2024屆黑龍江省哈爾濱第六十九中學(xué)中考數(shù)學(xué)最后一模試卷含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱第六十九中學(xué)中考數(shù)學(xué)最后一模試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．如圖，點P是菱形ABCD的對角線AC上的一個動點，過點P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點．設(shè)AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致形狀是()A． B． C． D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin∠B等于()A． B． C． D．3．比較4，，的大小，正確的是（）A．4＜＜ B．4＜＜C．＜4＜ D．＜＜44．某城年底已有綠化面積公頃，經(jīng)過兩年綠化，到年底增加到公頃，設(shè)綠化面積平均每年的增長率為，由題意所列方程正確的是（）．A． B． C． D．5．如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．6．生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了132件.如果全組共有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是（）A．x(x+1)=132 B．x(x-1)=132 C．x(x+1)=132× D．x(x-1)=132×27．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點，若AC＝CD＝DB，則cos∠CAD＝（）A． B． C． D．8．已知△ABC，D是AC上一點，尺規(guī)在AB上確定一點E，使△ADE∽△ABC，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B．C． D．9．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點后第七位，這一結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計算半徑為1的圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，則S6的值為（）A． B．2 C． D．10．下列事件中，必然事件是（）A．若ab=0，則a=0B．若|a|=4，則a=±4C．一個多邊形的內(nèi)角和為1000°D．若兩直線被第三條直線所截，則同位角相等二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則∠DBC的度數(shù)是____________．12．如圖，把一塊含有45°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上.如果∠1=20°，那么∠2的度數(shù)是_____.13．若，，則的值為________.14．分解因式：x2﹣4=_____．15．化簡：÷=_____．16．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點處，當(dāng)△為直角三角形時，BE的長為.17．標(biāo)號分別為1，2，3，4，……，n的n張標(biāo)簽（除標(biāo)號外其它完全相同），任摸一張，若摸得奇數(shù)號標(biāo)簽的概率大于0.5，則n可以是_____．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）某文教店老板到批發(fā)市場選購A、B兩種品牌的繪圖工具套裝，每套A品牌套裝進(jìn)價比B品牌每套套裝進(jìn)價多2.5元，已知用200元購進(jìn)A種套裝的數(shù)量是用75元購進(jìn)B種套裝數(shù)量的2倍．求A、B兩種品牌套裝每套進(jìn)價分別為多少元？若A品牌套裝每套售價為13元，B品牌套裝每套售價為9.5元，店老板決定，購進(jìn)B品牌的數(shù)量比購進(jìn)A品牌的數(shù)量的2倍還多4套，兩種工具套裝全部售出后，要使總的獲利超過120元，則最少購進(jìn)A品牌工具套裝多少套？19．（5分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，OD∥BC交⊙O于點D，交AC于點E，連接AD、BD、CD．（1）求證：AD＝CD；（2）若AB＝10，OE＝3，求tan∠DBC的值．20．（8分）已知：如圖，平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點E，點G為AD的中點，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點F，連接FD．求證：AB=AF；若AG=AB，∠BCD=120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結(jié)論．21．（10分）如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足H在半徑OB上，AH=5，CD=，點E在弧AD上，射線AE與CD的延長線交于點F．（1）求圓O的半徑；（2）如果AE=6，求EF的長．22．（10分）如圖，已知AD是的中線，M是AD的中點，過A點作，CM的延長線與AE相交于點E，與AB相交于點F.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如果，求證四邊形是矩形.23．（12分）我們知道，平面內(nèi)互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，如果兩條數(shù)軸不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么這兩條數(shù)軸構(gòu)成的是平面斜坐標(biāo)系，兩條數(shù)軸稱為斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，公共原點稱為斜坐標(biāo)系的原點，如圖1，經(jīng)過平面內(nèi)一點P作坐標(biāo)軸的平行線PM和PN，分別交x軸和y軸于點M，N．點M、N在x軸和y軸上所對應(yīng)的數(shù)分別叫做P點的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，有序?qū)崝?shù)對（x，y）稱為點P的斜坐標(biāo)，記為P（x，y）．（1）如圖2，ω＝45°，矩形OABC中的一邊OA在x軸上，BC與y軸交于點D，OA＝2，OC＝l．①點A、B、C在此斜坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)分別為A，B，C．②設(shè)點P（x，y）在經(jīng)過O、B兩點的直線上，則y與x之間滿足的關(guān)系為．③設(shè)點Q（x，y）在經(jīng)過A、D兩點的直線上，則y與x之間滿足的關(guān)系為．（2）若ω＝120°，O為坐標(biāo)原點．①如圖3，圓M與y軸相切原點O，被x軸截得的弦長OA＝4，求圓M的半徑及圓心M的斜坐標(biāo)．②如圖4，圓M的圓心斜坐標(biāo)為M（2，2），若圓上恰有兩個點到y(tǒng)軸的距離為1，則圓M的半徑r的取值范圍是．24．（14分）對x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定T（x，y）=（其中a，b是非零常數(shù)，且x+y≠0），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算．如：T（3，1）=，T（m，﹣2）=．填空：T（4，﹣1）=（用含a，b的代數(shù)式表示）；若T（﹣2，0）=﹣2且T（5，﹣1）=1．①求a與b的值；②若T（3m﹣10，m）=T（m，3m﹣10），求m的值．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、C【解析】△AMN的面積=AP×MN，通過題干已知條件，用x分別表示出AP、MN，根據(jù)所得的函數(shù)，利用其圖象，可分兩種情況解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；解：（1）當(dāng)0＜x≤1時，如圖，在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；∵M(jìn)N⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴=，即，=，MN=x；∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），∵＞0，∴函數(shù)圖象開口向上；（2）當(dāng)1＜x＜2，如圖，同理證得，△CDB∽△CNM，=，即=，MN=2-x；∴y=AP×MN=x×（2-x），y=-x2+x；∵-＜0，∴函數(shù)圖象開口向下；綜上答案C的圖象大致符合．故選C．本題考查了二次函數(shù)的圖象，考查了學(xué)生從圖象中讀取信息的數(shù)形結(jié)合能力，體現(xiàn)了分類討論的思想．2、A【解析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sinB等于∠B的對邊除以斜邊，即可得出答案．【詳解】根據(jù)在△ABC中，∠C=90°，那么sinB==，故答案選A.【點睛】本題考查的知識點是銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握銳角三角函數(shù)的定義.3、C【解析】

根據(jù)4=＜且4=＞進(jìn)行比較【詳解】解：易得：4=＜且4=＞，所以＜4＜故選C.【點睛】本題主要考查開平方開立方運(yùn)算。4、B【解析】

先用含有x的式子表示2015年的綠化面積，進(jìn)而用含有x的式子表示2016年的綠化面積，根據(jù)等式關(guān)系列方程即可.【詳解】由題意得，綠化面積平均每年的增長率為x，則2015年的綠化面積為300（1＋x），2016年的綠化面積為300（1＋x）（1＋x），經(jīng)過兩年的增長，綠化面積由300公頃變?yōu)?63公頃.可列出方程：300（1＋x）2＝363.故選B.【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)其中的等式關(guān)系式解答此題的關(guān)鍵.5、B【解析】

根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：因為中有一個角是135°，選項中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．6、B【解析】全組有x名同學(xué)，則每名同學(xué)所贈的標(biāo)本為：（x-1）件，那么x名同學(xué)共贈：x（x-1）件，所以，x（x-1）=132，故選B.7、D【解析】

根據(jù)圓心角，弧，弦的關(guān)系定理可以得出===，根據(jù)圓心角和圓周角的關(guān)鍵即可求出的度數(shù)，進(jìn)而求出它的余弦值．【詳解】解：===，故選D．【點睛】本題考查圓心角，弧，弦，圓周角的關(guān)系，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8、A【解析】

以DA為邊、點D為頂點在△ABC內(nèi)部作一個角等于∠B，角的另一邊與AB的交點即為所求作的點．【詳解】如圖，點E即為所求作的點．故選：A．【點睛】本題主要考查作圖-相似變換，根據(jù)相似三角形的判定明確過點D作一角等于∠B或∠C，并熟練掌握做一個角等于已知角的作法式解題的關(guān)鍵．9、C【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出單位圓的內(nèi)接正六邊形的面積．【詳解】如圖所示，單位圓的半徑為1，則其內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，△AOB是邊長為1的正三角形，所以正六邊形ABCDEF的面積為S6=6××1×1×sin60°=．故選C．【點睛】本題考查了已知圓的半徑求其內(nèi)接正六邊形面積的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的面積，正n邊形的性質(zhì)解答．10、B【解析】

直接利用絕對值的性質(zhì)以及多邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)分別分析得出答案．【詳解】解：A、若ab=0，則a=0，是隨機(jī)事件，故此選項錯誤；B、若|a|=4，則a=±4，是必然事件，故此選項正確；C、一個多邊形的內(nèi)角和為1000°，是不可能事件，故此選項錯誤；D、若兩直線被第三條直線所截，則同位角相等，是隨機(jī)事件，故此選項錯誤；故選：B．【點睛】此題主要考查了事件的判別，正確把握各命題的正確性是解題關(guān)鍵．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、15°【解析】分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)，最后求出∠DBC的度數(shù)．詳解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=(180°－50°)=65°，∵M(jìn)N為AB的中垂線，∴∠ABD=∠BAC=50°，∴∠DBC=65°－50°=15°．點睛：本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)以及中垂線的性質(zhì)定理，屬于中等難度的題型．理解中垂線的性質(zhì)是解決這個問題的關(guān)鍵．412、25°．【解析】∵直尺的對邊平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°-∠3=45°-20°=25°．13、-．【解析】分析：已知第一個等式左邊利用平方差公式化簡，將a﹣b的值代入即可求出a+b的值．詳解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a﹣b=，∴a+b=．故答案為．點睛：本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵．14、（x+2）（x﹣2）【解析】【分析】直接利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】x2﹣4=x2-22=（x+2）（x﹣2）,故答案為：（x+2）（x﹣2）．【點睛】本題考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式進(jìn)行因式分解的式子的特點是：兩項平方項，符號相反．15、m【解析】解：原式=?=m．故答案為m．16、1或．【解析】

當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．

連結(jié)AC，先利用勾股定理計算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，所以點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，則EB=EB′，AB=AB′=1，可計算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計算出x．

②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形．【詳解】當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．

連結(jié)AC，

在Rt△ABC中，AB=1，BC=4，

∴AC==5，

∵∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，

∴∠AB′E=∠B=90°，

當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，

∴點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，

∴EB=EB′，AB=AB′=1，

∴CB′=5-1=2，

設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2=CE2，

∴x2+22=（4-x）2，解得，

∴BE=；

②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．

此時ABEB′為正方形，∴BE=AB=1．

綜上所述，BE的長為或1．

故答案為：或1．17、奇數(shù)．【解析】

根據(jù)概率的意義，分n是偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分析即可.【詳解】若n為偶數(shù)，則奇數(shù)與偶數(shù)個數(shù)相等，即摸得奇數(shù)號標(biāo)簽的概率為0.5，若n為奇數(shù)，則奇數(shù)比偶數(shù)多一個，此時摸得奇數(shù)號標(biāo)簽的概率大于0.5，故答案為：奇數(shù)．【點睛】本題考查概率公式,一般方法為：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率.三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）A種品牌套裝每套進(jìn)價為1元，B種品牌套裝每套進(jìn)價為7.5元；（2）最少購進(jìn)A品牌工具套裝2套．【解析】試題分析：（1）利用兩種套裝的套數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解.(2)利用總獲利大于等于120,解不等式.試題解析：（1）解：設(shè)B種品牌套裝每套進(jìn)價為x元，則A種品牌套裝每套進(jìn)價為（x+2.5）元．根據(jù)題意得：=2×，解得：x=7.5，經(jīng)檢驗，x=7.5為分式方程的解，∴x+2.5=1．答：A種品牌套裝每套進(jìn)價為1元，B種品牌套裝每套進(jìn)價為7.5元．（2）解：設(shè)購進(jìn)A品牌工具套裝a套，則購進(jìn)B品牌工具套裝（2a+4）套，根據(jù)題意得：（13﹣1）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120，解得：a＞16，∵a為正整數(shù)，∴a取最小值2．答：最少購進(jìn)A品牌工具套裝2套．點睛：分式方程應(yīng)用題：一設(shè)，一般題里有兩個有關(guān)聯(lián)的未知量，先設(shè)出一個未知量，并找出兩個未知量的聯(lián)系；二列，找等量關(guān)系，列方程，這個時候應(yīng)該注意的是和差分倍關(guān)系：三解，正確解分式方程；四驗，應(yīng)用題要雙檢驗；五答，應(yīng)用題要寫答.19、（1）見解析；（2）tan∠DBC＝．【解析】

（1）先利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再利用平行線的性質(zhì)得∠AEO＝90°，則根據(jù)垂徑定理得到，從而有AD＝CD；（2）先在Rt△OAE中利用勾股定理計算出AE，則根據(jù)正切的定義得到tan∠DAE的值，然后根據(jù)圓周角定理得到∠DAC＝∠DBC，從而可確定tan∠DBC的值．【詳解】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，∴，∴AD＝CD；（2）解：∵AB＝10，∴OA＝OD＝5，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，在Rt△OAE中，AE＝＝4，∴tan∠DAE＝，∵∠DAC＝∠DBC，∴tan∠DBC＝．【點睛】垂徑定理及圓周角定理是本題的考點，熟練掌握垂徑定理及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見解析；（2）結(jié)論：四邊形ACDF是矩形．理由見解析.【解析】

（1）只要證明AB=CD，AF=CD即可解決問題；（2）結(jié)論：四邊形ACDF是矩形．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判斷即可；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BE∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=CF．（2）解：結(jié)論：四邊形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等邊三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四邊形ACDF是矩形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.21、(1)圓的半徑為4.5；(2)EF=．【解析】

（1）連接OD，根據(jù)垂徑定理得：DH=2，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論；（2）過O作OG⊥AE于G，證明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的長，從而得EF的長．【詳解】（1）連接OD，∵直徑AB⊥弦CD，CD=4，∴DH=CH=CD=2，在Rt△ODH中，AH=5，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，解得：r=4.5，則圓的半徑為4.5；（2）過O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，∴，∴，∴AF=，∴EF=AF﹣AE=﹣6=．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確添加輔助線并熟練掌握垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì).22、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）先判定，可得，再根據(jù)是的中線，即可得到，依據(jù)，即可得出四邊形是平行四邊形；（2）先判定，即可得到，依據(jù)，可得根據(jù)是的中線，可得，進(jìn)而得出四邊形是矩形.【詳解】證明：（1）是的中點，，，，又，，，又是的中線，，又，四邊形是平行四邊形；（2），，∴，即，，又，，又是的中線，，又四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形.【點睛】本題主要考查了平行四邊形、矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意：對角線相等的平行四邊形是矩形.23、（1）①（2，0），（1，），（﹣1，）；②y=x；③y=x，y=﹣x+；（2）①半徑為4，M（，）；②﹣1＜r＜+1．【解析】

（1）①如圖2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解決問題；②如圖2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；③如圖3-3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；（2）①如圖3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y軸交OA于N．解直角三角形即可解決問題；②如圖4中，連接OM，作MK∥x軸交y軸于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN=NE=1時，⊙M的半徑即可解決問題.【詳解】（1）①如圖2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x軸于F，由題意OC=CD=1，OA=BC=2，∴BD=OE=1，OD=CF=BE=，∴A（2，0），B（1，），C（﹣1，），故答案為（2，0），（1，），（﹣1，）；②