高考數學一輪復習【考點題型歸納講練】導學案（新高考專用）第04課時圓和圓的位置關系及圓的綜合問題(原卷版+解析)

第4課時圓與圓的位置關系及圓的綜合應用編寫：廖云波【回歸教材】1.圓與圓的位置關系設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離外切相交內切內含2.相交兩圓的公共弦所在直線方程已知， ①和圓， ②用方程①-②，得． ③③表示過圓和圓的交點的直線，即圓和圓公共弦所在的直線方程．圓系方程①過兩圓和的交點的圓系方程為(，其中不含圓)．②當時，為兩圓的公共弦所在直線的方程；當兩圓相切時，為過兩圓切點的直線方程【典例講練】題型一圓與圓的位置關系【例1-1】已知，且圓，圓．分別求這兩圓外離、外切、相交、內切、內含時，實數a的取值范圍．【例1-2】已知圓：與：相交于A、B兩點．(1)求公共弦AB所在的直線方程；(2)求圓心在直線y＝－x上，且經過A、B兩點的圓的方程；(3)求經過A、B兩點且面積最小的圓的方程．歸納總結：【練習1-1】已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．2條 C．1條 D．0條【練習1-2】已知圓與圓．(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．題型二與圓有關的最值問題【例2-1】已知點在圓上．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【例2-2】平面上兩個點為A(－1，0)，B(1，0)，O為坐標原點，在圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一點P，則|AP|2＋|BP|2的最小值為________．【例2-3】已知為橢圓上的一點，若，分別是圓和上的點，則的最大值為________．歸納總結：【練習2-1】已知點在圓上，點，為的中點，為坐標原點，則的最大值為________.【練習2-2】在平面直角坐標系中，已知點，，若動點滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．題型三與圓有關的綜合問題【例3-1】已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動．(1)求線段AB的中點P的軌跡的方程；(2)設圓與曲線的兩交點為M，N，求線段MN的長；(3)若點C在曲線上運動，點Q在x軸上運動，求的最小值．【例3-2】已知圓M與圓N：相外切，與y軸相切原點O．(1)求圓M的方程；(2)若圓M與圓N的切點在第一象限，過原點O的兩條直線與圓M分別交于P，Q兩點，且兩直線互相垂直，求證：直線PQ過定點，并求出該定點坐標．歸納總結：【練習3-1】已知在平面直角坐標系中，點，直線．設圓的半徑為，圓心在直線上．(1)若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；(2)若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍．【請完成課時作業(yè)（五十三）】

【課時作業(yè)（五十三）】A組基礎題1．已知點P，Q分別為圓與上一點，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．102．已知點A（2，0），B（0，﹣1），點是圓x2+（y﹣1）2＝1上任意一點，則面積最大值為（

）A．2 B． C． D．3．在圓中，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．4．已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知P是半圓C：上的點，Q是直線上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知A，B為圓上的兩動點，，點P是圓上的一點，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．87．過圓C:外一點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，若PA⊥PB，則點P到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．38．圓與圓外切，則實數_________．9．寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．10．如果復數z滿足，那么的最大值是______．11．已知點P是圓上任意一點，則的取值范圍為________．12．設P為曲線上動點，Q為曲線上動點，則稱的最小值為曲線，之間的距離，記作.若，，則___________.13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點A（-1，0），B（1，2）．(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，且MN=AB，求直線l的方程；(2)圓C上是否存在點P，使得PA2+PB2=12?若存在，求點P的個數；若不存在，請說明理由．B組能力提升1．設M為圓外一點，過M引圓的切線，兩切點分別為P和Q，若，則（

）A． B． C． D．2．在棱長為3的正方體中，P為內一點，若的面積為，則AP的最大值為________．3．如圖，在平面直角坐標系上，已知圓的直徑，定直線到圓心的距離為，且直線垂直于直線，點是圓上異于、的任意一點，直線、分別交與、兩點．(1)求過點且與圓相切的直線方程；(2)若，求以為直徑的圓方程；(3)當點變化時，以為直徑的圓是否過圓內的一定點，若過定點，請求出定點；若不過定點，請說明理由．第4課時圓與圓的位置關系及圓的綜合應用編寫：廖云波【回歸教材】1.圓與圓的位置關系設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數解內切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數解內含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解2.相交兩圓的公共弦所在直線方程已知， ①和圓， ②用方程①-②，得． ③③表示過圓和圓的交點的直線，即圓和圓公共弦所在的直線方程．圓系方程①過兩圓和的交點的圓系方程為(，其中不含圓)．②當時，為兩圓的公共弦所在直線的方程；當兩圓相切時，為過兩圓切點的直線方程【典例講練】題型一圓與圓的位置關系【例1-1】已知，且圓，圓．分別求這兩圓外離、外切、相交、內切、內含時，實數a的取值范圍．【答案】時外離；時外切；時相交，時內切，時內含．【解析】【分析】由兩圓的連心距與半徑的和差關系求解．【詳解】，，半徑為，，，，，，所以，時外離；時外切；時相交，時內切，時內含．【例1-2】已知圓：與：相交于A、B兩點．(1)求公共弦AB所在的直線方程；(2)求圓心在直線y＝－x上，且經過A、B兩點的圓的方程；(3)求經過A、B兩點且面積最小的圓的方程．【答案】(1)x－2y＋4＝0(2)(3)【解析】【分析】（1）兩圓相減，可得公共弦所在直線方程；（2）首先設圓系方程（為常數），根據圓心在直線上，求，即可求得圓的方程；（3）面積最小的圓，就是以線段AB為直徑的圓，即可求得圓心和半徑.(1)將兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即為所求直線方程．(2)設經過A、B兩點的圓的方程為（為常數），則圓心坐標為；又圓心在直線y＝－x上，故，解得，故所求方程為．(3)由題意可知以線段AB為直徑的圓面積最?。畠蓤A心所在直線方程為2x＋y＋3＝0，與直線AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標為，由弦長公式可知所求圓的半徑為．故面積最小的圓的方程為．歸納總結：【練習1-1】已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．2條 C．1條 D．0條【答案】B【解析】【分析】利用已知條件判斷圓與圓的關系，進而可以求解.【詳解】由，得圓，半徑為，由，得，半徑為所以，，，所以，所以圓與圓相交，所以圓與圓有兩條公共的切線.故選：B.【練習1-2】已知圓與圓．(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）將兩圓方程化成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再求出圓心距，即可證明；（2）將兩圓方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出兩圓的交點坐標，設圓心為，根據得到方程，即可求出，從而求出圓心坐標與半徑，從而得到圓的方程.(1)證明：圓：化為標準方程為，，圓的圓心坐標為，半徑為，，，兩圓相交；(2)解：由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即兩圓公共弦所在直線的方程為；(3)解：由，解得，則交點為，，圓心在直線上，設圓心為，則，即，解得，故圓心，半徑，所求圓的方程為．題型二與圓有關的最值問題【例2-1】已知點在圓上．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）的最大值為，最小值為.）（3）【解析】（1）設，則，t可視為直線的縱截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的縱截距．由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或．∴的最大值為，最小值為．（2）可視為點與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是過原點的直線與該圓有公共點的斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率．設過原點的直線的方程為，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或．∴的最大值為，最小值為．【例2-2】平面上兩個點為A(－1，0)，B(1，0)，O為坐標原點，在圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一點P，則|AP|2＋|BP|2的最小值為________．【答案】20【解析】設點P的坐標為(x，y)，則|OP|＝，∵A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，需使|OP|2最?。畬AC：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化為(x－3)2＋(y－4)2＝4.∵點P為圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的點，∴|OP|min＝|OC|－r(r為半徑)．由(x－3)2＋(y－4)2＝4知圓心C(3，4)，r＝2.∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，即|OP|min＝3，∴(|AP|2＋|BP|2)min＝2×32＋2＝20.故答案為：20.【例2-3】已知為橢圓上的一點，若，分別是圓和上的點，則的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】設圓和圓的圓心分別為,則根據橢圓的性質可知為定值,再根據三角形兩邊之和大于第三邊可知的最大值為與兩圓半徑的和即可.【詳解】由題,設圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點為.又,.故,當且僅當分別在的延長線上時取等號.此時最大值為.故答案為：.歸納總結：【練習2-1】已知點在圓上，點，為的中點，為坐標原點，則的最大值為________.【答案】【解析】設，則，又在圓上，即，的軌跡方程為所以當取最大值時，與相切，此時,故答案為：【練習2-2】在平面直角坐標系中，已知點，，若動點滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則∵，∴∴∴為點的軌跡方程∴點的參數方程為（為參數）則由向量的坐標表達式有：又∵∴題型三與圓有關的綜合問題【例3-1】已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動．(1)求線段AB的中點P的軌跡的方程；(2)設圓與曲線的兩交點為M，N，求線段MN的長；(3)若點C在曲線上運動，點Q在x軸上運動，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)設，，可得，代入圓化簡即可；(2)聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線方程,再由弦長公式可求得結果；(3)作關于軸得對稱點，連接與x軸交于Q點，根據時求解即可.(1)設，，點A在圓，所以有：，P是A，B的中點，，即，得P得軌跡方程為：；(2)聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線方程，設到直線MN得距離為d，則,所以，；(3)作出關于軸得對稱點，如圖所示；連接與x軸交于Q點，點Q即為所求，此時，所以的最小值為.【例3-2】已知圓M與圓N：相外切，與y軸相切原點O．(1)求圓M的方程；(2)若圓M與圓N的切點在第一象限，過原點O的兩條直線與圓M分別交于P，Q兩點，且兩直線互相垂直，求證：直線PQ過定點，并求出該定點坐標．【答案】(1)M：或M：(2)證明見解析，【解析】【分析】（1）由題意可設圓M的方程為，由兩圓外切建立等式：，求解值可得圓的方程.（2）由切點在第一象限可知圓M：，設OP所在直線方程為，與圓聯(lián)立求出點坐標，把k換做，可求出點坐標，點斜式計算直線PQ方程化簡可求出過定點.(1)由題意知，圓M與y軸相切原點O，所以設圓M的方程為，因為圓M與圓N：相外切，且N：，所以，所以或，所以M：或M：；(2)由題意知M：，設OP所在直線方程為，聯(lián)立，得，，同理把k換做，可得，，所以PQ所在直線方程為，化簡為：故直線PQ過定點．歸納總結：【練習3-1】已知在平面直角坐標系中，點，直線．設圓的半徑為，圓心在直線上．(1)若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；(2)若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）求出圓心的坐標，設出切線的方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可求出相應的參數值，即可得出所求切線的方程；（2）設點，由已知可得，分析可知圓與圓有公共點，可得出關于的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.(1)解：聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的方程為.若切線的斜率不存在，則切線的方程為，此時直線與圓相離，不合乎題意；所以，切線的斜率存在，設所求切線的方程為，即，由題意可得，整理可得，解得或.故所求切線方程為或，即或.(2)解：設圓心的坐標為，則圓的方程為，設點，由可得，整理可得，由題意可知，圓與圓有公共點，所以，，即，解得.所以，圓心的橫坐標的取值范圍是.【請完成課時作業(yè)（五十三）】

【課時作業(yè)（五十三）】A組基礎題1．已知點P，Q分別為圓與上一點，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】A【解析】【分析】根據兩圓位置關系求解.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為1；圓的圓心坐標為，半徑為2；所以兩圓的圓心距，兩圓外離，所以，故選：A.2．已知點A（2，0），B（0，﹣1），點是圓x2+（y﹣1）2＝1上任意一點，則面積最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】結合點到直線距離公式及圖形求出圓上點到直線距離的最大值，由此可求面積的最大值.【詳解】由已知，要使的面積最大，只要點P到直線的距離最大．由于AB的方程為1，即x﹣2y﹣2＝0，圓心（0，1）到直線AB的距離為d，故P到直線AB的距離最大值為1，所以面積的最大值為，故選：D．3．在圓中，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，從而求出最短、最長弦，即可得解；【詳解】解：圓，即，圓心為，半徑，又，所以過點的最長弦，最短弦，且最短弦與最長弦互相垂直，所以；故選：B4．已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據題意圓、相離，則，分別求圓心和半徑代入計算．【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑根據題意可得，圓、相離，則，即∴故選：A．5．已知P是半圓C：上的點，Q是直線上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用數形結合思想，結合點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】由，如圖所示，顯然當P運動到坐標原點時，有最小值，最小值為原點到直線的距離，即，故選：D6．已知A，B為圓上的兩動點，，點P是圓上的一點，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根據向量的運算律將題意轉化為圓上的點到的中點的距離最值問題即可得解.【詳解】設M是AB的中點，因為，所以，即M在以O為圓心，1為半徑的圓上，，所以．又，所以，所以．故選：C.7．過圓C:外一點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，若PA⊥PB，則點P到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】求出點P的軌跡為圓，再由圓心到直線的距離減去半徑即可得出最小值.【詳解】∵過圓C:外一點向圓C引兩條切線，切點分別為A，B，由PA⊥PB可知，四邊形CAPB為邊長為1的正方形，所以，所以點的軌跡E是以C(1,0)為圓心，為半徑的圓，圓心到直線的距離，所以點P到直線的最短距離為，故選：B8．圓與圓外切，則實數_________．【答案】9【解析】【分析】由題意分別求兩圓的圓心和半徑，根據兩圓外切可得，代入運算求解．【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則根據題意可得：，即，∴故答案為：9．9．寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.10．如果復數z滿足，那么的最大值是______．【答案】2＃＃＋2【解析】【分析】根據復數的幾何意義表示，兩點間距離，結合圖形理解運算．【詳解】設復數z在復平面中對應的點為∵，則點到點的距離為2，即點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓表示點到點的距離，結合圖形可得故答案為：．11．已知點P是圓上任意一點，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】令，由題可得，即得.【詳解】令，則，代入，可得，∴，解得，即的取值范圍為.故答案為；.12．設P為曲線上動點，Q為曲線上動點，則稱的最小值為曲線，之間的距離，記作.若，，則___________.【答案】【解析】【分析】求出圓心距，根據圓的對稱性得出.【詳解】由可得故答案為：13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點A（-1，0），B（1，2）．(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，且MN=AB，求直線l的方程；(2)圓C上是否存在點P，使得PA2+PB2=12?若存在，求點P的個數；若不存在，請說明理由．【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0(2)存在，點P的個數為2【解析】【分析】（1）根據l∥AB，可得直線l的斜率為1，設直線l的方程為x-y+m=0，根據圓的弦長公式，結合題意，即可求得m值，即可得答案.（2）設P（x，y），則，根據題意，化簡可得x2+（y-1）2=4，根據圓心距可得兩圓的位置關系，即可得答案.(1)圓C的標準方程為，所以圓心C（2，0），半徑為2．因為l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），所以直線l的斜率為．設直線l的方程為x-y+m=0，則圓心C到直線l的距離為．因為，而，所以，解得m=0或m=-4，所以直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0．(2)假設圓C上存在點P，設P（x，y），則，所以PA2+PB2=，整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．因為，所以圓（x-2）2+y2=4與圓x2+（y-1）2=4相交，所以點P的個數為2．B組能力提升1．設M為圓外一點，過M引圓的切線，兩切點分別為P和Q，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作圖，利用圖中的幾何關系，運用三角函數和向量數量積定義即可求解.【詳解】設，則，設，則，，在中，，則，解得，，，解得，；故選：A.2．在棱長為3的正方體中，P為內一點，若