雙曲線的簡單幾何性質(zhì)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1課前預(yù)習(xí)素養(yǎng)啟迪1.雙曲線的幾何性質(zhì)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)|F1F2|=2cx≤-ax≥aRy≤-ay≥aR坐標(biāo)軸原點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)A1A22aB1B22bab(1,+∞)2.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸

的雙曲線叫做等軸雙曲線,它的漸近線方程是

,離心率為e=

.等長y=±x[問題]離心率刻畫了雙曲線的什么幾何特征?答案:離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小.離心率越大,雙曲線的“張口”越大,反之亦然.CCAC12課堂探究素養(yǎng)培育雙曲線的簡單幾何性質(zhì)[例1]求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置,確定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c值,從而得到雙曲線的幾何性質(zhì).由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的方程(3)若雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0,且兩頂點(diǎn)間的距離是6,求雙曲線方程.(1)由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般用待定系數(shù)法,同樣需要經(jīng)歷“定位→定式→定量”三個步驟.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)不明確時,方程可能有兩種形式,此時應(yīng)注意分類討論,為了避免討論,也可設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1(mn>0),從而直接求得.雙曲線的離心率角度1求離心率4(3)若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r為常數(shù),且p≠0),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+q·e+r=0求解.角度2求離心率的取值范圍直線與雙曲線的位置關(guān)系[例5]已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.(1)若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;[例5]已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.[針對訓(xùn)練]已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試在下列條件下討論實(shí)數(shù)k的取值范圍.(1)直線l與雙曲線有兩個公共點(diǎn);[針對訓(xùn)練]已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試在下列條件下討論實(shí)數(shù)k的取值范圍.(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn);[針對訓(xùn)練]已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試在下列條件下討論實(shí)數(shù)k的取值范圍.(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn).雙曲線方程的各種形式解析:由題意得4-a2=a+2,所以a2+a-2=0,所以a=1或a=-2(舍去).故