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文檔簡介
黃金沖刺大題04概率統(tǒng)計(精選30題)12024·浙江紹興·二模)盒中有標記數(shù)字1,2的小球各2個.(1)若有放回地隨機取出2個小球,求取出的2個小球上的數(shù)字不同的概率;(2)若不放回地依次隨機取出4個小球,記相鄰小球上的數(shù)字相同的對數(shù)為X(如1122,則X2求XEX.的分布列及數(shù)學期望22024·江蘇揚州·模擬預測)甲?乙兩人進行某棋類比賽,每局比賽時,若決出輸贏則獲勝方得2分,負1方得0分;若平局則各得1分.已知甲在每局中獲勝?平局?負的概率均為,且各局比賽結果相互獨立.3(1)若比賽共進行了三局,求甲共得3分的概率;(2)規(guī)定比賽最多進行五局,若一方比另一方多得4分,則停止比賽,求比賽局數(shù)X的分布列與數(shù)學期望.32024·江蘇南通·某班組建了一支8師擔任教練.(1)從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長,甲不擔任隊長,共有多少種選法?(2)某次傳球基本功訓練,體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓練,老師傳給每位學生的概率都相等,每1位學生傳球給同學的概率也相等,學生傳給老師的概率為.傳球從老師開始,記為第一次傳球,前三次傳7球中,甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少?42024·重慶·模擬預測)中國在第752060年之前實現(xiàn)碳中和(“雙碳目標”)“雙碳目標”了調查客戶對旗下AITO問界M7的滿意程度,對所有的意向客戶發(fā)起了滿意度問卷調查,將打分在80分以上的客戶稱為“問界粉”(滿分100分)(1)估計本次調查客戶打分的中位數(shù)(結果保留一位小數(shù));(2)按是否為“問界粉”比例采用分層抽樣的方法抽取10名客戶前往重慶賽力斯兩江智慧工廠參觀,在10名參觀的客戶中隨機抽取2名客戶贈送價值2“問界粉”人數(shù)為的E分布列和數(shù)學期望.52024·福建三明·三模)111賽,現(xiàn)有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫,其中家政類占,園藝類占,民族工藝類占.根據(jù)442224以往答題經(jīng)驗,選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為,,,選手乙答對這三類題5551目的概率均為.2(1)求隨機任選1題,甲答對的概率;(2)現(xiàn)進行甲、乙雙人對抗賽,規(guī)則如下:兩位選手進行三輪答題比賽,每輪只出1道題目,比賽時兩位選手同時回答這道題,若一人答對且另一人答錯,則答對者得1分,答錯者得1分,若兩人都答對或都答錯,則兩人均得0分,累計得分為正者將獲得獎品,且兩位選手答對與否互不影響,每次答題的結果也互不影響,求甲獲得獎品的概率.62024·江蘇南京·二模)某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x(萬元)與銷售額y(萬元)的數(shù)據(jù)如下:超市ABCDE廣告支出x銷售額y245683040606070(1)從ABCDE這5家超市中隨機抽取360萬元的超市個數(shù)為XXE(X)的分布列及期望;(2)利用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程,并預測廣告支出為10萬元時的銷售額.nxynxyii??b1??ybx.附:線性回歸方程?bx?中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:i,ni2nx2i172024·重慶·三模)1負的一方在下一局當裁判,設各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結果都相互獨立,第1局甲當裁2第局乙當裁判pPX判.記隨機變量X,i,n,,X表示前局中乙當裁判的次數(shù).niii第局甲或丙當裁判(1)求事件“n3且X1”的概率;pi(2)求;EX的實際含義.(3)求EX,并根據(jù)你的理解,說明當充分大時nYEXEY.附:設X,Y都是離散型隨機變量,則EX82024·安徽池州·二模)學校組織某項勞動技能測試,每位學生最多有3次測試機會.一旦某次測試通過,便可獲得證書,不再參加以后的測試,否則就繼續(xù)參加測試,直到用完3次機會.如果每位學生在3次測試0.5,0.6,0.8,且每次測試是否通過相互獨立.現(xiàn)某小組有3位學生參加測試,回答下列中通過的概率依次為問題:(1)求該小組學生甲參加考試次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望EX;(2)規(guī)定:在2次以內測試通過(包含2次)獲得優(yōu)秀證書,超過2次測試通過獲得合格證書,記該小組3位學生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為Y,求使得PYk取最大值時的整數(shù)k.92024·遼寧·二模)下:當所擲點數(shù)為1點時,棋子不動;當所擲點數(shù)為3或5時,棋子在數(shù)軸上向左(數(shù)軸的負方向)移動“該點數(shù)減1”個單位;當所擲的點數(shù)為偶數(shù)時,棋子在數(shù)軸上向右(數(shù)軸的正方向)移動“該點數(shù)的一半”個單位;第一次投骰子時,棋子以坐標原點為起點,第二次開始,棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點.(1)投擲骰子一次,求棋子的坐標的分布列和數(shù)學期望;(2)投擲骰子兩次,求棋子的坐標為2的概率;(3)投擲股子兩次,在所擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)的條件下,求棋子的坐標為正的概率.102024·廣東湛江·12格,…251532512Pn2,3,n,25.格,直到棋子跳到第24格或第25格時,游戲結束.記棋子跳到第n格的概率為(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望;Pnn1,24為等比數(shù)列.(2)證明:數(shù)列Pn112024·廣東韶關·二模)小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動,已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是131148獎規(guī)則是:若擊中區(qū)域甲則獲一等獎;若擊中區(qū)域乙則有一半的機會獲得二等獎,有一半的機會獲得三等獎;若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎;若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優(yōu)秀射擊手”稱號.(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率;(2)小明在比賽中射擊4次,每次射擊的結果相互獨立,設獲三等獎的次數(shù)為X,求X分布列和數(shù)學期望.122024·河北邢臺·A類題和BA類題正確的概率為0.9,小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45.已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍.(1)求小張在題庫中任選一題,回答正確的概率;(2)已知題庫中的題目數(shù)量足夠多,該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目,若小張在這10個題目中恰好回答正確k個(k0,1,2,,10)的概率為,則當k為何值時,最大?PPkk?132024·湖南衡陽·模擬預測)某電競平臺開發(fā)了AB兩款訓練手腦協(xié)同能力的游戲,A款游戲規(guī)則是:五關競擊有獎闖關,每位玩家上一關通過才能進入下一關,上一關沒有通過則不能進入下一關,且每關第一次沒有通過都有再挑戰(zhàn)一次的機會,兩次均未通過,則闖關失敗,各關和同一關的兩次挑戰(zhàn)能否通過相n且n≥2)互獨立,競擊的五關分別依據(jù)其難度賦分.B(nN*關,每位玩家都有12n1次闖關時,33若闖關成功則得105分.從第2?5分.電競游戲玩家甲先后玩AB兩款游戲.32(1)電競游戲玩家甲玩A款游戲,若第一關通過的概率為,第二關通過的概率為,求甲可以進入第三關43的概率;(2)電競游戲玩家甲玩B款游戲,記玩家甲第i次闖關獲得的分數(shù)為Xii,n,求EX關于i的解析i273式,并求EX的值.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):0.059).8142024·湖南邵陽·模擬預測)2023年8月3日,公安部召開的新聞發(fā)布會公布了“提高道路資源利用率”和“便利交通物流貨運車輛通行”優(yōu)化措施,其中第二條提出推動緩解停車難問題.在持續(xù)推進緩解城鎮(zhèn)老舊小區(qū)居民停車難改革措施的基礎上,因地制宜在學校、醫(yī)院門口設置限時停車位,支持鼓勵住宅小區(qū)和機構停車位錯時共享.某醫(yī)院門口設置了限時停車場(停車時間不超過60車時間不超過1515分鐘但不超過30分鐘收費330分鐘但不超過45分鐘收費945分鐘但不超過60分鐘收費1860來該停車場停車,且甲、乙的停車時間的概率如下表所示:0,1515,304545,60停車時間/分鐘1414甲aa1613乙2bb設此次停車中,甲所付停車費用為X,乙所付停車費用為Y.(1)在XYX18的條件下,求XY的概率;Y,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.(2)若152024·湖北·一模)2023年12月30/遠征一號S運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛,隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術實驗衛(wèi)星送入預定軌道,發(fā)射任務獲得圓滿完成,此次任務是長征系列運載火箭的第5052023年完美收官.某市一調研機構為了了解當?shù)貙W生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關注度,隨機的從本市大學生和高中生中抽取一個容量為n的樣本進行調查,調查結果如下表:關注度學生群體合計關注不關注71大學生高中生nn21035合計附:n0.10.050.00255.0240.010.0012.7063.8416.63510.828n(adbc)22,其中nabcd.(ab)(cd)(acbd)0.05(1)容量n的最小值;(2)該市為了提高本市學生對航天事業(yè)的關注,舉辦了一次航天知識闖關比賽,包含三個問題,有兩種答題方案選擇:方案一:回答三個問題,至少答出兩個可以晉級;方案二:在三個問題中,隨機選擇兩個問題,都答對可以晉級.342312已知小華同學答出三個問題的概率分別是,,,小華回答三個問題正確與否相互獨立,則小華應該選擇哪種方案晉級的可能性更大?(說明理由)162024·湖北·二模)吸煙有害健康,現(xiàn)統(tǒng)計4名吸煙者的吸煙量x與損傷度y,數(shù)據(jù)如下表:吸煙量x損傷度y13485667(1)從這4名吸煙者中任取2名,其中有1名吸煙者的損傷度為8,求另1吸煙者的吸煙量為6的概率;n(2)在實際應用中,通常用各散點(r,y)到直線ybxa的距離的平方和Siay)來刻畫“整體接近i2i1?程度”.S越小,表示擬合效果越好.試根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出經(jīng)驗回歸直線方程ybx?.并根據(jù)所求經(jīng)驗回歸直線估計損傷度為10時的吸煙量.n(xxyy)ii??附:bi1,?ybx.n(ix)2i1172024·山東棗莊·一模)有甲、乙兩個不透明的罐子,甲罐有3個紅球,2個黑球,球除顏色外大小完全相同.某人做摸球答題游戲.規(guī)則如下:每次答題前先從甲罐內隨機摸出一球,然后答題.若答題正確,1則將該球放入乙罐;若答題錯誤,則將該球放回甲罐.此人答對每一道題目的概率均為.當甲罐內無球2時,游戲停止.假設開始時乙罐無球.(1)求此人三次答題后,乙罐內恰有紅球、黑球各1個的概率;,n5次答題后游戲停止的概率為nnN*a.n(2)設第an①求;an②是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,試說明理由.182024·安徽合肥·二模)樹人中學高三(1)班某次數(shù)學質量檢測(滿分150分)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:性別參加考試人數(shù)平均成績標準差男女3020100901619x,x,x,,x,其平均數(shù)記為x,n在按比例分配分層隨機抽樣中,已知總體劃分為2層,把第一層樣本記為1233方差記為s21y,y,y,,ym,其平均數(shù)記為y,方差記為s2212為z,方差記為s.21n22yz(1)證明:s2ns21xzms22;m(2)求該班參加考試學生成績的平均數(shù)和標準差(精確到1,以該班參加考試學生成績的平均數(shù)和標準差分別作N,2(3)假設全年級學生的考試成績服從正態(tài)分布的估計值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為,B,C,D四為和個等級,試確定各等級的分數(shù)線(精確到1附:PX30217,32235219.192024·福建福州·模擬預測)甲企業(yè)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件尺寸的誤差X服從正態(tài)分布0.2,0.2的零件為優(yōu)等品,X0.6,0.6的零件為合格品.N0.22,規(guī)定X(1)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100(2)乙企業(yè)擬向甲企業(yè)購買這批零件,先對該批零件進行質量抽檢,檢測的方案是:從這批零件中任取2個作檢測,若這22個零件中恰有1個為優(yōu)等品,1個為合格品但非優(yōu)等品,則再從這批零件中任取1個作檢測,若為優(yōu)等品,則通過檢測;其余情況都不通過檢測.求這批零件通過檢測時,檢測了2個零件的概率(精確到0.01N,,則P0.6827,P0.9545,2(附:若隨機變量0.9973)P33202024·河北保定·二模)某興趣小組調查并統(tǒng)計了某班級學生期末統(tǒng)考中的數(shù)學成績和建立個性化錯題本的情況,用來研究這兩者是否有關.若從該班級中隨機抽取1A“抽取的學生期末統(tǒng)考中的數(shù)235623學成績不及格”,B“抽取的學生建立了個性化錯題本”,且P(A|B),P(B|),PB.(1)求PA和PAB.(2)若該班級共有360.005的數(shù)學成績與建立個性化錯題本是否有關,期末統(tǒng)考中的數(shù)學成績個性化錯題本建立合計及格不及格未建立合計(3)2)中的判斷,該興趣小組準備在其他班級中抽取一個容量為36k本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中,所有的數(shù)據(jù)都擴大為(2)中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的k倍,且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)).0.001的獨立性檢驗可以肯定(2)中的判斷,試確定k的最小值若要使得依據(jù)2nadbc2nabcd,.參考公式及數(shù)據(jù):abcdacbd0.010.0050.001a6.6357.87910.828212024·浙江紹興·書接上回.麻將學習小組中的炎俊同學在探究完問題后返回家中觀看了《天.”雀力值”和”能力值”來確定每位角色的超能力麻將水平,發(fā)現(xiàn)每位角色在一局麻將中的得分與個人值和該桌平均值之差存在著較大的關系.(注:平均值指的是該桌內四個人各自的“雀力值”和“能力值”之和的平均值,個人值類似.)為深入研究這兩者的關系,他列出了以下表格:x963個人值與平均值之差00369y36700得分3860023100109001180024100x,yx,y之間是否基本上滿足線性關系,注意:保留至第一位非9的數(shù).(1)①計算的相關系數(shù)r,并判斷yx②求出與的經(jīng)驗回歸方程.③以下為《天才麻將少女》中幾位角色的”雀力值”和”能力值”:角色宮永照園城寺憐花田煌松實玄雀力值能力值242491034616試估計此四位角色坐在一桌打麻將每一位的得分(近似至百位)(2)在分析了更多的數(shù)據(jù)后,炎俊發(fā)現(xiàn)麻將中存在著很多運氣的成分.為衡量運氣對于麻將對局的影響,炎俊建立了以下模型,其中他指出:實際上的得分并不是一個固定值,而是具有一定分布的,存在著一個標準差.運氣實際上體現(xiàn)在這一分布當中取值的細微差別.接下去他便需要得出得分的標準差.他發(fā)現(xiàn)這一標準差來源自兩個方面:一方面是在(1)②問當中方程斜率b存在的標準差b;另一方面則是在不影響平均值(為評估得出的個人值)已知松實玄實X~N,2的情況下,實際表現(xiàn)“個人值”X符合正態(tài)分布規(guī)律..10.5PX0.02275,求(1)③中其得分的標準差.(四舍五入到百位)際表現(xiàn)個人值滿足(3)現(xiàn)在新提出了一種賽制:參賽者從平均值為10開始進行第一輪挑戰(zhàn),之后每一輪對手的”雀力值”和”能4EX力值”均會提升至原來的.我們設進行了i輪之后,在前i輪內該參賽者的總得分為;若園城寺憐參i3EXn加了此比賽,求i2ii177xy1029000i24209320000.參考數(shù)據(jù)和公式:①;iii1i1nixiyri1②相關系數(shù);nn2iy2ixi1i1nixiy$$$經(jīng)驗回歸方程ybxa,bi1,aybx;n2ixi111bn,其中為回歸數(shù)據(jù)組數(shù).r2bn2PX0.6827PX0.9545,,,X~N,2③對于隨機變量PX0.9973.R;x1時,1x1x,④fx2y2ff有標準差滿足⑤對間接計算得出的值.fxy13.2104;6.82.6;2946524171519104⑥3136222024·江蘇南通·模擬預測)“踩高蹺,猜燈謎”是我國元宵節(jié)傳統(tǒng)的文化活動.某地為了弘揚文化傳統(tǒng),發(fā)展“地攤經(jīng)濟”,在元宵節(jié)舉辦形式多樣的猜燈謎活動.(1)“燈謎”CB到稍難的C類并答對購物打七折優(yōu)惠,抽取燈謎規(guī)則如下:在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片,其中3張寫有A3張寫有B2張寫有C字母,顧客每次不放回從箱中隨機取出1到寫有A的卡片,則再抽1次,直至取到寫有B或C卡片為止,求該顧客取到寫有B卡片的概率.(2)小明嘗試去找全街最適合他的燈謎,規(guī)定只能取一次,并且只可以向前走,不能回頭,他在街道上一共n會遇到k1knk1條開始,只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的燈謎適合的,準備采用如下策略:不摘前條燈謎,自第就摘這條燈謎,否則就摘最后一條,設ktn,記小明摘到那條最適合的燈謎的概率為P.n4,k2,求P;①若nt②當趨向于無窮大時,從理論的角度,求P的最大值及P取最大值時的值.(取11k11n1nk)k232024·安徽·模擬預測)某校在90周年校慶到來之際,為了豐富教師的學習和生活,特舉行了答題競1次答題,答對得20分,答錯得10分,從第2次答題開始,答對則獲得上一次答題所得分數(shù)兩倍的得分,答錯得10分,教師甲參加答1題競賽,每次答對的概率均為,每次答題是否答對互不影響.2(1)求甲前3次答題的得分之和為70分的概率.(2)記甲第i次答題所得分數(shù)iXiN的數(shù)學期望為EX.i*EX與之間的關系式;i1(ⅰ)求EX,EX,EX,并猜想當i2時,EX123in320(ⅱ)若EX,求n的最小值.ii1242024·遼寧·某自然保護區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展,某種瀕臨滅絕動物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動物P擁有兩個亞種(分別記為A種和B種).為了調查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目,某動物研究小組計劃在該區(qū)域中捕捉100個動物P,統(tǒng)計其中A種的數(shù)目后,將捕獲的動物全部放回,作為一次試驗結果.設該區(qū)域中A種的數(shù)目重復進行這個試驗共20i次試驗中A種的數(shù)目為隨機變量Xi,20.i為M,B種的數(shù)目為N(M,N均大于100.X(1)求的分布列;11EXj(2)記隨機變量XX.已知EXXEX,DXXDXDX20iijiijiji11DXDX1;EXEX(i)證明:,120xii,20的平均值(ii)該小組完成所有試驗后,得到的實際取值分別為Xxi,20.數(shù)據(jù)ii.采用和s分別代替EX和DX,給出M,N的估計值.1x30,方差s2x2HP,n,Q(其中P為總數(shù),Qx(已知隨機變量服從超幾何分布記為:xn為某類元素的個數(shù),為抽取QQPnDx1n)PPP1252024·廣東廣州·一模)某校開展科普知識團隊接力闖關活動,該活動共有兩關,每個團隊由n(nnN)位成員組成,成員按預先安排的順序依次上場,具體規(guī)則如下:若某成員第一關闖關成功,*則該成員繼續(xù)闖第二關,否則該成員結束闖關并由下一位成員接力去闖第一關;若某成員第二關闖關成功,則該團隊接力闖關活動結束,否則該成員結束闖關并由下一位成員接力去闖第二關;當?shù)诙P闖關成功或所有成員全部上場參加了闖關,該團隊接力闖關活動結束.已知A團隊每位成員闖過第一關和第二關的概率3412分別為和,且每位成員闖關是否成功互不影響,每關結果也互不影響.(1)若n3,用X表示團隊闖關活動結束時上場闖關的成員人數(shù),求X的均值;A3(2)記A團隊第kknkN*)位成員上場且闖過第二關的概率為pkN*pk中元素的k128k最小值為,規(guī)定團隊人數(shù)nk01n.,求0262024·廣東深圳·二模)某大型企業(yè)準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調研和試生產(chǎn),質檢人員抽樣發(fā)現(xiàn):甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%;乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%;若將這兩批零件混合放在一起,則合格品率為97%.(1)從混合放在一起的零件中隨機抽取33個零件中來自甲工廠的個數(shù)為XX的分布列和數(shù)學期望;(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單,甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質量指標.已知在甲工廠提高質量指標的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率,大于在甲工廠不提高質量指標的條件下,該大型企業(yè)A“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質量指標”B“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知,證明:PABPAB.0PB1272024·湖南·二模)某大學有甲?乙兩個運動場.假設同學們可以任意選擇其中一個運動場鍛煉,也可選擇不鍛煉,一天最多鍛煉一次,一次只能選擇一個運動場.若同學們每次鍛煉選擇去甲或乙運動場的概率均1為,每次選擇相互獨立.設王同學在某個假期的三天內去運動場鍛煉的次數(shù)為X,已知X的分布列如下:2a0,0p1(其中)X0123apa1pap)2aP,,,B(1)記事件i表示王同學假期三天內去運動場鍛煉i次i0123表示王同學在這三天內去甲運動場1鍛煉的次數(shù)大于去乙運動場鍛煉的次數(shù).當p時,試根據(jù)全概率公式求PB的值;25(2)是否存在實數(shù)p,使得EX?若存在,求p的值:若不存在,請說明理由;3(3)記M表示事件“甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動”,N表示事件“王同學去甲運動場鍛煉”,0PM1.已知王同學在甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動的情況下去甲運動場鍛煉的概率,比不舉辦抽獎活動的情.P∣NP∣N況下去甲運動場鍛煉的概率大,證明:282024·山東濟南·二模)隨機游走在空氣中的煙霧擴散、股票市場的價格波動等動態(tài)隨機現(xiàn)象中有重要應用.在平面直角坐標系中,粒子從原點出發(fā),每秒向左、向右、向上或向下移動一個單位,且向四個方向1移動的概率均為.例如在1秒末,粒子會等可能地出現(xiàn)在1,0,1,0,0,1,0,1四點處.4xy的取值為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望EX;(1)設粒子在第2秒末移動到點x,y,記np.n(2)記第秒末粒子回到原點的概率為n(i)已知(Ckn)2Cn2n求3,p4以及;p2nk0bpS為數(shù)列bn的前M0nN*SMn(iin2nnn1nnne6πne4是常返的.已知n!證明:該粒子是常返的.,2πn2πnan292024·山東濰坊·二模)數(shù)列ann1a稱為naaaa的二階差數(shù)列,記為,…n1n1n2的一階差數(shù)列,記為,依此類推,的一階差數(shù)列稱為.如果nap是等比數(shù)列,則稱數(shù)列階等比數(shù)列pN*.a(chǎn)pap一個數(shù)列的階差數(shù)列為nn(1)已知數(shù)列an滿足11,an12an1.123(?。┣骯,a,a;(ⅱ)證明:a是一階等比數(shù)列;n203778215(2)已知數(shù)列b為二階等比數(shù)列,其前5項分別為,,,,求b及滿足b為整數(shù)的所有n值.nnn9999302024·浙江杭州·模擬預測)在概率較難計算但數(shù)據(jù)量相當大?UnionBoundA,,A(布爾不等式)進行估計概率.已知UnionBound不等式為:記隨機事件,則n1nPA2nPA.其誤差允許下可將左右兩邊視為近似相等據(jù)此解決以下問題:i.1i1nknt(1)有個不同的球,其中個有數(shù)字標號.每次等概率隨機抽取個球中的一個球.抽完后放回.記抽取次球Pt,現(xiàn)在給定常數(shù)p,則滿足Ptp后k個有數(shù)字標號的球每個都至少抽了一次的概率為的t的最小值nk為多少?請用UnionBound估計其近似的最小值,結果不用取整.這里相當大且遠大于;(2)然而實際情況中,UnionBound精度往往不夠,因此需要用容斥原理求出精確值.n1k1a1aa2..kA,,APA2nPAAaaan機事件11nk112k斥原理求出的精確的t的最小值是多少(結果不用取整)?相當大且遠大于.nkx1x1ex(12)問參考數(shù)據(jù):當相當大時,取1.黃金沖刺大題04概率統(tǒng)計(精選30題)12024·浙江紹興·二模)盒中有標記數(shù)字1,2的小球各2個.(1)若有放回地隨機取出2個小球,求取出的2個小球上的數(shù)字不同的概率;(2)若不放回地依次隨機取出4個小球,記相鄰小球上的數(shù)字相同的對數(shù)為X(如1122,則X2求XEX.的分布列及數(shù)學期望1【答案】(1);2(2)分布列見解析,1.1)根據(jù)組合知識求得取球的方法數(shù),然后由概率公式計算概率;(2)確定X的所有可能取值為0,1,2,然后分別計算概率得分布列,再由期望公式計算出期望.1)設事件A“取出的2個小球上的數(shù)字不同”,C12C12CC12C1212PA則.1C144(2)X的所有可能取值為0,1,2.2A22A22①當相鄰小球上的數(shù)字都不同時,如1212,有種,2A222130PX.則A2A22A22②當相鄰小球上的數(shù)字只有1對相同時,如1221,有種,2A22AA2213PX.則442A22A22③當相鄰小球上的數(shù)字有2對相同時,如1122,有種,2A222132PX.則A所以X的分布列為X012131313P11313所以X的數(shù)學期望EX01.12322024·江蘇揚州·模擬預測)甲?乙兩人進行某棋類比賽,每局比賽時,若決出輸贏則獲勝方得2分,負1方得0分;若平局則各得1分.已知甲在每局中獲勝?平局?負的概率均為,且各局比賽結果相互獨立.3(1)若比賽共進行了三局,求甲共得3分的概率;(2)規(guī)定比賽最多進行五局,若一方比另一方多得4分,則停止比賽,求比賽局數(shù)X的分布列與數(shù)學期望.7【答案】(1);2731781(2)分布列見解析,.1)寫出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出;(2)算出X為不同值時對應的概率并填寫分布列,之后求出數(shù)學期望即可.1)設“三局比賽后,甲得3分”為事件A,甲得3分包含以下情形:三局均為平局,三局中甲一勝一平一負,331317所以PAA33,3277故三局比賽甲得3分的概率為.272,3,4,5(2)依題意知X的可能取值為,1229PX22,33142C12PX3,32744131102C121PX4C3,3812941041,PX51PX2PX3PX41278181故其分布列為:X234542910814181P27241041317期望EX2.34592781818132024·江蘇南通·某班組建了一支8師擔任教練.(1)從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長,甲不擔任隊長,共有多少種選法?(2)某次傳球基本功訓練,體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓練,老師傳給每位學生的概率都相等,每1位學生傳球給同學的概率也相等,學生傳給老師的概率為.傳球從老師開始,記為第一次傳球,前三次傳7球中,甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少?【答案】(1)9種3(2).491)法一,利用分步乘法計數(shù)原理集合組合數(shù)的計算,即可求得答案;法二,利用間接法,即用不考慮隊長人選對甲的限制的所有選法,減去甲擔任隊長的選法,即可得答案;(2球回到老師手中的情況,結合乘法公式以及互斥事件的概率求法,即可求得答案.1)法一,先選出隊長,由于甲不擔任隊長,方法數(shù)為C;13再選出副隊長,方法數(shù)也是C13,故共有方法數(shù)為C13C139(種).方法二先不考慮隊長人選對甲的限制,共有方法數(shù)為A244312C,故甲不擔任隊長的選法種數(shù)為1239(種)13若甲任隊長,方法數(shù)為答:從甲、乙、丙、丁中任選兩人分別擔任隊長和副隊長,甲不擔任隊長的選法共有9種.1(2)①若第一次傳球,老師傳給了甲,其概率為;第二次傳球甲只能傳給乙、丙、丁中的任一位同學,467其概率為;17第三次傳球,乙、丙、丁中的一位傳球給老師,其概率為故這種傳球方式,三次傳球后球回到老師手中的概率為:,1613.477983②若第一次傳球,老師傳給乙、丙、丁中的任一位,其概率為,42第二次傳球,乙、丙、丁中的一位傳球給甲,其概率為,717第三次傳球,甲將球傳給老師,其概率為,3213這種傳球方式,三次傳球后球回到老師手中的概率為,47798333所以,前三次傳球中滿足題意的概率為:.9898493答:前三次傳球中,甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是.4942024·重慶·模擬預測)中國在第752060年之前實現(xiàn)碳中和(“雙碳目標”)“雙碳目標”了調查客戶對旗下AITO問界M7的滿意程度,對所有的意向客戶發(fā)起了滿意度問卷調查,將打分在80分以上的客戶稱為“問界粉”(滿分100分)(1)估計本次調查客戶打分的中位數(shù)(結果保留一位小數(shù));(2)按是否為“問界粉”比例采用分層抽樣的方法抽取10名客戶前往重慶賽力斯兩江智慧工廠參觀,在10名參觀的客戶中隨機抽取2名客戶贈送價值2“問界粉”人數(shù)為的E分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)73.3分35(2)分布列見解析;期望為1)根據(jù)頻率分布直方圖求解中位數(shù)的方法可得答案;(2)確定抽取的“問界粉”人數(shù),再確定的取值,求解分布列,利用期望公式求解期望.1)由頻率分布直方圖可知:打分低于70分的客戶所占比例為40%,打分低于80分的客戶的所占比例為70%,0.500.40220所以本次調查客戶打分的中位數(shù)在[70,80)內,由701073.3,0.700.403所以本次調查客戶打分的中位數(shù)約為73.3分;(2)根據(jù)按比例的分層抽樣:抽取的“問界粉”客戶3人,“非問界粉”客戶7人,則的所有可能取值分別為0,1,2,C03CC277C13CC177C23CC071P0)PP2)其中:,,,210152101521015所以ξ的分布列為:012771以數(shù)學期望E)012福建三明·三模)111賽,現(xiàn)有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫,其中家政類占,園藝類占,民族工藝類占.根據(jù)442224以往答題經(jīng)驗,選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為,,,選手乙答對這三類題5551目的概率均為.2(1)求隨機任選1題,甲答對的概率;(2)現(xiàn)進行甲、乙雙人對抗賽,規(guī)則如下:兩位選手進行三輪答題比賽,每輪只出1道題目,比賽時兩位選手同時回答這道題,若一人答對且另一人答錯,則答對者得1分,答錯者得1分,若兩人都答對或都答錯,則兩人均得0分,累計得分為正者將獲得獎品,且兩位選手答對與否互不影響,每次答題的結果也互不影響,求甲獲得獎品的概率.3【答案】(1)5441(2)10001)利用全概率公式,即可求得答案;(2XX甲總得分為Y的每個值相應的概率,即可得答案.Ai2,3,i1)記隨機任選1題為家政、園藝、民族工藝試題分別為事件記隨機任選1題,甲答對為事件BP1,P2,P3,PB|1,PB|2,PB|3,5PAPB|A3PBPAPB|APAPB|A則112231425142512453;5(2)設乙答對記為事件C,則PCPAPC|APAPC|APAPC|A11223311111112,424222設每一輪比賽中甲得分為X,31521031PX1PBCPBPC則,313152121PX0PBCBCPBCPCB1,52315215P(XPBC1,三輪比賽后,設甲總得分為Y,33210327127則PY,PY2332C,1010002200123102315279PY13231CC,10210002727279441所以甲最終獲得獎品的概率為PPY3PY2PY.10002001000100062024·江蘇南京·二模)某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x(萬元)與銷售額y(萬元)的數(shù)據(jù)如下:超市ABCDE廣告支出x銷售額y245683040606070(1)從ABCDE這5家超市中隨機抽取360萬元的超市個數(shù)為XXE(X)的分布列及期望;(2)利用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程,并預測廣告支出為10萬元時的銷售額.nxynxyii??b1?,?ybx.附:線性回歸方程?bx?中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:ini2nx2i19【答案】(1)X的分布列見解析,期望E(X)5?7x17(2);預測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元.1)根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列,進而可求解期望,(2)利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.1ABCDE這5家超市中隨機抽取360萬元的超市有CDE這3家超市,則隨機變量X的可能取值為1,2,3C13CC223C23CC1235,P(XC31P(X,P(X,3535C3105X的分布列為:X1233351P10103319數(shù)學期望E(X)123.105105245683040606070(2)x5,y52,55nxynxyii601603003605605552416253664552?bi17,n2nx2i1?527517.yx關于的線性回歸方程為?7x17;?7x17x10?7.在中,取,得預測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元.72024·重慶·三模)1負的一方在下一局當裁判,設各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結果都相互獨立,第1局甲當裁2第局乙當裁判pPX判.記隨機變量X,i,n,,X表示前局中乙當裁判的次數(shù).niii第局甲或丙當裁判(1)求事件“n3且X1”的概率;pi(2)求;EX的實際含義.(3)求EX,并根據(jù)你的理解,說明當充分大時nYEXEY.附:設X,Y都是離散型隨機變量,則EX34【答案】(1);1113p()()i1(2);i32p(3),答案見解析。i1)把事件“n3且X1”分拆成兩個互斥事件的和,再分別計算各事件的概率即可.Xi1XXi1XXi1pip與的關系式,利用構造i1(2)把事件分拆成互斥事件與的和,列出i1i1法求出數(shù)列通項即得.EX,再利用期望的性質求出(3)求出EX,iPnX11)當n3時,1PXX0PXX23231113P(XP(X0|XP(X0)P(X1|X0))1).2322322224X1i(2)當i2時,PX1PXX1PXii1ii11PX∣1PX1X1PX0PX1X∣00PXi1PX10,i1ii1i1it1i12121212111即i1i1i1p(i1),即,i32311312p01{p}又,因此是首項為,公比為的等比數(shù)列,i31113p()()i1.所以i321113pPX1()()i1,則EX1PX10PXi.(3)因為iiii032nnnniiXXEXE(X)E(X)ii且,則i1i1i1i1n1113n291)()i1](n)],3232i1nnEXn當充分大時,n穩(wěn)定在局中乙當裁判的平均次數(shù)穩(wěn)定在,這是因為各局中雙方獲勝的概331率均為,2所以經(jīng)過足夠多局之后,某局中甲、乙、丙當裁判得概率比值穩(wěn)定在1:1:1,1np或由(2)問結果得穩(wěn)定在附近,則乙當截判的平均次數(shù)穩(wěn)定在.i33【點睛】關鍵點點睛:利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和,相互獨立事件的積是解題的關鍵.82024·安徽池州·二模)學校組織某項勞動技能測試,每位學生最多有3次測試機會.一旦某次測試通過,便可獲得證書,不再參加以后的測試,否則就繼續(xù)參加測試,直到用完3次機會.如果每位學生在3次測試0.5,0.6,0.8,且每次測試是否通過相互獨立.現(xiàn)某小組有3位學生參加測試,回答下列中通過的概率依次為問題:(1)求該小組學生甲參加考試次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望EX;(2)規(guī)定:在2次以內測試通過(包含2次)獲得優(yōu)秀證書,超過2次測試通過獲得合格證書,記該小組3位學生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為Y,求使得PYk取最大值時的整數(shù)k.EX1.7【答案】(1)分布列見解析,(2)31)確定X的可能值,利用獨立事件的概率公式計算概率得分布列,再由期望公式計算出期望;4(2)確定Y所有可能取的值為3,得出YB,利用二項公布的概率公式計算出各概率后可得,5PYPYk1k1也可以解不等式得出結論.1)由題意知,X所有可能取的值為2,3,PXPX210.50.6PX310.510.60.2,X的分布列如下:X1230.50.30.2PEX10.520.330.21.7;45(2)由題意知,每位學生獲得優(yōu)秀證書的概率PPXPX20.50.30.8,方法一:45Y所有可能取的值為2,3,且YB,03441PY0C031,5512541542125125PY131C1,2145448PY232C1,5125304464PY333C1,55125PY0PYPY12PY3,PYk取得最大值時,整數(shù)的值為.k3所以使得方法二:4k3k14YB由得PYkCk3,k2,3,5554k13kCk3PYPYk1k44k44141k2,3,434554k所以所以k141kk3k1C355PYPY32PY1PY1,PYk取得最大值時,整數(shù)的值為.k3所以使得92024·遼寧·二模)下:當所擲點數(shù)為1點時,棋子不動;當所擲點數(shù)為3或5時,棋子在數(shù)軸上向左(數(shù)軸的負方向)移動“該點數(shù)減1”個單位;當所擲的點數(shù)為偶數(shù)時,棋子在數(shù)軸上向右(數(shù)軸的正方向)移動“該點數(shù)的一半”個單位;第一次投骰子時,棋子以坐標原點為起點,第二次開始,棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點.(1)投擲骰子一次,求棋子的坐標的分布列和數(shù)學期望;(2)投擲骰子兩次,求棋子的坐標為2的概率;(3)投擲股子兩次,在所擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)的條件下,求棋子的坐標為正的概率.E(X)0【答案】(1)分布列見解析,1(2)(3)9491)由題目分析即可得出分布列,再用數(shù)學期望公式計算即可;(2)分析出所有滿足投擲骰子兩次,棋子的坐標為2的所有情況,即可求出概率;(3根據(jù)條件概率公式計算即可.1X2,31)設X為投擲骰子一次棋子的坐標,由題可知,且概率都相同為,6分布列如下:X420123161616161616P1E(X)(42120.6(2)投擲骰子兩次,棋子的坐標為2的情況有:①第一次坐標為4(點數(shù)為52個單位(點數(shù)為4②第一次坐標為2(點數(shù)為31③第一次坐標為0(點數(shù)為12個單位(點數(shù)為3④第一次坐標為2(點數(shù)為44個單位(點數(shù)為5119故投擲骰子兩次,棋子的坐標為2的概率為P4.36(3)設事件A“擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)”,B“投擲股子兩次棋子的坐標為正”,2C1336C1312由題可知,PA,投擲股子兩次,所擲兩次點數(shù)和為奇數(shù),且棋子的坐標為正的點數(shù)情況有:1296和1,6和3,4和1,1和2,共8種情況,故P(AB)8,362P(AB)P()4991P(B|)則在所擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)的條件下,棋子的坐標為正的概率.2102024·廣東湛江·12格,…251532512Pn2,3,n,25.格,直到棋子跳到第24格或第25格時,游戲結束.記棋子跳到第n格的概率為(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望;Pnn1,24為等比數(shù)列.(2)證明:數(shù)列Pn65【答案】(1)分布列見解析;期望EX(2)證明見解析;;1)寫出X的所有可能取值并求出對應的概率,即可列出分布列,計算求出期望值;3525(2)依題意根據(jù)跳格規(guī)則可得PPn2n1,即可得出證明;n1)根據(jù)題意可知,X的所有可能取值為0,1,2;CC22251C12CC13635CC232530PX2,PXPX則,;10251010可得X的分布列如下:X0121353P10101336.期望值為EX012105105(2)依題意,當3n23時,棋子跳到第格有兩種可能:n第一種,棋子先跳到第n2格,再摸出兩球顏色不同;第二種,棋子先跳到第n1格,再摸出兩球顏色相同;C13CC1235又可知摸出兩球顏色不同,即跳兩格的概率為,25C23C+C2225摸出兩球顏色相同,即跳一格的概率為;253525因此可得PPn2P;n1n323P所以PPn1Pn2Pn1Pn1P,n2nn1555nP35n1因此可得,PPn2n135PPnn1,24是公比為-的等比數(shù)列.即數(shù)列n112024·廣東韶關·二模)小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動,已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是131148獎規(guī)則是:若擊中區(qū)域甲則獲一等獎;若擊中區(qū)域乙則有一半的機會獲得二等獎,有一半的機會獲得三等獎;若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎;若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優(yōu)秀射擊手”稱號.(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率;(2)小明在比賽中射擊4次,每次射擊的結果相互獨立,設獲三等獎的次數(shù)為X,求X分布列和數(shù)學期望.11【答案】(1)24(2)分布列見解析;EX11)根據(jù)概率已知條件記“射擊一次獲得‘優(yōu)秀射擊手’稱號”為事件AABC,利用互斥事件的概率加法計算公式所以求B;射擊一次獲得一等獎為事件C,分析可知PBC即可.1XB,(2)根據(jù)題意判斷,根據(jù)二項分布求概率、期望公式計算即可4.1)記“射擊一次獲得‘優(yōu)秀射擊手’稱號”為事件A;射擊一次獲得一等獎為事件B;1射擊一次獲得一等獎為事件C,所以有ABC,所以PB,314121813181124PC,所以.PAPBPBPCC(2)獲得三等獎的次數(shù)為X,X的可能取值為0,1,2,3,4;18141214記“獲得三等獎”為事件D,所以PD,04131381132714004所以PXC,PXC,44256446422313542713123224334PXCC,PXC,44256644425612840131404PX,所以44256X012348127642731P2561286425611XB,.EX顯然,4414122024·河北邢臺·A類題和BA類題正確的概率為0.9,小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45.已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍.(1)求小張在題庫中任選一題,回答正確的概率;(2)已知題庫中的題目數(shù)量足夠多,該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目,若小張在這10個題目中恰好回答正確k個(k0,1,2,,10)的概率為,則當k為何值時,最大?PPkk【答案】(1)0.6(2)61)由獨立事件的乘法概率求出即可;kPk1(2)由二項分布中最大值的計算求出即可,可設,利用組合數(shù)的性質求出k即可.kPk1PA,小張在題庫中1)設小張回答A類題正確的概率為任選一題,回答正確的概率為P,,小張回答類題正確的概率為PBB由題意可得P()=P(B)=0.45,1212P=P()+P(B)=′0.9+′0.45=0.6,所以3333所以小張在題庫中任選一題,回答正確的概率為0.6.10()(10k-k(2)由(1)可得k=Ck0.6′0.4,kPk1設,kPk10.6kk0.410kkk10.6C10kk10.40.49kCk10即,11k0.60.410k10.6C101Ck1010!k!10k!10!232k1!9k!所以,10!k!10k!10!3k1!11k!2k1310k即,311k2k285335k解得,又kZ,所以k6時,最大.Pk?132024·湖南衡陽·模擬預測)某電競平臺開發(fā)了AB兩款訓練手腦協(xié)同能力的游戲,A款游戲規(guī)則是:五關競擊有獎闖關,每位玩家上一關通過才能進入下一關,上一關沒有通過則不能進入下一關,且每關第一次沒有通過都有再挑戰(zhàn)一次的機會,兩次均未通過,則闖關失敗,各關和同一關的兩次挑戰(zhàn)能否通過相n且n≥2)互獨立,競擊的五關分別依據(jù)其難度賦分.B(nN*關,每位玩家都有12n1次闖關時,33若闖關成功則得105分.從第2?5分.電競游戲玩家甲先后玩AB兩款游戲.32(1)電競游戲玩家甲玩A款游戲,若第一關通過的概率為,第二關通過的概率為,求甲可以進入第三關43的概率;(2)電競游戲玩家甲玩B款游戲,記玩家甲第i次闖關獲得的分數(shù)為Xii,n,求EX關于i的解析i273式,并求EX的值.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):0.059).856【答案】(1);i1102310,9.80(2)EX3i1)利用獨立事件的乘法公式,結合甲闖關的可能情況求解即可;2310323103(2EXEXEXEX10i1iii即可EX.出81)記事件表示第次通過第一關,事件表示第次通過第二關,AiBiii設甲可以進入第三關的概率為P,PAABB2PPABPAABPABB由題意知11121112121PAPBPAPAPBPAPBPBPAPAPBPB1112111212123233232244343333224433561111.431223103(2)依題意得X2X5Xi,i1i33231032103EXiEXEX所以,i1i3231010,EXEXi1iX又隨機變量的可能取值為10,5,其分布列為1X1105132P3203103所以EX1,得EX110,1032所以為等比數(shù)列.其中首項為,公比為.EXi3i1i110210210*i10.所以EX,iN,即EXi33337102所以EX109.8.833142024·湖南邵陽·模擬預測)2023年8月3日,公安部召開的新聞發(fā)布會公布了“提高道路資源利用率”和“便利交通物流貨運車輛通行”優(yōu)化措施,其中第二條提出推動緩解停車難問題.在持續(xù)推進緩解城鎮(zhèn)老舊小區(qū)居民停車難改革措施的基礎上,因地制宜在學校、醫(yī)院門口設置限時停車位,支持鼓勵住宅小區(qū)和機構停車位錯時共享.某醫(yī)院門口設置了限時停車場(停車時間不超過60車時間不超過1515分鐘但不超過30分鐘收費330分鐘但不超過45分鐘收費945分鐘但不超過60分鐘收費1860來該停車場停車,且甲、乙的停車時間的概率如下表所示:0,1515,304545,60停車時間/分鐘1414甲乙aab16132b設此次停車中,甲所付停車費用為X,乙所付停車費用為Y.(1)在XYX18的條件下,求XY的概率;Y,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.(2)若5【答案】(1)7598(2)分布列見解析,E1)根據(jù)概率的性質求出a,b,求出XY18的概率及XY的概率可得答案;(2)根據(jù)X、Y的值可得的取值,再求取值對應的概率可得分布列、期望.14118aa31,解得a1)根據(jù)題意可得,416116bb1b,解得,3甲所付停車費用為18元,乙所付停車費用為0元可得XYY18,18,111P1其概率為;8648甲所付停車費用為0元,乙所付停車費用為18元可得X14161P2其概率為;24甲所付停車費用為9元,乙所付停車費用為9元可得XY18,111P3其概率為;43121117所以XY18的概率PPPP,12348241248可得在XY18的條件下,111P3481275XY的概率為;PPP712348(2)的取值為0,3,6,9,15,18,1131111113P0,46834386481131P34386487,1131P64383245,14161143141115P9,6832431118638485P15P18,,11141638648隨機變量的分布列為03691518134875553P4824244848所以隨機變量的數(shù)學期望1375553598018.E36915484824244824152024·湖北·一模)2023年12月30/遠征一號S運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛,隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術實驗衛(wèi)星送入預定軌道,發(fā)射任務獲得圓滿完成,此次任務是長征系列運載火箭的第5052023年完美收官.某市一調研機構為了了解當?shù)貙W生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關注度,隨機的從本市大學生和高中生中抽取一個容量為n的樣本進行調查,調查結果如下表:關注度學生群體合計關注不關注71大學生高中生nn21035合計附:n0.10.050.00255.0240.010.0012.7063.8416.63510.828n(adbc)22,其中nabcd.(ab)(cd)(acbd)0.05(1)容量n的最小值;(2)該市為了提高本市學生對航天事業(yè)的關注,舉辦了一次航天知識闖關比賽,包含三個問題,有兩種答題方案選擇:方案一:回答三個問題,至少答出兩個可以晉級;方案二:在三個問題中,隨機選擇兩個問題,都答對可以晉級.342312已知小華同學答出三個問題的概率分別是,,,小華回答三個問題正確與否相互獨立,則小華應該選擇哪種方案晉級的可能性更大?(說明理由)【答案】(1)nmin40(2)選擇方案一,理由見解析1)先補全22列聯(lián)表,求得2nn關于的表達式,再利用獨立性檢驗得到關于的不等式,解之即可得解;(2)利用獨立事件的概率公式分別求得方案一與方案二中小化晉級的概率,再比較即可得解.1)關注度學生群體合計關注不關注15712大學生高中生nnnnnn101153n1010325合計nn5H零假設為:關注航天事業(yè)發(fā)展與學生群體無關,0nnnn225510n8n根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到2,7nnn2n631010550.05的獨立性檢驗,認為關注航天事業(yè)發(fā)展與學生群體有關,因為依據(jù)小概率值8n23.841n30.25,所以63min40由題可知,n是10的倍數(shù),(2)記小華同學答出三個問題的事件分別A,B,C,342312則PA,PBPC,,P1記選擇方案一通過的概率為,P1PABCPABCPABC則PABC3213111213211743243243243224;P2記選擇方案二通過的概率為,131313則PPABPBCPAC2132213129343324272;1P,小華應該選擇方案一.2162024·湖北·二模)吸煙有害健康,現(xiàn)統(tǒng)計4名吸煙者的吸煙量x與損傷度y,數(shù)據(jù)如下表:吸煙量x損傷度y13485667(1)從這4名吸煙者中任取2名,其中有1名吸煙者的損傷度為8,求另1吸煙者的吸煙量為6的概率;n(2)在實際應用中,通常用各散點(r,y)到直線ybxa的距離的平方和Siay)來刻畫“整體接近i2i1?程度”.S越小,表示擬合效果越好.試根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出經(jīng)驗回歸直線方程ybx?.并根據(jù)所求經(jīng)驗回歸直線估計損傷度為10時的吸煙量.n(xxyy)ii??附:bi1,?ybx.n(ix)2i11【答案】(1);,31001111(2)yx142071)列舉出試驗的全體基本事件,利用古典概率及條件概率公式計算得解.(2)利用表格中數(shù)據(jù)求出最小二乘法公式中的相關量,求出回歸直線方程,再利用方程求出估計值.1)這4名吸煙者中,損傷度為8的吸煙者的吸煙量為4,從4名吸煙者中任取2名,全部基本事件有4),6),(4,(4,6),6),其中有1名吸煙者的吸煙量為4的共有3種情形,記事件A:有1名吸煙者的吸煙量為4,事件B:有1名吸煙者的吸煙量為6,361216P(AB)P()13,P(AB)P(B|)則P(),所以另1吸煙者的吸煙量為6的概率為3867.1456(2)x4,y6,4444(xx)(yy)((021021,(ix)2(3)20222214,iii1i14(xx)(yy)ii11141114207??bx因此bi1,?y64,4(ix)2i1100111120所以經(jīng)驗回歸直線方程為yx,當y10時,x,14710011所以損傷度為10時,估計吸煙量為.172024·山東棗莊·一模)有甲、乙兩個不透明的罐子,甲罐有3個紅球,2個黑球,球除顏色外大小完全相同.某人做摸球答題游戲.規(guī)則如下:每次答題前先從甲罐內隨機摸出一球,然后答題.若答題正確,1則將該球放入乙罐;若答題錯誤,則將該球放回甲罐.此人答對每一道題目的概率均為.當甲罐內無球2時,游戲停止.假設開始時乙罐無球.(1)求此人三次答題后,乙罐內恰有紅球、黑球各1個的概率;,n5次答題后游戲停止的概率為nnN*a.n(2)設第an①求;an②是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,試說明理由.9【答案】(1)401n235(2)①anC4n1,②存在,最大值8a92561)根據(jù)全概率公式即可求解,1n(2)根據(jù)題意可得anC4n1,即可利用作商求解單調性,即可求解最值.21)記M“此人三次答題后,乙罐內恰有紅、黑各一個球”,i“i1,2,3;第次摸出紅球,并且答題正確,i”Bj“第j次摸出黑球,并且答題正確”,j2,3;Ck“k2,3第次摸出紅球或黑球,并且答題錯誤,,k”MABCBACACBBCACABCBA所以.12312312312312312331321141212又P1;PBA;PCAB1,21312521042PAPBAPCAB121312PABCPABPCAB所以1231231231413.102803同理:PBACPACBPBCAPCABPCBA1231231231231238039所以PMPABC6.61238040nn5n次,且第次摸出最后(2)①第n1次答題正確恰好為4次,答題錯誤一球時答題正確.4n51n.1112所以anC4n1C4n12221n2②由①知aCn4n1,n112n!1CC4nan1an4!n4!2n所以令.2n4nn1!14n124!n5!nn11,解得,解得n8;n9.2n42n4aaaaaaa所以,56789101135aaa89所以的最大值是.n256182024·安徽合肥·二模)樹人中學高三(1)班某次數(shù)學質量檢測(滿分150分)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:性別參加考試人數(shù)平均成績標準差男女3020100901619x,x,x,,x,其平均數(shù)記為x,n在按比例分配分層隨機抽樣中,已知總體劃分為2層,把第一層樣本記為123方差記為s21y,y,y,,ym,其平均數(shù)記為y,方差記為s22123為z,方差記為s.21n22yz(1)證明:s2ns21xzms22;m(2)求該班參加考試學生成績的平均數(shù)和標準差(精確到1,以該班參加考試學生成績的平均數(shù)和標準差分別作N,2(3)假設全年級學生的考試成績服從正態(tài)分布的估計值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績從高分到低分依次劃分為個等級,試確定各等級的分數(shù)線(精確到1,B,C,D四為和附:P【答案】(1)證明見解析;(2)平均數(shù)為96分,標準差為18分;30217,32235219.X(3)將X114定為A等級,96X114定為B等級,78X96定為C等級,X78定為D等級.1)利用平均數(shù)及方差公式即可求解;(2)利用平均數(shù)及方差公式,結合標準差公式即可求解;(3)根據(jù)(2)的結論及正態(tài)分布的特點即可求解.1nm2iz2yiz1)s2mni1i11nmixxz2yiyyz2mni1i11nmix(xz)2xx(xz)22yiy(yz)2yy(yz)i22imni1i1nn2ix(xz)2(xz)ix2(xz)1x2x3xnnx0,i1i1n2yiy(yz)0同理所以.i11s2ns2x(xz)2msy2(yz)2.mn(2)將該班參加考試學生成績的平均數(shù)記為z,方差記為s,21則z30100209096,50132222所以s23025696)20361(9096)50又32218,所以s18.即該班參加考試學生成績的平均數(shù)為96分,標準差約為18分.96,18,(3)由(2)知,所以全年級學生的考試成績X服從正態(tài)分布N96,182969618PX0.5P9618X所以.114P(X0.16.P(78X96)P(96X114)0.34,PX故可將X114定為A等級,96192024·福建福州·模擬預測)甲企業(yè)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件尺寸的誤差X服從正態(tài)分布0.2,0.2的零件為優(yōu)等品,X0.6,0.6的零件為合格品.X114定為B等級,78X96CX78定為等級,定為D等級.,規(guī)定N0.22X(1)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100(2)乙企業(yè)擬向甲企業(yè)購買這批零件,先對該批零件進行質量抽檢,檢測的方案是:從這批零件中任取2個作檢測,若這22個零件中恰有1個為優(yōu)等品,1個為合格品但非優(yōu)等品,則再從這批零件中任取1個作檢測,若為優(yōu)等品,則通過檢測;其余情況都不通過檢測.求這批零件通過檢測時,檢測了2個零件的概率(精確到0.01N,,則P0.6827,P0.9545,2(附:若隨機變量0.9973)P33【答案】(1)約31個(2)約為0.611)利用正態(tài)分布的對稱性即可求解;(2)利用條件概率求解即可.0,0.2,1)依題意得,P0.6X0.6P3X0.9973所以零件為合格品的概率為,P0.2X0.2PX0.6827零件為優(yōu)等品的概率為,所以零件為合格品但非優(yōu)等品的概率為P0.99730.68270.3146,所以從該生產(chǎn)線上隨機抽取100個零件,估計抽到合格品但非優(yōu)等品的個數(shù)為1000.314631.(2)設從這批零件中任取2個作檢測,2個零件中有2個優(yōu)等品為事件A,恰有1個優(yōu)等品,1個為合格品但非優(yōu)等品為事件B,從這批零件中任取1個檢測是優(yōu)等品為事件C,這批產(chǎn)品通過檢測為事件D,則DABC,且A與互斥,BCPDPAPBCPAPBPCB所以C220.68272C210.68270.31460.68271.62920.68272,所以這批零件通過檢測時,P(AD)0.682721檢測了2個零件的概率為P(A|D)0.61.P(D)1.62920.682721.6292答:這批零件通過檢測時,檢測了2個零件的概率約為0.61.202024·河北保定·二模)某興趣小組調查并統(tǒng)計了某班級學生期末統(tǒng)考中的數(shù)學成績和建立個性化錯題本的情況,用來研究這兩者是否有關.若從該班級中隨機抽取1A“抽取的學生期末統(tǒng)考中的數(shù)235623學成績不及格”,B“抽取的學生建立了個性化錯題本”,且P(A|B),P(B|),PB.(1)求PA和PAB.(2)若該班級共有360.005的數(shù)學成績與建立個性化錯題本是否有關,期末統(tǒng)考中的數(shù)學成績個性化錯題本合計及格不及格建立未建立合計(3)2)中的判斷,該興趣小組準備在其他班級中抽取一個容量為36k本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中,所有的數(shù)據(jù)都擴大為(2)中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的k倍,且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)).0.001的獨立性檢驗可以肯定(2)中的判斷,試確定k的最小值若要使得依據(jù)2nadbc2nabcd,.參考公式及數(shù)據(jù):abcdacbd0.010.0050.001a6.6357.87910.828116【答案】(1)PA,PAB3(2)表格見解析,有關;5(3)41)利用條件概率公式結合全概率公式即可得到答案;(2)由(1)所計算的概率即可完成列聯(lián)表,再由獨立性檢驗的知識即可得到結論;(3)利用獨立性檢驗的知識可得9k10.828,在結合4kZ,即可得到答案.23561)因為P(A|B),P(B|),11所以P(A|B)1P(A|B),P(B|)1P(B|),3621,所以PA由于P(A|B)P(B)P(B|)P(),解得PA.331P()P(B)P(A|B)P(B)P(A|B),解得PAB.6(2)期末統(tǒng)考中的數(shù)學成績個性化錯題本合計及格不及格建立未建立合計204482412362412H;0期末統(tǒng)考中的數(shù)學成績與建立個性化錯題本無關.零假設為20844362根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到297.879x0.005.241212240.005H0根據(jù)小概率值題本有關,此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.kabcdkakdkbkc2kabcdadbc210.82892k9k10.828,解得(3).kabkcdkackbdabcdacbd要使新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù),則需4k10.8284Z.5又因為4k4.8,所以4k的最小值為5,故k
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