數(shù)學競賽輔導：立體幾何解題的基本策略

高二數(shù)學競賽輔導立體幾何解題的基本策略一、點、線、面間關(guān)系的轉(zhuǎn)化

立體幾何的知識告訴我們，最核心的內(nèi)容是線面間的的垂直、平行關(guān)系，而它們又通過判定定理、性質(zhì)定理而相互轉(zhuǎn)化。定理的應用過程實質(zhì)上就是下述諸關(guān)系的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。

點面點點——點線————————線面——面面線線例1

(如圖)二面角α—AB—β的平面角為300，在β上作AD⊥AB，AD=10，過D作CD⊥α于D,若∠ACB=600，求AC與BD的距離。解作BE∥AC，CE∥AB,連EC,ED，則AC∥面BCE，直線AC到面BDE的距離就是AC到BD的距離.這時，AC上任一點到面BDE的距離就是所求.

CBEAHDβα由DC⊥α知，DC⊥AC;又AD⊥

AB，根據(jù)三垂線定理，AC⊥

AB.但AB∥AC,故AC⊥

CE.從而AC⊥

面CDE。又BE∥AC

,得BE⊥

面CDE,進而面BDE⊥面CDE，在Rt?CDE上作高CH，由Rt?ACD中,∠CAD=300為二面角的平面角.AD=10,得AC=5,CD=5;又在Rt?ABC中，∠ACB=600,有CE=AB=AC=15,最后在Rt?ACD中，由CE=AB=15,得DE=5,從而CH==

三個步驟:一、線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離ABCDEH二、再轉(zhuǎn)化為點面距離三、計算距離解法二

用體積法計算VD-BCE=VC-BDE.解法三

外接于一個長方體用補形的方法解決CEBADH二、

平面化的思考在空間,選取一個恰當?shù)钠矫?使問題在這個平面上獲得突破性的進展,甚至全部解決,是一種自然而重要的思考,怎樣選取平面呢?有以下幾個主要方法1、

截面法2、隔離法3、展平法4、投影法例2、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，設?C1D1B所在的半平面為α

，?CD1B所在的半平面為β，BD1

所在的直線是α與β

的交線。求二面角α—BD1

—β

的度數(shù)ABCDA1B1C1D1MN因為二面角的平面角的度數(shù)是由相應平面角的來表示的，所以解題的一個方向是找平面角。分析解在平面ABC1D1

上，由點A向BD1

引垂線，與BD1交于M,與BC1

交于N，連CM，由于正方體關(guān)于面BB1D1D的對稱性，必有CM⊥BD1，因此，∠

NMC就是二面角的平面設正方體的棱長為，則AC2=CD12=2a2

，AM2=MC2=a2,在?

AMC中，由余弦定理得∠

AMC=1200

，從而∠

MAC=600

，即二面角α—BD1—β

的度數(shù)為600。MCDABNABCDMN例5、若空間四邊形的兩組對邊相等，則兩條對角線的中點連線垂直對角線。三、圖形變換證明如圖，空間四邊形ABCD中，M,N是對角AC,BD的中點，現(xiàn)將A與C交換,B與D交換，得到同一位置的空間四邊形，而這個四邊形又可看作一個繞著某一軸（軸對稱）旋轉(zhuǎn)1800得到另一個，由A與C關(guān)M于對稱，B與D關(guān)于N對稱知，對稱軸必經(jīng)過MN，從MN⊥AC，MN⊥BD。

ABCDMMCDABN證明2、將?ACD繞AC展平到面ACD上，得ABCD，則BD與AC相交與M，BM=MD。再將圖形復原，由BM=MD，BN=ND知MN是等腰三角形?MBD底邊上的高，有MN⊥BD。同理MN⊥AC。DCBANM

圖形變換包括1、空間的對稱2、空間的旋轉(zhuǎn)3、空間的折疊4、空間的展平

直觀上補充成為長方體，則MN是上下底面中心的連線，它與上下底面都垂直，當然是同時垂直于AC,BD.C1C1CAABCDDB1D1例4、如圖，已知給一個長方體，其共頂點的3條棱互不相等，現(xiàn)在要由一頂點沿表面到對角頂點，求最短的線路。ABDCA1B1C1D1分析：將長方體各面展于同一平面上（可省去底面ABCD）由兩點間距離最短知，有三條相對短的走法，設三條共點棱長為AB=a,AD=b，AA1=c，且由勾股定理可算得AFC1最短。FF四、體積法用兩種方法計算同一體積，從而得出未知數(shù)的等量關(guān)系，這是平面幾何的面積法的直接推廣，用這種方法求點到平面的距離時，可免去找距離線段或論證垂直關(guān)系的推理過程，在種方法多用于四面體和長方體，因為它們對底面的選擇有很大的自由度，可以方便地“換底”例5如圖，已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB,AD的中點，CG垂直于ABCD所在的平面，且CG=2，求B點到平面GEF的距離。EFCABDGEFABCDGH解連BF，BG,有=2記H為AC與EF的交點，由CG為平面AC的垂線，AC⊥EF知，CH⊥EF,且由，知，根據(jù)等積關(guān)系，有得到B到平面GEF的距離是.五、基本圖形法立體幾何中的基本圖形是正方體，熟練掌握正方體的基本性質(zhì)和各類線面關(guān)系，對于解題是非常有益的，一旦遇到新問題，我們或者補充為一個正方體，或者分割成幾個正方體，“能割善補”是學習立體幾何的訣竅。例6

有三個邊長為的正方形，分別將每一個正方形的一個角按兩鄰邊中點連線剪下，按圖分別接在邊長為a的正六邊形各邊上，然后沿正六邊形各邊將其余部分折起，如圖，求所成立體圖形的體積。PPPHHHKKKGGGABCDEFGKFEDCBAPH解法一

（分割）將立體圖形分割為一個正六棱錐P—ABCDEF與三個三棱錐P—GAF,P—HBC,P—KDE之和。HPKGABCDEF解法二

（補充）將立體圖形補充為一個正方體如圖，得V=a3則所求的立體圖形體積是正方體體積的一半六、投影法

投影是實現(xiàn)平面化思考的一條途徑,同時也是處理更廣泛空間問題的一個通法.例7設PP1,QQ1是空間中兩條異面直線,A,B,C是直線QQ1上3點,且點B在A,C之間,A1,B1，C1是由A,B,C向直線，PP1所引垂線的垂足,證明BB1max

{AA1,CC1}PQP1Q1OABCA1B1C1A2B2C2證明作平面α

垂直于PP1，則直線PP1在平面α

上的投影為一點，記為O，由AA1⊥

PP1，BB1⊥PP1,CC⊥PP1知,

AA1

∥α,

BB1∥

α,CC1∥α

從而

AA1在α

上的投影OA2=AA1,

BB1在α上的投影OB2=BB1,CC1在α上的投影OC2=CC1且由