河南省周口市鹿邑縣第二高級中學校2023-2024學年高一下學期月考測試（二）（4月） 數學試題【含答案】

2023～2024學年度高中同步月考測試卷（二）高一數學測試模塊：必修第二冊考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本試卷主要命題范圍：人教A版必修第二冊第六章～第七章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．2．（

）A． B．C． D．3．已知向量，若與垂直，則（

）A． B． C． D．4．在中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．5．若復數，為實數，則（

）A．0 B．1 C． D．6．在中，角的對邊分別為，若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形7．若向量，的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知復數，則（

）A．的虛部為B．是純虛數C．的模是D．在復平面內對應的點位于第四象限10．在中，角的對邊分別為，則下列對的個數的判斷正確的是（

）A．當時，有兩解B．當時，有一解C．當時，無解D．當時，有兩解11．在中，角的對邊分別為，已知的周長為，則（

）A．若，則是等邊三角形B．存在非等邊滿足C．內部可以放入的最大圓的半徑為D．可以完全覆蓋的最小圓的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知x、，若，則．13．在中，已知向量與滿足，且，則角.14．若平面有不共線的五點A，B，C，D，O，記，，，，滿足.，，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知復數．(1)當m為何值時，z為純虛數?(2)當時，求．16．已知，．(1)求和的值；(2)若向量，，證明：．17．在中，角的對邊分別為，已知．(1)求和的值；(2)求的面積．18．如圖、某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西方向且與該港口相距的A處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經過與輪船相遇.（假設水面平靜）(1)要使相遇時小艇的航行距離最短，小艇的航行速度應為多少？(2)假設小艇的速度最快只能達到，要使小艇最快與輪船相遇，應向哪個方向航行？19．在中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．1．A【分析】由正弦定理解三角形.【詳解】中，由正弦定理，得.故選：A.2．C【分析】利用和冪的運算性質計算可得結果【詳解】.故選：3．A【分析】根據與垂直，由求解.【詳解】解：，與垂直，，.故選：A.4．C【分析】根據余弦定理求出答案.【詳解】由余弦定理得，因為，所以.故選：C.5．A【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡，再根據復數的類型得到，解得即可.【詳解】因為，又為實數，，.故選：A.6．B【分析】利用誘導公式及正弦定理將角化邊即可判斷.【詳解】因為，又，即，由正弦定理可得，即，所以為直角三角形且為直角.故選：B7．A【分析】首先根據數量積的定義求出，再求出、，最后根據夾角公式計算可得.【詳解】∵兩個向量，的夾角是，是單位向量，，∴．∵，∴，∴．設向量與的夾角為，則，∵，∴．故選：A．8．D【分析】結合余弦定理及基本不等式，利用三角形面積公式求解即可.【詳解】由余弦定理：，因為，當且僅當時，等號成立，所以，故面積.即面積的最大值為.故選：D9．AC【分析】根據復數的基本概念，以及復數的幾何意義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：由虛部定義知的虛部為，故A正確；對B：純虛數要求實部為0，故B錯誤；對C：，故C正確；對D：在復平面內對應的點為，位于第一象限，故D錯誤.故選：AC.10．AC【分析】由正弦定理對四個選項一一判斷，得到答案.【詳解】對于A，由正弦定理得，即，所以，又因為，所以或，有兩解，故A正確；對于B，由正弦定理得，無解，故B錯誤；對于C，由正弦定理得，無解，故C正確；對于D，由正弦定理得，又，所以為銳角，此三角形只有一解，故D錯誤.故選：AC.11．ACD【分析】由余弦定理與正弦定理及三角形的面積公式逐項求解即可.【詳解】因為的周長為3，且，可得，由余弦定理得．對于A，因為，所以，即，則，所以為等邊三角形，故A正確；對于B，假設，則，即，則，此時為等邊三角形，故B錯誤；對于C，由，可得，當且僅當時等號成立，解得或（舍去），所以的面積的內切圓半徑為，所以內部可以放入的最大圓的半徑為，故C正確；對于D，設外接圓的半徑為，因為，當且僅當時等號成立，所以，解得或（舍去），由，可得，因為，所以，所以可以完全覆蓋的最小圓的半徑為，故D正確．故選：ACD．12．2【分析】根據相等復數的概念列出方程組，解之即可求解.【詳解】由題意，得，所以.故答案為：2.13．##【分析】依題意可得，設角的平分線交于，即可得到，從而得到為等腰直角三角形，即可得解.【詳解】設角的平分線交于，因為，故，即，又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，設，（如圖所示），，因為，故四邊形為正方形，所以為角的平分線，故在上.因為，故，故.綜上，為等腰直角三角形且，所以.故答案為：

14．##【分析】利用平面向量的幾何意義，結合圖像即可得到答案.【詳解】由,可得，且，即.作，如圖所示，則，，均為正三角形，且，

由，得，化簡可得，，所以在直線上.由圖像可知，，所以，可得點在以點為圓心，以為半徑的圓E上，所以.如圖過E作MN垂線垂足為C，交圓E于D點，則顯然，此時的最小值為.15．(1)或．(2)90.【分析】（1）先化簡復數z，再利用復數的相關概念求解；（2）先求得復數z和其共軛復數，再利用復數的乘法求解.【詳解】（1）解：由已知得，若z為純虛數，則解得或．（2）當時，，，所以．16．(1)，．(2)證明見解析【分析】（1）根據同角三角函數的基本關系計算可得；（2）利用二倍角公式及同角三角函數的基本關系求出，再根據平面向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】（1）因為，，所以．所以．（2）證明：因為，所以，所以．17．(1)；(2)．【分析】（1）根據同角的三角函數關系求出，結合正、余弦定理計算即可求解；（2）由（1），結合三角形的面積公式計算即可求解.【詳解】（1）在中，由，可得．又由及，可得．由余弦定理得，得，由，解得．所以．（2）由（1）知，，所以的面積．18．(1)(2)航行方向為北偏東【分析】（1）利用余弦定理和二次函數的最值求解；（2）要用時最小，則首先速度最高，然后是距離最短，則由（1）利用余弦定理得到方程解得對應的時間，再解得相應角，即可求解.【詳解】（1）如圖設小艇的速度為，時間為相遇，相遇點為C，則由余弦定理得：，即,當時，取得最小值，此時速度，此時小艇的航行方向為正北方向，航行速度為.（2）要用時最小，則首先速度最高，即為，則由（1）可得：，即，解得，此時相遇點為B，此時，在中，，則，故可設計航行方案如下:航行方向為北偏東，航行速度為，小艇能以最短時間與輪船相遇.19．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進行角化邊，然后根據余弦定理求解出的值，即可求出角；（2）法一：根據正弦定理可得，根據三角恒等變換化簡可得，再根據的范圍求解即可；法二：過點作，垂足為，根據直角三角形性質結合圖形分析求解.【詳解