2021年高考數(shù)學（藝術生）沖刺《函數(shù)》（含答案）

專題一、函數(shù)測試題

命題報告：

1.高頻考點：函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性單調(diào)性對稱性周期性等），指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的圖像和性質(zhì),

函數(shù)的零點與方程根。

2.考情分析：高考主要以選擇題填空題形式出現(xiàn)，考查函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)圖像

等，函數(shù)的零點問題等，題目一般屬于中檔題。

3.重點推薦：10題，數(shù)學文化題，注意靈活利用所學知識解決實際問題。

選擇題（本大題共12題，每小題5分）

1（2018?長汀縣校級月考）下列四個函數(shù)中，在（0,+8）為單調(diào)遞增的函數(shù)是（）

A.y---x+3B.y=(x+1)2C.y=-|x-11D.y=—

x

【答案】B

【解析】：對于A,函數(shù)y=-x+3,在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，不滿足題意;

對于B,函數(shù)廣（x+1）在（-1,+8）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，滿足題意

對于C,函數(shù)y=-|x-1|,在（1,+8）上是單調(diào)減函數(shù)，不滿足題意:

對于D,函數(shù)y=工，在（0,—8）上是單調(diào)減函數(shù)，不滿足題意.故選：B.

2

2.函數(shù)f(x)=T=_+log3(8-2x)的定義域為()

Vx-2

A.RB.(2,4]

C.(-8,-2)U(2,4)D.(2,4)

【答案】：D

(-9>0

【解析】要使f(x)有意義，則|x；解得2Vx<4；(x)的定義域為(2,4).故選：D.

8-2x>0

3

f(x)=lnx——

3.(2018?寧波期末)函數(shù)x-1的零點所在的大致區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】：C

f（x）=lnx

【解析】函數(shù)XT是（1,+8）上的連續(xù)增函數(shù),

f(2)=ln2-3<0；f(3)=ln3-A=ln-?2=-<0,f(4)=ln4-l>0；

2V7

f(3)f(4)<0,

f(x)=lnx__—

所以函數(shù)x-l的.零點所在的大致區(qū)間為：(3,4).

故選：C.?

x-X

4-

4.(2,018?赤峰期末)已知f(x)=則下列正確的是()

A.奇函數(shù),在(0,+8)上為增函數(shù)

B.偶函數(shù),在(0,+8)上為增函數(shù)

C.奇函數(shù),在(0,+8)上為減函數(shù)

D.偶函數(shù),在(0,+8)上為減函數(shù)

【答案】：B

-xx

x-XeHI-ellelxle~ll

"V44

【解析】根據(jù)題意，f(x)，則f(-x)==f(x),則函數(shù)f

(x)為偶函數(shù)；當x>0時，f(x)"Jr在(0,+8)上為增函數(shù)；故選：B.

4

5.己知f(上)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)-g(x)=x3+x+l,則f(1)+g(1)

=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】：B

【解析】由f(x)-g(x)=x3+x+L將所有X替換成-X,得

f(-x)-g(-x)="x1-x+L根據(jù)f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),

得f(x)+g(x)=-x3-x2+l,再令x=l,計算得,f(1)+g(1)=-1.故選：B.

6.(2018春?吉安期末)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)f(x)=-1,當x￡(0,1)時，f(x)

=3X,則f(logsl62)=()

A.3B.AC.2D.1.

232

【答案】:C

【解析】Vf(x+2)f(x)=-1,(x+4)=__1----\_=f(x),可得函數(shù)f(x)是最小正周

f(x+2)_1

f(x)

期為4的周期函數(shù).則f(log3162)=f(4+logs2)=f(log32),?.?當Xd(0,1)時，f(x)=3',log32G

(0,1),Af(log32)=2,故選：C.

7.定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足f(2)=0,若xd(0,+8)時，F(xiàn)(x)=xf(x)單調(diào)遞增，則不等式

F(x)>0的解集是()

A.(-2,0)U(0,2)B.(-2,0)U(2,+°O)

C.(8,-2)U(0,2)D.(…，-2)U(2,+?>)

【答案】：B

【解析】Vxe(0,+8)時，F(xiàn)(x)=xf(x)單調(diào)遞增，又???函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(2)

=0,.?.函數(shù)y=F(x)=xf(x)是奇函數(shù)，且在(-8,o)上也是增函數(shù)，

且f(2)=f(-2)=0,故不等式F(x)=xf(x)>0的解集為{x|-2<xV0,或x>2},即為(-2,0)

U(2,+8),故選：B.

(1)若g(mx2+2x+m)的定義域為R,求實數(shù)m的取值范圍；

(2)當xG[-l,1]時，求函數(shù)y=[f(x)了-2af(x)+3的最小值h(a)；

y=log[f(x2)

萬

(3)是否存在非負實數(shù)m、n,使得函數(shù)的定義域為[m,n],值域為[2m,2n],若存在，求

出m、n的值；若不存在，則說明理由.

y=g(mx2+2x+m)=log/(mx2+2x+m)

【思路分析】(1)若的定義域為R,則真數(shù)大于0恒成立，結(jié)合二

次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論滿足條件的實數(shù)m的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案；

te虎，2]

(2)令t=d)x,則函數(shù)y=[f(x)]2-2af(x)+3可化為：y=t2-2at+3,乙，結(jié)合二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，分類討論各種情況下h(a)的表達式，綜合討論結(jié)果，可得答案；

f2

(3)假設存在，由題意，知|111=2m解得答案.

2

Ln=2n

g(x)=logj_xy=g(inx2+2x+in)=1ogj(inx2+2X+ID)

萬7

【解析】：(1)，令u=mx"+2x+m,貝ijy=lou，

萬

當HFO時，u=2x,y=log12x的定義域為(。，+8),不足題意；當mWO時，若y=log〔u的定義域為R,

萬~2

m>0

m(l△=4-41rl2<0鬲〃用

則',解得m>l,

綜上所述，m>l…(4分)

y<f(x)]2_2af(x)+3=e)&-2ae)x+3[2-2a(^-)x+31

(2)=22,xw[-1,1],令t=(L)x,

貝產(chǎn)/，2〕，"一2at+3,轉(zhuǎn)亭2］

..?函數(shù)y=t2-2at+3的圖象是開口朝上,且以t=a為對稱軸的拋物線,

h(a)=ymin學-a

故當

h6ymm=3-

,t=a時，

當a>2時，t=2時，h(a):y-in=7-4a.

綜上所述,(10分)

2xZ2

y=lof(x)=log1(y)=x

(3)22,假設存在，由題意，知J加=2m

2

un=2n

y=logjf(x2)

解得［蚌°,.?.存在m=0,n=2,使得函數(shù)萬的定義域為［0,2］,值域為［0,4］…(12分)

ln=2

22.定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足：對任意xWD,存在常數(shù)M20,都有|f(x)I成立，則稱f

f(x)=l+a(y)x+(y)x

(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的一個上界.已知函數(shù)

g(x)=l°g/^

2

(1)若函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；

(2)在(1)的條件下，求函數(shù)g(x)在區(qū)間［學，3］上的所有上界構(gòu)成的集合；

(3)若函數(shù)f(x)在［0,+8)上是以5為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

【思路分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出a的值即可；

(2)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的值域，從而求出函數(shù)g(x)在區(qū)間號，3］上的所有上界構(gòu)成

的集合；

xxXX

_6,2-(—)<a<4-2-(—)

(3)問題轉(zhuǎn)化為22在［0,+8)上恒成立，通過換元法求解即可.

【解析】：(1)因為函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

.1+ax.l-ax

所以g(-x)=-g(x),即2

1+axx-1

即-x-ll~ax,得a=±1,而當a=1時不合題意，故a=-l.3分

(2)由(1)得：g(x)=log]旦%

Xx-1

2

而g(x)=］°g謂=］咚(1*)，易知g⑴在區(qū)間3,3〉上單調(diào)遞增,

22

所以函數(shù)g(x)=logL詈在區(qū)間［申，3］上單調(diào)遞增,

~2

所以函數(shù)86)=1跣詈在區(qū)間,，3］上的值域為［-3,-1］,所以|g(x)0,

故函數(shù)g(X)在區(qū)間［?,3］上的所有上界構(gòu)成集合為［3,+8).7分

(3)由題意知，|f(x)|W5在[0,+8)上恒成立，-5Wf(x)W5,424

,-6-2x-(y)x<a<4'2x-(y)x、――

??22在[o,+8)上怛成h.

xxxx

...[-6?2-(y)]max<a<[4-2-(y)]Bil,

h(t)=-6t^-

設2=t,,P(t)二4t二，由x￡[0,+8),得t21.

易知P(t)在［1,+8)上遞增,

(t2-t?)(6t,t2-l)

h(ti)-f(t2)-—~!........———>0

2

設1WtiVtz>

所以h(t)在［1,+8)上遞減，h(t)在［1,+8)上的最大值為h(1)=-7,p(t)在［1,+8)上的

最小值為p(1)=3,

所以實數(shù)a的取值范圍為［-7,3］.12分

專題二、《集合與常用邏輯測試題》

命題報告：

3.高頻考點：集合的運算以及集合的關系，集合新定義問題以及集合與其他知識的交匯，邏輯用語重點

考查四種命題的關系，充要條件的判斷以及全稱命題存在命題等知識。

4.考情分析：高考主要以選擇題填空題形式出現(xiàn)，考查集合的運算以及充要條件和其它知識的交匯，題

目一般屬于容易題。

3.重點推薦：9題，創(chuàng)新題，注意靈活利用所給新定義進行求解。

選擇題(共12小題，每一題5分)

1.集合A={1,2,3},B={(x,y)IxdA,y￡A,x+yGA},則集合B的真子集的個數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】：B={(1,1),(1,2),(2,1)}；

.??B的真子集個數(shù)為23-1=7：.故選：C.

2-

{y|y=X2X-2,(2,4)},N={x|ys7x-i)

2已知集合軌=0""XL,則MON=()

A.{x|-3WxWl}B.{x|lWx<6}C.{x|-3<xV6}D.{x|-2WxW6}

【答案】：B

【解析】y=xJ2x-2的對稱軸為x=l；"x—x-Z在xG(2,4)上單調(diào)遞增；-2VyV6；，M={y|

-2<y<6},N={x|x2l}；；.MnN={x|lWxV6}.故選：B.

3已知集合人=&匕*-6=0},B={xCN|lWlogzX<2},且AUB=B,則實數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是()

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3)

【答案】：D

【解析】B={xCN|2Wx<4}={2,3}；：AUB=B；；.AUB；.?.①若A=0,貝(Ia=0；

A={x|x=-}

②若A#。，則a；或0=3；，a=3,或2；.?.實數(shù)a所有值構(gòu)成的集合為{0,2,3}.故

aa

選：D.

4(重慶期中)已知命題p：VxGR,x2-x+l>0,命題q：若a<b,則上>工，下列命題為真命題的是()

7b

A.pAqB.(-'p)AqC.(-'p)VqD.「p)VLq)

【答案】：D

【解析】命題p：VxCR,-x+1>0,-x+l=（K—L）+—>0恒成立，.'p是真命題：命題q：若a

12J4

<b,則工>工，當a<0Vb時，不滿足工>工，q是假命題；；.「q是真命題，-q是假命題，則（「p）

abab

V（「q）是真命題，D正確.故選：D.

5.（朝陽區(qū)期末）在AABC中，"NA=NB”是"acosA=bcosB”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】：A

t解析】在三角形中，：.a=b且cosA=cosB,則acosA=bcosB成立.

若acosA=bcosB,則根據(jù)正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即Lsin2A=Lsin2B,

22

TT

.".sin2A=sin2B,即2A=2B或2A=兀-2B,解得A=B或A+B=—,

2

是"acosA=bcosB”的充分不必要條件，故選：A.

6.（撫州期末）下列有關命題的說法錯誤的有（）個

①若pAq為假命題，則p、q均為假命題

②命題“若x2-3x+2=0則x=l”的逆否命題為:“若xWl,則x2-3x+2W0

③對于命題P：3xER,使得x^+x+lVO則：-'p：yxCR,均有x'x+l》。

A.0B.1C.2D.3

【答案】：B

【解析】①若pAq為假命題，則p、q均為假命題，不正確，因為兩個命題中，由一個是假命題，則pAq

為假命題，所以說法錯誤.

②命題“若d-3x+2=0則x=l”的逆否命題為：“若x#l,則X2-3X+2K0,滿足逆否命題的定義，正確；

③對于命題P：3x￡R,使得x°+x+l<0貝ij：—'p：vxGR,均有x：'+x+120,符號命題的否定形式，正確；

所以說法錯誤的是1個.

故選：B.

7（金安區(qū)校級模擬）若八=以62|2忘227<8},B=UGR|log2x<l},則AA（］捫中的元素有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】：B

【解析】A={XGZ|2W227<8}={XCZ|1W2-XV3}={XCZ|-1<XW1}={0,1},

B={xeR|log2x<l}={xSR0<x<2},則［RB={XCR|XWO或x22},

.,.An（1B）={0},其中元素有1個.故選：B.

{y|y=—>（0<x<l）}

8（大觀區(qū)校級模擬）已知全集1）=乩集合X,N={X|X2-2|X|W0},則如圖中陰影

部分所表示的集合為（）

A.[-2,1)B.[-2,1]C.[-2,0)U(1,2]D.[-2,0]U[1,2]

【答案】：B

M={y|y=—>(0<x<l)}

【解析】：全集U=R,集合x={x|x>l}

....fx)0fx<0

N={x|x2-2|x|W0}={(x[或40}=收1-2WxW2},

2

.x-2x40LX+2X=C0

.?.CM={x|xWl},.?.圖中陰影部分所表示的集合為ND(GM)={x|-2WxWl}=[-2,1].

故選：B.

9.設集合S產(chǎn){1,2,3,…，n},X￡S?,把X的所有元素的乘積稱為X的容量（若X中只有一個元素，則該

元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0）.若X的容量是奇（偶）數(shù)，則稱X為S”的奇（偶）子集,

若n=3,則S”的所有偶子集的容量之和為（）

A.6B.8C.12D.16

【答案】：D

【解析】由題意可知：當n=3時，Ss={l>2,3},

所以所有的偶子集為：。、⑵、{1,2}、{2,3}、{1,2,3}.

所以S3的所有偶子集的容量之和為0+2+2+6+6=16.

故選：D.

10.（商丘三模）下列有四種說法：

①命題：a3xGR,X?-3x+l>0”的否定是“VxGR,x2-3x+l<0w；

②已知p,q為兩個命題，若（［p）A（Fq）為假命題，則pVq為真命題；

③命題“若xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題為真命題；

④數(shù)列{aj為等差數(shù)列,則“m.+n=p+q,m,n,p,q為正整數(shù)”是“a.+a產(chǎn)%+aJ的充要條件.

其中正確的個數(shù)為()

A.3個B.2個C.1個D.0個

【答案】：C

【解析】①命題："mxER,X：-3x+l>0"的否定是"VxER,X：-3x+lW0”故①錯誤，；

②已知P,q為兩個命題，若OA為假命題，則-P和-q至少有一個為假命題，則P,q至少

有一個為真命題，則pVq為真命題正確，故②正確；

③命題“若xy=O,則x=0或尸0”，則若xy=0,則x=0且y=0為假命題，則命題的逆否命題為假命題，故

③錯誤；

④數(shù)列1,1,bb1……1,滿足數(shù)列{&}為等差數(shù)列，則機+生=及+d=2,但m+n=p+q不成立，則“mF=p+q,

m,n,p,q為正整數(shù)”不是“包+a=與+氏”的充要條件.故④錯誤，

故正確的是②，

故選：C.

5

11.K(嘉興模擬)己知函數(shù)f(x)=x、ax+b,集合A={x|f(x)W0},集合B"If(f(x))<4},若A=B

N。，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.EVS，5]B.[-1,5]C.[旄，3]D.[-1,3]

【思路分析】由題意可得b=5,集合B可化為(x?+ax+立)(d+ax+a+5)W0,運用判別式法，解不等式即

444

可得到所求范圍.

【答案】：A

【解析】設集合A={xGR|f(x)W0}={x|x2+ax+bWQ},

由f(f(x))W$，即(x2+ax+b)J+a(x'+ax+b)+b--^0,②

44

A=B#0,可得b=a,且②為(x2+ax+—)(x2+ax+a+—)WO,

444

[a)而或-臟>

可得才-4*區(qū)/0且{-4(a+5)WO,即為l-l《a45,解得&WaW5,故選：A.

44

12.(漳州二模)“aWO”是“關于x的方程ax+axcosx-sinx=0與方程sinx=O在[-3n,3n]上根的個數(shù)

相等”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件1).既不充分也不必要條件

[答案]:A

【解析】‘方程sinx=O在［-3n,3n］上根有7個，則方程ax+axcosx-sinx=O也應該有7個根，由方程

ax+axcosx-sinx=0得ax(1+cosx)-sinx=0,即ax,2cos%-2sin^-cosi=2cos^-(axcos三-sin-5.)=0,

222222

則1cos三=0或axcos工?-sinW=0,則x除了-3”，-n,it,3Jt還有三個根，由axcosm-sin三=0,得

22222

axcos三=sin三，即ax=tan三,由圖象知aWO時滿足條件，且a>0時,有部分a是滿足條件的，故"aWO”

222

是“關于x的方程ax+axcosx-sinx=0與方程sinx=O在［-3兀，3n］上根的個數(shù)相等”的充分不必要條件，

故選：A.

(2)設命題p：“函數(shù)y=2"">-t在(-8,2)上有零點"，命題q：”函數(shù)g(x)=x?+t|x-2|在(0,

+8)上單調(diào)遞增”；若命題“pVq”為真命題，求實數(shù)t的取值范圍.

【思路分析】(1)方程f(x)=2x有兩等根，通過△=(),解得b；求出函數(shù)圖象的對稱軸.求解a,然后求

解函數(shù)的解析式.

(2)求出兩個命題是真命題時，t的范圍，利用p\/q真，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解析】：(1)???方程f(x)=2x有兩等根，即ax?+(b-2)x=0有兩等根,

/.△=(b-2)2=0,解得b=2；

Vf(x-1)=f(3-x),得x-l+3-x=1,

2

.?.x=l是函數(shù)圖象的對稱軸.

而此函數(shù)圖象的對稱軸是直線*=上，，上=1，，a=-l,

2a2a

故f(x)=-xJ+2x...................................(6分)

22

小尸2=+左-1,x€(g,2),2-x+2x€(0,2]

\Zi)f

p真則0VtW2；

x2-tx+2t,0<x<2

g(X)=，2、

xz+tx-2t,x>2.

<-i<2

若q真，則[4-2t+2t<4+2t-2t,

-4WtW0；

若pVq真，則-4WtW2...........................