〃z,a,（是自然數(shù),則abW號產(chǎn).

④若a+b=m,則abW號）？.

⑤若a,〃的和為定值，則帥的最大值為普產(chǎn)

⑥若。1+仇=42+82=。3+濟=~=。"+""=40.且

l?i-仇121a2-b2121a3-優(yōu)|2…，|a“-b,\,

則aib1Wa2ba3b3W…Wa〃bn.…（10分）

底）右。］+仇=<22+82=。3+。3=…=。"+為=機.且

|?1-仇閆。2-岳閆。3-…冽斯-bn\,

⑧若a+b=m,

a,〃差的絕對值越大，則它們的積就越小.

說明：給出結(jié)論①或②之一的得（1分）；給出結(jié)論③、④或⑤之一的得（2

分）；

給出結(jié)論⑥、⑦或⑧之一的得（3分）.

【點評】本題主要考查整式的混合運算，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

4.小麗在學習了“除零以外的任何數(shù)的零次幕的值為1”后，遇到這樣一道題:

“如果（X-2）"3=I,求x的值”，她解答出來的結(jié)果為尤=-3.老師說她

考慮的問題不夠全面，你能幫助小麗解答這個問題嗎？

【分析】該題要注意：底數(shù)不為0的0指數(shù)幕為1；底數(shù)為1的事等于1,和-1

的偶次幕為1.

【解答】解：一種情況：當x-2=l時，x=3

當光-2=-1時，x=l而x+3=4滿足題意.

另一種情況：當x=-3,而x-2=-5#0滿足題意

，x=3,-3,1時（x-2）x+3=i.

【點評】該題很容易出錯，重點要進行分類討論，哪幾種情況等于1,從而確定

答案.

5.在形如d'=N的式子中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：

①已知a和4求N,這是乘方運算；

②已知8和N,求a,這是開方運算；

現(xiàn)在我們研究第三種情況：已知。和M求從我們把這種運算叫做對數(shù)運算.

定義：如果a"=N(a>0,aWl,N>0),則人叫做以a為底N的對數(shù)，記作人

=log“N.

例如：求log28,因為23=8,所以log28=3；又比如：2一3=工，kg至=-3?

882

(1)根據(jù)定義計算：

①10七81=4；(2)logiol=0；③如果k>g,rl6=4,那么x=2.

v

(2)設(shè)，=M,a=N,則logltM=x,logtlN=y(a>0,a#l,M、N均為正數(shù))，

力'=M?N；.log“MN=x+y,即log“MN=log“M+log〃N

這是對數(shù)運算的重要性質(zhì)之一，進一步，我們還可以得出：log〃MM2M3…M〃=

log@A/i+loggM2+…+log&M“.

(其中Mi、M2、M3、…、M,均為正數(shù)，a>0，aWl).

(3)請你猜想：1nga/=lo%MTog@N(a>0,aWl,M.N均為正數(shù)).

【分析】閱讀題目，明確對數(shù)的定義、積的對數(shù)和商的對數(shù)的運算法則，可逐步

推出結(jié)果.

【解答】解:(1)①因為3，=81,所以答gs81=4；②因為10°=1,所以logiol

=0；③因為2，=16,所以x=2.

(2)結(jié)合題意的分析，可知log,MM2M3...M”=log,M+log“M2+?“+log,M,.

(3)因為\ogMN=iogaM+logaN,所以可猜想：log—=log?M-log?7VCa>0,

aaN

aWl,M、N均為正數(shù)).

【點評】本題是一種新的運算，讀懂題目信息，理解對數(shù)與乘方的關(guān)系是求解的

關(guān)鍵.

6.若施、〃滿足依-3|+(n+2016)2=0(求機”+〃。的值.

【分析】首先根據(jù)依-3|+(zi+2016)2=0,可得|〃[-3|=0,〃+2016=0,據(jù)此分

別求出機、〃的值各是多少；然后把求出的加、〃的值代入求出算式

的值是多少即可.

【解答】解：(?+2016)2=0,

.?.依-3|=0,〃+2016=0,

解得加=3,n=-2016,

'.m工，

=3-'+(-2016)°

=—+1

3

=1-L

3

答：機一工〃。的值是1L

3

【點評】(1)此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)幕的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)

鍵是要明確：@ap=^~(“WO,p為正整數(shù))；②計算負整數(shù)指數(shù)基時，

ap

一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)累的意義計算；③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分

母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

(2)此題還考查了零指數(shù)幕的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：

①/=1"0)；②O°W1.

(3)此題還考查了絕對值的含義和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明

確：①當。是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身a；②當。是負有理數(shù)時，a

的絕對值是它的相反數(shù)-a；③當a是零時，a的絕對值是零.

(4)此題還考查了偶次方的非負性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.

7.觀察下列各式：

13+23=1+8=9,而(1+2)2=9,13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,A13+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,A13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

A13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225.

根據(jù)以上規(guī)律填空：

(1)l3+23+33+-+n3=(1+2+-+/7)2=[n(n+l),2.

------------------2~

(2)猜想：“3+123+133+143+153=11375.

【分析】觀察題中的一系列等式發(fā)現(xiàn)，從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和等于這幾

個連續(xù)正整數(shù)和的平方，根據(jù)此規(guī)律填空，

(1)根據(jù)上述規(guī)律填空，然后把1+2+…+〃變?yōu)?個(〃+1)相乘，即可化簡；

2

(2)對所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根據(jù)上述規(guī)律分別求出1

到15的立方和與1到10的立方和，求出的兩數(shù)相減即可求出值.

【解答】解：由題意可知：/+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225

(1)?；1+2+…+〃=(1+n)+[2+(〃-1)]+???+[￡+(〃謁+1)]=n"l),

.../+23+33+…+/=(1+2+…+〃)2=[R(n+l)不；

2

(2)113+123+133+143+153=13+23+33+―+153-(13+23+33+―+103)

=(1+2+…+15)2-(1+2+―+10)2

=1202-552=11375.

故答案為：1+2+3+4+5；225；1+2+-+/?；n(n+1)；11375.

2

【點評】此題要求學生綜合運用觀察、想象、歸納、推理概括等思維方式，探索

問題，獲得解題途徑.考查了學生善于觀察，歸納總結(jié)的能力，以及運用總

結(jié)的結(jié)論解決問題的能力.

8.探究應(yīng)用：

(1)計算(。-2)(tz2+2a+4)=-8；(2r-(4x2+2xy+y2)=Sx3-y3.

(2)上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：(a-b)

d+ab+b?)=<?-己(請用含a./?的字母表示).

(3)下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是C.

A.(tz-3)(a2-3a+9)B.(2m-n)(2m2+2mn+n2)

C.(4-x)(16+4x+x2)D.(m-n)(〃+2加〃+〃2)

(4)直接用公式計算：

(3x-2y)(9/+6孫+4y2)=27?-8y3；

(2/n-3)(44+6加+9)=8/n3-27.

【分析】(1)本題先根據(jù)多項式乘多項式法則，計算出兩式的值即可解答.

(2)根據(jù)上題所給的結(jié)果推理即可得到公式；

(3)在四個選項中分析哪一個最符合題意即可解答；

(4)步直接套用公式即可.

【解答】解：(1)①(&-2)(H+2a+4),

=a^+2a2+4a~2a2-4a-8,

=a3-8；

②(2x-y)C4%2+2xy+y2),

=8^3+4X2J?+2X>,2-4x2y-2xy2-y3

=8x3-y3；

(2)如②中，(2x)3=8X\_/=y3,2xy=-(2x?y),

3

所以發(fā)現(xiàn)的公式為：(a-6)(/+"+/)=a-b\

(3)。符合公式，選C；

(4)根據(jù)公式：(3x-2y)(9/+6孫+4/)=(3x)3-(2y)3=27?-8y3；

(2m-3)(4m2+6m+9)=(2m)3-33=8m3-27.

故答案為：a3-8；8x3-y3；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-護；C；27i-8y3；8m3

-27.

【點評】本題考查了完全平方公式，是一道探索性題目，很好的體現(xiàn)了探索的過

程：根據(jù)具體的例子得到一個一般的結(jié)論，然后用結(jié)論解決問題來驗證結(jié)論，

有利于培養(yǎng)同學們的探索精神.

9.取什么值時，xi+y3+z^+mxyz(xyzWO)能被x+y+z整除？

【分析】當^+廣4+機孫z能被尤+y+z整除時，它含有x+y+z因式，運用賦值法

即可求解.

【解答】解：當x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除時，它含有x+y+z因式，

令x+y+z=O,得％=-(y+z),代入原式其值必為0,

即[-(y+z)]3+y3+z3-myz(y+z)=0,

把左邊因式分解，得-yz(y+z)(777+3)=0,

"孫z#0,

.?.尤WO,

,.*%=-(y+z),

Cy+z)WO,

當m+3=O時等式成立，

當初=-3時，x,y,z不論取什么值，原式都能被x+y+z整除.

【點評】此題考查了整式的除法，本題用到的其實還是逆推，要想整除必定含有

x+y+z這個因式，然后巧妙的運用賦值法降低解題難度.

10.已知a,b,c為實數(shù)，且多項式能被多項式*+3x-4整除，

(1)求4a+c的值；

(2)求2a-2b-c的值；

(3)若a,b,c為整數(shù)，且c2a>1,試確定a,b,c的值.

【分析】(1)由于多項式9+依2+次+c能被多項式*2+3%-4整除，則說明f+3x

-4=0,求出的x也能使xi+ax2+bx+c=O,從而得到關(guān)于a、b、c的兩個等式，

對兩個等式變形，可得4a+c=12③；

(2)由③可得。=3-工④，把④代入①，可得b=-4-Wc⑤，然后把④⑤

44

同時代入2a-2b-c即可求值;

(3)由于c2a>l,又4=3-9,可知1<3-工<3,解即可求出c的范圍，但

44

是a、c是大于1的正整數(shù)，且a=3-￡,可求出c,從而求出a、b.

4

【解答】解：(1),-,x1+3x-4x3+ax2+bx+c一個因式，

.,.X2+3X-4=0,即x=-4,x=l是方程x3+ax2+^x+c=o的解，

..[a+b+c=T…①，

??jl6a-4b+c=64…②’

①X4+②得4a+c=12③；

⑵由③得。=3-點，④

代入①得力=-4-2⑤，

4

2a~2b~c=2(3-—)-2(-4-—c)-c—14；

44

(3)2>1,又a=3-￡,

4

.,.a=3-—<c,

4

即1V3-￡Vc,

4

解得liveV8,

5

又?：a、c是大于1的正整數(shù)，

，c=3、4、5、6、7,但a=3-￡,a也是正整數(shù)，

4

.".c=4,

??a^2,

'.b=-4-—c=-7.

4

故a=2,b=-7,c=4.

【點評】本題考查的是多項式除以多項式，注意理解整除的含義，比如A被B

整除，另外一層意思也就是說，B是A的一個因式，使這個因式8等于。的

值，必是A的一個解.

11.已知關(guān)于x的多項式被2x+l除的余數(shù)為1,而能夠被3x-l整除，求這個

多項式被(3尤-1)(2x+l)除的余數(shù).

【分析】設(shè)這個多項式為E(x)=k(3x-1)[(2x+l)+1],根據(jù)整式除法運算

法則來求這個多項式被(3x-1)(2x+l)除的余式.

【解答】解：設(shè)這個多項式為E(x)=k(3x-1)[(2x+l)+1],

化簡得F(x)=k(6X2+4X-2),

由題意得：F(1)=0,F(-1)=1,

32

即?時，F(xiàn)C--)=kX(-")=1,解得女=-2,

2225

故E(x)=-2(6*+4x-2),

5

故-2(6?+4x-2)4-[(3x-1)(2x+l)]的余數(shù)是

542

【點評】本題考查了整式的除法：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項

分別除以單項式，再把所得的商相加.

12.計算

(1)(-2xy2)2,3X2J4-(-x3y4)

(2)(2x+y)(2x-3)-2y(x-1)

(3)3(1)2-5(m+1)(m-1)+2Ctn-1)2

⑷(2x1-x3y2蔣乂丫"+(-/xy)

【分析】(1)根據(jù)單項式乘單項式的法則，單項式除單項式的法則化簡即可；

(2)根據(jù)多項式乘多項式的法則，合并同類項的法則化簡即可；

(3)根據(jù)完全平方公式，多項式乘多項式的法則，合并同類項的法則化簡即可；

(4)根據(jù)多項式除單項式的法則去括號化簡即可.

【解答】解:(1)原式=-22玲八3玲

=-12/爐.04

=-12xy

(2)原式=4/-6x+2xy-3y-2xy+2y

=4x2-6x-y

(3)原式=3(/n2+2w+l)-5(n?2-1)+2(zn2-2m+\)

=3〃/+6〃z+3-5〃P+5+2〃/-4m+2

=2/?z+10

(4)原式=-(2%2y-X3y2-方孫3)x2x''y'1

2lll1311

=-2xyX2xy+xyx2xy+-^xyX2r_y-

=-4x+2xy+y-

【點評】本題考查了完全平方公式，多項式乘多項式，多項式除單項式，去括號

要主要符號的正確處理.

13.已知a+0=l,ap=-1.設(shè)$=a+0,52=a2+p2?S3=a3+p5,,,,,S?=a,,+pn

(1)計算：S=1,S?=3>&=4,$4=7；

(2)試寫出S"一2、S”T、S“三者之間的關(guān)系；

(3)根據(jù)以上得出結(jié)論計算：a7+『.

【分析】(1)運用完全平方公式和立方和公式進行計算，求出$,S2,S3,S4的

值.

(2)利用(1)中§2=3,S3=4,§4=7,猜想S"=S4-]+S”-2，然后由a,(3是方

程d-尤-1=0的兩根，得到a2=a+l,伊=0+1進行證明.

（3）根據(jù)（2）中的猜想得到上式為S7=S6+S5進行計算求出式子的值.

【解答】解:（1）Va+P=l,ap=-1.

/.Si=a+p=1.

22

S2=a+p=（a+0）2-2鄧=1+2=3.

53=a3+p3=（a+P）（a2-ap+p2）=（a+p）2-3aP=1+3=4.

44222

S4=a+p=（a，伊）-2ap=9-2=7.

故答案為：1,3,4,7；

（2）由（1）得：S〃=S“T+S"一2.

證明：???（!，B是方程f-x-1=0的兩根，

有：a2=a+l,p2=p+l,

S“T+S"一2=a"T+0"T+a"2+町2

=anQngnRn

丁7yF港

aR+a）上BRl+B）

=a"+0"

=s〃.

故Sn=Sni+S?-2-

（3）由（2）有:

77

a+p=S7

—S（＞+S5

=55+54+84+53

=S4+S3+2S4+S3

=384+253

=3X7+2X4

=29.

【點評】本題考查的是整式的混合運算，（1）題運用乘法公式計算求出S,,S2,

S3,S4的值.（2）題以（1）題結(jié)果為依據(jù)猜想S",S”T，&一2的關(guān)系，并根

據(jù)a,0是方程-1=0的兩根進行證明.（3）題利用（2）題的結(jié)論進

行計算求出式子的值.

14.觀察下列式子：(f-l)-r(X-1)=X+1

(x3-1)4-(x-1)=x2+x+1

(z4-1)4-(x-1)=x3+x2+x+l

(x5-1)4-(x-1)=x4+x3+x2+x+1

(1)根據(jù)以上式子，請直接寫出(x"-l)+(X-1)的結(jié)果(〃為正整數(shù))；

(2)計算:1+2+22+23+24+-+22015.

【分析】(1)根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案；

(2)根據(jù)規(guī)律，可得答案.

【解答】解:(1)原式=/-1+/-2+/-3+…+%+]

(2)V(2-1)(22015+22014+—+2+1)=22016-1

/.l+2+22+23+24+—+22015=22016-1.

【點評】本題考查了整式的除法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：(Z-1)+(%-1)=Z-'+Z-2+Z

-3+…+x+]是解題關(guān)鍵.

15.我們已經(jīng)學習過多項式除以單項式，多項式除以多項式一般可用豎式計算，

步驟如下：

①把被除式、除式按某個字母作降基排列，并把所缺的項用零補齊；

②用被除式的第一項除以除式第一項，得到商式的第一項；

③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面(同類項對齊)，消去相等項；

④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或

余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式=除式X商式+余式.若余式為

零，說明這個多項式能被另一個多項式整除.

例如：計算(6/-7?-x2-1)+(2x+l),可用豎式除法如圖：

所以-7/-d-1除以2%+1,商式為3尤3-5X2+2X-1,余式為0.

根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題(直接填空)：

(1)(x3-x2-4x+4)4-(x-2)=x2+x-2；

(2)(f+2x+4)+(x-1),余式為7；

(3)/+奴斗人才-2能被』+2x+2整除，則a=1,b=0.

3X3-5XI+2X-1

2x+1^6x4-Tx^-x^+O-x-l

6x'+3x3

-10x3-x:

-lOx-5x:

4X2+0-X

2x2+2x

-2x-l

-2x-l

0

【分析】(1)(2)模仿例題，可用豎式計算；

(3)設(shè)商式為(x+機),貝1]有xi+a^+bx-2=(x+m)(f+2x+2)=x3+(2+機)

?+(2+2相)x+2m,根據(jù)