河北省石家莊二十七中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

石家莊市第二十七中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則（）A.2 B.3 C.－2 D.－3【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即可得出．【詳解】解：若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，．則．故選：B．2.設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為．若，，則b的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】D【解析】【分析】先用二項(xiàng)式定理和已知條件確定除以的余數(shù)，再比對(duì)選項(xiàng)選出答案.【詳解】據(jù)已知有.故，從而在四個(gè)選項(xiàng)中只可能是.故選：D.3.若直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由兩直線垂直與斜率的關(guān)系列式求解值．【詳解】解：由，得，則，直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，，得．故選：．4.五經(jīng)為歷代儒客學(xué)子核心研習(xí)書經(jīng)，一般指儒家典籍《詩(shī)經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，也是中國(guó)保存至今的最古老的文獻(xiàn)．某文學(xué)社團(tuán)將社團(tuán)成員分成兩組摘抄五經(jīng)，每組分配兩本或三本經(jīng)文摘抄，每本經(jīng)文只摘抄一次，則《詩(shī)經(jīng)》與《春秋》恰好分配到同一組的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出總的基本事件數(shù)，再求出《詩(shī)經(jīng)》與《春秋》恰好分配到同一組的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的公式求解即可.【詳解】將《詩(shī)經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》這五本經(jīng)書分給兩組，每組分配兩本或三本，其所有等可能事件總數(shù)為，其中，《詩(shī)經(jīng)》與《春秋》恰好分配到同一組所包含的基本事件個(gè)數(shù)為，所以《詩(shī)經(jīng)》與《春秋》恰好分配到同一組的概率為．故選：C．5.已知函數(shù)，則的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性結(jié)合特殊區(qū)間即可得出選項(xiàng).詳解】，令，所以在和上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，.故選：C6.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于題中的二項(xiàng)展開(kāi)式，只需分別取，，和代入化簡(jiǎn)即可一一判斷.【詳解】因（*）對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，代入（*）可得，則，故D項(xiàng)正確.故選：D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離變量可得，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可求得，由此可得的取值范圍.【詳解】由題意知：；在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.對(duì)于函數(shù)與，若存在，使，則稱，是函數(shù)與圖象的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”.已知函數(shù)，，函數(shù)與的圖象恰好存在兩對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得可得函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而可得函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可畫出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】關(guān)于y軸的對(duì)稱函數(shù)為，由題意可得方程有兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；又恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)、的圖象，如圖，由圖象可知，若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)直線為函數(shù)圖象的切線時(shí)，由可得，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、多選題（本題共）3小題，每小題6分，共18分．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.現(xiàn)有帶有編號(hào)的五個(gè)球及四個(gè)不同的盒子，則下列表述正確的有（）A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，允許有空盒，共有種放法B.全部投入4個(gè)不同盒子里，沒(méi)有空盒，共有種不同的放法C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有種放法D.全部投入2個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)分步乘法原理以及分組分配問(wèn)題的解法，一一求解各選項(xiàng)中的球的放法，即可判斷出答案.【詳解】對(duì)于A，五個(gè)球全部投入4個(gè)不同的盒子里，允許有空盒，每個(gè)球都有4種投法，故共有種放法，A正確；對(duì)于B，五個(gè)球全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，則有2個(gè)球投入一個(gè)盒中，此時(shí)共有種不同的放法，B正確；對(duì)于C，將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），先選出4個(gè)球，再選出一個(gè)盒子，共有種放法，C正確；對(duì)于D，全部投入2個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，先選出2個(gè)盒子，由種選法，再將5個(gè)球分成2組，若2組球個(gè)數(shù)比為，則有種分法，若2組球個(gè)數(shù)比為，則有種分法，再將2組球放入2個(gè)盒子，故此時(shí)共有種放法，D錯(cuò)誤，故選：ABC10.某高中校團(tuán)委組織“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走、奮進(jìn)新征程”學(xué)生征文比賽，經(jīng)評(píng)審，評(píng)出一、二、三等獎(jiǎng)作品若干（三等獎(jiǎng)作品數(shù)是二等獎(jiǎng)作品數(shù)的2倍），其中高一年級(jí)作品分別占，，.現(xiàn)從獲獎(jiǎng)作品中任取一件，記“取出等獎(jiǎng)作品”為事件，“取出獲獎(jiǎng)作品為高一年級(jí)”為事件，若，則（）A.一、二、三等獎(jiǎng)的作品數(shù)之比為 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依題意設(shè)一等獎(jiǎng)件，二等獎(jiǎng)件，三等獎(jiǎng)件，可表示高一年級(jí)與非高一年級(jí)獲一，二，三等獎(jiǎng)的作品數(shù)，再根據(jù)求出與的關(guān)系，從而一一判斷即可.【詳解】依題意設(shè)一等獎(jiǎng)件，二等獎(jiǎng)件，則三等獎(jiǎng)件，則高一年級(jí)獲一，二，三等獎(jiǎng)作品數(shù)分別為非高一年級(jí)獲一，二，三等獎(jiǎng)作品數(shù)分別為因?yàn)?，所以則一、二、三等獎(jiǎng)的作品數(shù)之比為，故A正確；又因?yàn)?，故B正確；，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)椋宜?，故D正確.故選:ABD.11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則【答案】BCD【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計(jì)算判斷B；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則結(jié)合對(duì)稱性判斷C；利用中心對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，顯然的定義域?yàn)镽，，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，即，兩邊求導(dǎo)得，即，因此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，由函數(shù)滿足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，由選項(xiàng)B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.在的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)公式求解即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)等于，故答案為:.13.電視臺(tái)為了做好宣傳，引導(dǎo)廣大青年“不忘初心，牢記使命”，切實(shí)增強(qiáng)“四個(gè)意識(shí)”，樹(shù)立“四個(gè)自信”堅(jiān)定不移聽(tīng)黨話、跟黨走，舉辦了一次活動(dòng)．現(xiàn)場(chǎng)觀眾是由40名大學(xué)生，30名高中生，30名初中生組成，其中一個(gè)環(huán)節(jié)是由參加活動(dòng)的一位嘉賓現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)抽取一名觀眾進(jìn)行知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽．已知這位嘉賓抽到大學(xué)生，且嘉賓能獲勝的概率是；抽到高中生，且嘉賓能獲勝的概率是；抽到初中生，且嘉賓能獲勝的概率是．則這位嘉賓獲勝的概率是___________．【答案】##0.64【解析】【分析】這位嘉賓獲勝，可以包括抽到大學(xué)生且獲勝、抽到高中生且獲勝、抽到初中生且獲勝三種情況，每種情況都是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，每種情況概率相加即可.【詳解】抽到大學(xué)生的概率是，這位嘉賓抽到大學(xué)生，且嘉賓能獲勝的概率是；抽到高中生的概率是，抽到高中生，且嘉賓能獲勝的概率是；抽到初中生的概率是，抽到初中生，且嘉賓能獲勝的概率是．由全概率公式得嘉賓獲勝的概率為．故答案為：14.已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，令可得，或，由條件結(jié)合圖象可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長(zhǎng)速度更快，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與對(duì)數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長(zhǎng)速度更快，從而，當(dāng)，且時(shí)，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象如下：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒(méi)有解，所以方程的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等，而方程解的個(gè)數(shù)與函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，由圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.已知的二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和均為128，（1）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)，以及二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得，解出，再由通項(xiàng)公式，再寫出有理項(xiàng)；（2）由通項(xiàng)得出展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【小問(wèn)1詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，各項(xiàng)系數(shù)的和為由已知得，故，此時(shí)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，故展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)為，【小問(wèn)2詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為，，故二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)系數(shù)最大，即第或第項(xiàng)系數(shù)最大，即系數(shù)最大的項(xiàng)為，；16.2022年冬奧會(huì)期間，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”備受人們的歡迎，某大型商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)獎(jiǎng)品為冰墩墩玩偶和現(xiàn)金.活動(dòng)規(guī)則：凡是前一天進(jìn)入商場(chǎng)購(gòu)物且一次性購(gòu)物滿300元的顧客，第二天上午8點(diǎn)前就可以從若干個(gè)抽獎(jiǎng)箱（每個(gè)箱子裝有8張卡片，3張印有“獎(jiǎng)”字，5張印有“謝謝參與”，其他完全相同）中選一個(gè)箱子并一次性抽出3張卡片，抽到印有“獎(jiǎng)”字的卡片才能中獎(jiǎng)，抽到1張印有“獎(jiǎng)”字的卡片為三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金10元，抽到2張印有“獎(jiǎng)”字的卡片為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)1個(gè)冰墩墩玩偶，抽到3張印有“獎(jiǎng)”字的卡片為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)2個(gè)冰墩墩玩偶.根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，進(jìn)入商場(chǎng)購(gòu)物的顧客中一次性購(gòu)物滿300元的約占.（1）求每一個(gè)參與抽獎(jiǎng)的顧客中獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)每次參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)所得冰墩墩玩偶個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用古典概型、互斥事件的概率求法求每一個(gè)參與抽獎(jiǎng)的顧客中獎(jiǎng)的概率.（2）由題意可能值為，分別求出對(duì)應(yīng)值概率，即可得分布列.【小問(wèn)1詳解】由題意，每一個(gè)參與抽獎(jiǎng)的顧客中獎(jiǎng)的概率.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，可能值為，則，，，所以的分布列如下：01217.某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬(wàn)件時(shí)，萬(wàn)元；當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬(wàn)件時(shí)，萬(wàn)元已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，假若該同學(xué)生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量萬(wàn)件的函數(shù)解析式；注：年利潤(rùn)年銷售收入固定成本流動(dòng)成本（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？(取)【答案】（1）；（2）年產(chǎn)量約為16萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)是商品銷售收入減去固定成本和每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本求解..（2）根據(jù)（1）利用分段函數(shù)的性質(zhì)，分別求得每一段的最大值，從中取最大的則為利潤(rùn)的最大值求解.【詳解】（1）∵每件商品售價(jià)為6元，則x萬(wàn)件商品銷售收入為6x萬(wàn)元.依題意得：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，..（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值萬(wàn)元，，時(shí)，取得最大值11.2萬(wàn)元，故當(dāng)年產(chǎn)量約為16萬(wàn)件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)很多實(shí)際問(wèn)題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型，如出租車的票價(jià)與路程的函數(shù)就是分段函數(shù)．(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法．在求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值．18.已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在處取得極值，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間與單調(diào)區(qū)間；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再分和兩種情況，再每一種情況中借助導(dǎo)數(shù)即可解答；（3）先根據(jù)函數(shù)在處取得極值得出；再將問(wèn)題“對(duì)，恒成立”轉(zhuǎn)化為“對(duì)，恒成立”；最后構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出即可解答.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，令可得，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；故遞減區(qū)間為，遞