2024八年級數(shù)學(xué)下冊第15講反比例函數(shù)的概念圖像與性質(zhì)核心考點(diǎn)講與練含解析新版浙教版

Page1第15講反比例函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)(核心考點(diǎn)講與練)一．反比例函數(shù)的定義（1）反比例函數(shù)的概念形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．（2）反比例函數(shù)的推斷推斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系，然后依據(jù)反比例函數(shù)的意義去推斷，其形式為y＝（k為常數(shù)，k≠0）或y＝kx﹣1（k為常數(shù)，k≠0）．二．反比例函數(shù)的圖象用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象，步驟：列表﹣﹣﹣描點(diǎn)﹣﹣﹣連線．（1）列表取值時(shí)，x≠0，因?yàn)閤＝0函數(shù)無意義，為了使描出的點(diǎn)具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值．（2）由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣便于連線，使畫出的圖象更精確．（3）連線時(shí)要用平滑的曲線依據(jù)自變量從小到大的依次連接，切忌畫成折線．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函數(shù)圖象恒久不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸．三．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)圖象的對稱性：反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：①二、四象限的角平分線Y＝﹣X；②一、三象限的角平分線Y＝X；對稱中心是：坐標(biāo)原點(diǎn)．四．反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象是雙曲線；（2）當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；（3）當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于其次、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．留意：反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)．五．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義比例系數(shù)k的幾何意義在反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上隨意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．六．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．七．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式要留意：（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝（k為常數(shù)，k≠0）；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；（3）解方程，求出待定系數(shù)；（4）寫出解析式．八．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．（2）推斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同始終角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可總結(jié)為：①當(dāng)k1與k2同號時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同始終角坐標(biāo)系中有2個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k1與k2異號時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同始終角坐標(biāo)系中有0個(gè)交點(diǎn)．一．反比例函數(shù)的定義（共2小題）1．（石阡縣期中）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A．x（y﹣1）＝1 B． C． D．【分析】依據(jù)反比例函數(shù)的概念形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)進(jìn)行分析即可．【解答】解：A．不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D．不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是駕馭反比例函數(shù)的定義．2．（贊皇縣期末）已知函數(shù)y＝（m﹣1）是反比例函數(shù)，則m的值為﹣1．【分析】依據(jù)反比例函數(shù)的定義，即y＝（k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1且m﹣1≠0即可．【解答】解：依據(jù)題意m2﹣2＝﹣1，∴m＝±1，又m﹣1≠0，m≠1，所以m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點(diǎn)是將一般式y(tǒng)＝（k≠0）轉(zhuǎn)化為y＝kx﹣1（k≠0）的形式．二．反比例函數(shù)的圖象（共3小題）3．（肇東市期末）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝k（x﹣1）和y＝﹣（k≠0），它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)反比例函數(shù)推斷出k的取值，進(jìn)而推斷出一次函數(shù)所在象限即可．【解答】解：A、由反比例函數(shù)圖象可得﹣k＜0，∴一次函數(shù)y＝k（x﹣1）應(yīng)經(jīng)過一二三象限，故A選項(xiàng)正確；B、由反比例函數(shù)圖象可得﹣k＞0，∴一次函數(shù)y＝k（x﹣1）應(yīng)經(jīng)過一二四象限，故B選項(xiàng)錯誤；C、由反比例函數(shù)圖象可得﹣k＞0，∴一次函數(shù)y＝k（x﹣1）應(yīng)經(jīng)過一二四象限，故C選項(xiàng)錯誤；D、由反比例函數(shù)圖象可得﹣k＜0，∴一次函數(shù)y＝k（x﹣1）應(yīng)經(jīng)過一三四象限，故D選項(xiàng)錯誤；故選：B．【點(diǎn)評】綜合考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象特征；用到的學(xué)問點(diǎn)為：一次函數(shù)的比例系數(shù)大于0，一次函數(shù)經(jīng)過一三象限，常數(shù)項(xiàng)大于0，還經(jīng)過其次象限；常數(shù)項(xiàng)小于0，還經(jīng)過第四象限；比例系數(shù)小于0，一次函數(shù)經(jīng)過二四象限，常數(shù)項(xiàng)大于0，還經(jīng)過第一象限，常數(shù)項(xiàng)小于0，還經(jīng)過第三象限；反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0，圖象的兩個(gè)分支在一三象限；比例系數(shù)小于0，圖象的2個(gè)分支在二四象限．4．（槐蔭區(qū)期末）將函數(shù)y＝的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位長度，得到的圖象所相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝+1 D．y＝﹣1【分析】由于把雙曲線平移，k值不變，利用“左加右減，上加下減”的規(guī)律即可求解．【解答】解：將函數(shù)y＝的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位長度，得到的圖象所相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，留意：平移后解析式有這樣一個(gè)規(guī)律“左加右減，上加下減”．5．（漣水縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝的圖象如圖所示，則k的值可以為（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2【分析】依據(jù)函數(shù)圖象確定k的取值范圍．【解答】解：如圖所示，反比例函數(shù)y＝的圖象位于其次、四象限，則k＜0．又∵﹣2×2＜k＜1×（﹣2），即﹣4＜k＜﹣2．∴視察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B合題意．故選：B．【點(diǎn)評】考查了反比例函數(shù)的圖象，依據(jù)函數(shù)圖象確定k的符號以及k的取值范圍是解題的難點(diǎn)．三．反比例函數(shù)圖象的對稱性（共3小題）6．（港南區(qū)期末）正比例函數(shù)y＝2x和反比例函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)為（1，2），則另一個(gè)交點(diǎn)為（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）【分析】依據(jù)反比例函數(shù)的關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)知，正比例函數(shù)y＝2x和反比例函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)（1，2）關(guān)于原點(diǎn)對稱．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝2x和反比例函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)為（1，2），∴另一個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)（1，2）關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣1，﹣2）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性．關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．7．（濱?？h一模）如圖，已知直線y＝mx與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），則它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，﹣4）．【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則與經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)確定關(guān)于原點(diǎn)對稱．【解答】解：因?yàn)橹本€y＝mx過原點(diǎn)，雙曲線y＝的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以其交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱，一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4）．故答案是：（﹣3，﹣4）．【點(diǎn)評】此題考查了函數(shù)交點(diǎn)的對稱性，通過數(shù)形結(jié)合和中心對稱的定義很簡潔解決．8．（鹽都區(qū)月考）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象與正比例函數(shù)y＝mx（m≠0）的圖象交于點(diǎn)（2，1），則其另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）．【分析】依據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴兩函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∵一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．故答案為：（﹣2，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查的是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的學(xué)問是解答此題的關(guān)鍵．四．反比例函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）9．（亭湖區(qū)校級月考）對于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法不正確的是（）A．圖象分布在其次、四象限 B．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大 C．圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2） D．若x＞1，則y＞﹣2【分析】依據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)對各選項(xiàng)分析推斷后利用解除法求解．【解答】解：A、k＝﹣2＜0，∴它的圖象在其次、四象限，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、k＝﹣2＜0，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、∵﹣＝﹣2，∴點(diǎn)（1，﹣2）在它的圖象上，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，若x＞1，則﹣2＜y＜0，故本選項(xiàng)錯誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，對于反比例函數(shù)y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；（2）k＜0，反比例函數(shù)圖象在其次、四象限內(nèi)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．10．（白云區(qū)期末）假如反比例函數(shù)的圖象在所在的每個(gè)象限內(nèi)y都是隨著x的增大而減小，那么m的取值范圍是（）A．m＞ B．m＜ C．m≤ D．m≥【分析】依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得1﹣2m＞0，再解不等式即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象在所在的每個(gè)象限內(nèi)y都是隨著x的增大而減小，∴1﹣2m＞0，解得：m＜，故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．對于反比例函數(shù)y＝，當(dāng)k＞0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當(dāng)k＜0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大．11．（啟東市期末）若反比例函數(shù)y＝，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是k＜2．【分析】當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于其次、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴k﹣2＜0，解得k＜2．故答案為：k＜2．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．對于反比例函數(shù)y＝，當(dāng)k＞0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；當(dāng)k＜0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大．五．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共3小題）12．（硯山縣期末）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y＝和y＝在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，則△POB的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．無法計(jì)算【分析】依據(jù)反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義得到S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，∴S△POB＝2﹣1＝1．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)y＝（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上隨意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|．13．（錫山區(qū)期末）如圖，四邊形OABC和四邊形BDEF都是正方形，反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，若兩正方形的面積差為12，則k的值為（）A．12 B．6 C．﹣12 D．8【分析】設(shè)正方形OABC、BDEF的邊長分別為a和b，則可表示出D（a，a﹣b），F(xiàn)（a+b，a），依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到E（a+b，），由于點(diǎn)E與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，所以＝a﹣b，則a2﹣b2＝k，然后利用正方形的面積公式易得k＝12．【解答】解：設(shè)正方形OABC、BDEF的邊長分別為a和b，則D（a，a﹣b），F(xiàn)（a+b，a），所以E（a+b，），所以＝a﹣b，∴（a+b）（a﹣b）＝k，∴a2﹣b2＝k，∵兩正方形的面積差為12，∴k＝12．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．也考查了正方形的性質(zhì)．14．（開州區(qū)模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)C（3，4），邊OA落在x軸正半軸上，P為線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作DE∥OC，F(xiàn)G∥OA交平行四邊形各邊如圖．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，四邊形BCFG的面積為8，則k的值為（）A．16 B．20 C．24 D．28【分析】依據(jù)圖形可得，△CPF與△CPD的面積相等，△APE與△APG的面積相等，四邊形BCFG的面積為8，點(diǎn)C（3，4），可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可以求得k的值．【解答】解：由圖可得，S?ABCO，又∵S△FCP＝S△DCP且S△AEP＝S△AGP，∴S?OEPF＝S?BGPD，∵四邊形BCFG的面積為8，∴S?CDEO＝S?BCFG＝8，又∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則?CDOE的高是4，∴OE＝CD＝，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是5，即點(diǎn)D的坐標(biāo)是（5，4），∴4＝，解得k＝20，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題須要的條件．六．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共3小題）15．（陽山縣期末）已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，6），則k的值是（）A．﹣18 B．﹣2 C．2 D．18【分析】把點(diǎn)（﹣3，6）代入y＝，依據(jù)待定系數(shù)法即可得答案．【解答】解：將點(diǎn)（﹣3，6）代入y＝得：6＝，解得k＝﹣18，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是駕馭函數(shù)圖象經(jīng)過某點(diǎn)，則這點(diǎn)坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式．16．（舞陽縣期末）已知點(diǎn)（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函數(shù)y＝的圖象上，則下列關(guān)于a，b，c的大小關(guān)系推斷中，正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b【分析】依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)y＝的圖象分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，則b＞c＞0，a＜0．【解答】解：∵k＝6＞0，∴函數(shù)y＝的圖象分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，∵﹣2＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，嫻熟駕馭反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（啟東市期末）如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分別以A1，A2，A3，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…，均在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則y1+y2+…+y2024的值為（）A．2 B．2 C．4 D．4【分析】先由點(diǎn)C1在反比例函數(shù)圖象上得到點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（x1，），然后由點(diǎn)C1是OB1的中點(diǎn)得到點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（2x1，），進(jìn)而得到A1的坐標(biāo)為（2x，0），即可得到OA1＝2x1，A1B1＝，然后由△OA1B1是等腰直角三角形得到2x1＝，解方程得到x1的值，即可得到點(diǎn)y1的值；然后由點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（x2，），進(jìn)而得到點(diǎn)B2和A2的坐標(biāo)，從而由等腰直角三角形的性質(zhì)得到A1A2＝A2B2，求得a的值即可得到y(tǒng)2的值，用同樣的方法求得y3的值，結(jié)合y1、y2、y3的值得到規(guī)律，最終得到y(tǒng)1+y2+…+y2024的值．【解答】解：由題意得，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（x1，），C2的坐標(biāo)為（x2，），C3的坐標(biāo)為（x3，），∵點(diǎn)C1是OB1的中點(diǎn)，∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（2x1，），∴A1的坐標(biāo)為（2x1，0），∴OA1＝2x1，A1B1＝，∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴OA1＝A1B1，即2x1＝，解得：x1＝2或x1＝﹣2（舍），∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（4，0），y1＝2；設(shè)點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（x2，），∵點(diǎn)C2是A1B2的中點(diǎn)，∴點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（2x2﹣4，），點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2x2﹣4，0），∴A1A2＝2x2﹣8，A2B2＝，∵△A1B2A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝A2B2，即2x2﹣8＝，解得：x2＝2+2或x2＝2﹣2（舍），∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（4，0），y2＝2﹣2；設(shè)點(diǎn)C3的坐標(biāo)為（x3，），∵點(diǎn)C3是A2B3的中點(diǎn)，∴點(diǎn)B3的坐標(biāo)為（2x3﹣4，），點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（2x3﹣4，0），∴A2A3＝2x3﹣4﹣4＝2x3﹣8，A3B3＝，∵△A2B3A3是等腰直角三角形，∴A2A3＝A3B3，即2x3﹣8＝，解得：x3＝2+2或x3＝2﹣2（舍），∴y3＝2﹣2，…，y2024＝2﹣2，∴y1+y2+…+y2024＝2+（2﹣2）+（2﹣2）+???+（2﹣2）＝2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的性質(zhì)列出方程求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．七．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共3小題）18．（高青縣期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，2），頂點(diǎn)B恰好落在第一象限的雙曲線上，則該反比例函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，易證△ACO≌△BCD（AAS），從而可求出B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出反比例函數(shù)的解析式．【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO與△BCD中，，∴△ACO≌△CBD（AAS），∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0），∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝（k≠0），將B（3，1）代入y＝，∴1＝，∴k＝3，∴該反比例函數(shù)的解析式為y＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．19．（江陰市期末）反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式可能是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣【分析】依據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)結(jié)合函數(shù)圖象以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出﹣3＜k＜﹣2，再比照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【解答】解：視察函數(shù)圖象可知：3×（﹣1）＜k＜﹣2×1，即﹣3＜k＜﹣2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，視察函數(shù)圖象利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出k的取值范圍是解題的關(guān)鍵．20．（姑蘇區(qū)校級月考）已知A（m+3，2）和B（3，）是同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)．（1）求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）補(bǔ)全表格并畫出其函數(shù)圖象；x…﹣6﹣3﹣2﹣11236…y…1236﹣6﹣3﹣2﹣1…（3）利用圖象干脆求出當(dāng)﹣2＜x＜3且x≠0時(shí)，y的取值范圍是y＞3或y＜﹣2．【分析】（1）由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征可得到2（m+3）＝m，可求得m的值，利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）先完成表格，再描點(diǎn)、連線．（3）結(jié)合圖像即可得到y(tǒng)的范圍．【解答】解：（1）∵A（m+3，2）和B（3，）是同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，∴2（m+3）＝m，解得m＝﹣6；∴A（﹣3，2），設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝，∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣，（2）依據(jù)函數(shù)表達(dá)式，表格中依次填：1，2，3，6，﹣6，﹣3，﹣2，﹣1．畫出函數(shù)圖象如圖：（3）由圖象得：當(dāng)﹣2＜x＜3且x≠0時(shí)，y的取值范圍是y＞3或y＜﹣2．【點(diǎn)評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，駕馭函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．八．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共3小題）21．（江陰市校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝k1x+4與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，連接BO，若S△OBC＝2，，則k2的值是（）A．﹣20 B．20 C．﹣5 D．5【分析】先依據(jù)直線求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后依據(jù)△BOC的面積求得BD的長，然后利用正切函數(shù)的定義求得OD的長，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得結(jié)論．【解答】解：∵直線y＝k1x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），∴OC＝4，過B作BD⊥y軸于D，∵S△OBC＝2，∴BD＝1，∵，∴＝，∴OD＝5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），∵反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，∴k2＝1×5＝5．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是作幫助線構(gòu)造直角三角形．22．（錫山區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y＝（k＞0）與始終線交于A（﹣2，m）、B（1，n）兩點(diǎn)，點(diǎn)H是雙曲線第三象限上的動點(diǎn)（在點(diǎn)A右側(cè)），直線AH、BH分別與y軸交于P、Q兩點(diǎn)，若HA＝a?HP，HB＝b?HQ，則a，b的關(guān)系式成立的是（）A．a(chǎn)+b＝2 B．a(chǎn)﹣b＝﹣2 C．a(chǎn)+2b＝3 D．a(chǎn)﹣2b＝﹣3【分析】通過HA＝a?HP，HB＝b?HQ可聯(lián)想構(gòu)造“A”字模型，“8“字模型，從而通過線段比的關(guān)系得到a與b的關(guān)系．【解答】解：分別過點(diǎn)B、A、H作BN⊥y軸于點(diǎn)N，AM⊥y軸于點(diǎn)M，HC⊥y軸于點(diǎn)C，則AM∥HC∥BN，∴∠AMP＝∠HCP，∠MAP＝∠CHP；∠BNQ＝∠HPQ，∠NBQ＝∠PHQ，∴△AMP∽△HCP，△BNQ∽△HCQ，∴，∵HA＝a?HP，HB＝b?HQ即，，∴，，∵A（﹣2，m），B（1，n），∴AM＝2，BN＝1，∴，，∴，∴a﹣2b＝﹣3．故選：D．【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)綜合題，能夠構(gòu)造出“A”字模型，“8“字模型是解題的關(guān)鍵．23．（亭湖區(qū)校級月考）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（m，4），B（n，2）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積．【分析】（1）首先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）求得直線與x軸的交點(diǎn)，然后依據(jù)S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可．【解答】解：（1）把A（m，4），B（n，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝（x＞0）可得m＝2，n＝4，∴A（2，4），B（4，2），∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+6．（2）設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為C，把y＝0代入y＝﹣x+6，則﹣x+6＝0，解得x＝6，∴C（6，0），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×4×6﹣×2×6＝6．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)、待定系數(shù)法等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭待定系數(shù)法，學(xué)會利用圖象解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共10小題）1．（平江縣期末）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4），則k的值是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】把點(diǎn)（2，4）代入，求出k的數(shù)值即可．【解答】解：把點(diǎn)（2，4）代入得4＝，解得k＝8．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合函數(shù)解析式解題的關(guān)鍵．2．（江北區(qū)期末）關(guān)于反比例函數(shù)y＝﹣的圖象性質(zhì)，下列說法不正確的是（）A．圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2） B．圖象位于其次、四象限 C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小 D．圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱【分析】依據(jù)反比例圖象的性質(zhì)作答．【解答】A．當(dāng)x＝1時(shí)，代入反比例函數(shù)y＝﹣得，y＝﹣2，解除A，B．k＝﹣2＜0，圖象經(jīng)過二、四象限，解除B，C．k＝﹣2＜0，在二、四象限內(nèi)y隨x增大而增大，故選C，D．反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，解除D，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查反比例圖象的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記函數(shù)圖象在每個(gè)象限內(nèi)如何變更．3．（西湖區(qū)校級月考）已知點(diǎn)（﹣1，a）、（2，b）、（3，c）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，則下列推斷正確的是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜b＜c【分析】依據(jù)反比例函數(shù)k＝xy，可得三個(gè)點(diǎn)的k值，再通過橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，即可得出縱坐標(biāo)的大小關(guān)系．【解答】解：∵k＝xy＞0，∴k＝﹣a＝2b＝3c＞0，∴a＜0＜c＜b．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)中k值的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于嫻熟轉(zhuǎn)化k＝xy．也可利用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得出結(jié)論．4．（上虞區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y＝﹣，當(dāng)y≤且y≠0時(shí)，自變量x的取值范圍為（）A．x＜0 B．x≤﹣9 C．﹣9≤x＜0 D．x≤﹣9或x＞0【分析】首先畫出圖形，進(jìn)而利用函數(shù)圖象得出x的取值范圍．【解答】解：如圖所示：∵反比例函數(shù)y＝﹣，k＝﹣12，圖象在二四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，當(dāng)y＝時(shí)，則x＝﹣9，故y≤且y≠0時(shí)，x≤﹣9或x＞0．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確畫出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．5．（海淀區(qū)校級月考）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)反比例函數(shù)的定義逐個(gè)推斷即可．【解答】解：A．是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B．不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，留意：形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的形式，叫反比例函數(shù)．6．（南崗區(qū)校級一模）下列各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)y＝圖象上的點(diǎn)是（）A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）【分析】依據(jù)反比例函數(shù)解析式可得xy＝4，然后對各選項(xiàng)分析推斷即可得解．【解答】解：∵y＝，∴xy＝4，A、∵﹣1×4＝﹣4≠4，∴點(diǎn)（﹣1，4）不在反比例函數(shù)y＝圖象上，故本選項(xiàng)不合題意；B、∵1×4＝4＝4，∴點(diǎn)（1，4）在反比例函數(shù)y＝圖象上，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵﹣2×2＝﹣4≠4，∴點(diǎn)（﹣2，2）不在反比例函數(shù)y＝圖象上，故本選項(xiàng)不合題意；D、∵﹣2×2＝﹣4≠4，∴點(diǎn)（2，﹣2）不在反比例函數(shù)y＝圖象上，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全部在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．7．（鄞州區(qū)校級開學(xué)）一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象交于A（﹣1，2），B（2，n）兩點(diǎn)，則當(dāng)kx+b＞時(shí)，x的取值的范圍是（）A．0＜x＜2或x＜﹣1 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1＜x＜2或x＞2 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜2【分析】依據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出m的值，畫出函數(shù)圖象．結(jié)合函數(shù)圖象特征，即可得知當(dāng)0＜x＜2或x＜﹣1時(shí)，kx+b＞，由此得出結(jié)論．【解答】解：依據(jù)題意可畫出函數(shù)圖象，如下所示：由圖象可知，當(dāng)0＜x＜2或x＜﹣1時(shí)，kx+b＞．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的圖象，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（萊州市期末）對于反比例函數(shù)y＝﹣，當(dāng)y＞2時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．﹣4＜x＜0 D．x＜﹣4或x＞0【分析】依據(jù)k＝﹣8＜0得：反比例函數(shù)的圖象位于其次，四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，當(dāng)y＞2時(shí)，函數(shù)的圖象在其次象限內(nèi)，求出臨界點(diǎn)即可得出x的取值范圍．【解答】解：∵k＝﹣8＜0，∴反比例函數(shù)的圖象位于其次，四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)y＝2時(shí)，x＝﹣4，∴x的取值范圍為﹣4＜x＜0，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，在描述反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必需強(qiáng)調(diào)“在每一象限內(nèi)”．9．（溫嶺市期末）反比例函數(shù)y＝，關(guān)于其函數(shù)圖象下列說法錯誤的是（）A．位于其次、四象限 B．圖象過點(diǎn)（﹣1，3） C．關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱 D．y隨x的增大而增大【分析】依據(jù)反比例函數(shù)圖象是雙曲線、反比例函數(shù)圖象的增減性以及反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推斷即可．【解答】解：A、反比例函數(shù)y＝中的k＝﹣3＜0，則該函數(shù)圖象經(jīng)過其次、四象限，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、反比例函數(shù)y＝，當(dāng)x＝﹣1時(shí)y＝3，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C、反比例函數(shù)y＝的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、反比例函數(shù)y＝中的k＝﹣3＜0，則在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，錯誤，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于反比例函數(shù)的基礎(chǔ)性題目，比較簡潔．10．（綏寧縣期末）已知函數(shù)y＝﹣，又x1，x2對應(yīng)的函數(shù)值分別是y1，y2，若0＜x1＜x2，則有（）A．0＜y2＜y1 B．0＜y1＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0【分析】依據(jù)反比例函數(shù)的增減性得出每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大進(jìn)而得出答案即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣中，k＝﹣3＜0，∴每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵x2＞x1＞0，∴y1＜y2＜0，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，依據(jù)函數(shù)的增減性得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）11．（門頭溝區(qū)期末）寫出一個(gè)圖象位于第一、三象限的反比例函數(shù)的表達(dá)式：．【分析】首先設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，再依據(jù)圖象位于第一、三象限，可得k＞0，再寫一個(gè)k大于0的反比例函數(shù)解析式即可．【解答】解；設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，∵圖象位于第一、三象限，∴k＞0，∴可寫解析式為y＝，故答案為：y＝．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是駕馭反比例函數(shù)（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數(shù)圖象在其次、四象限內(nèi)．12．（鄞州區(qū)校級月考）對于平面直角坐標(biāo)系中的隨意一點(diǎn)A（x，y），我們把點(diǎn)B（x﹣y，x+y）稱為點(diǎn)A的“和差點(diǎn)”．若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B為點(diǎn)A的“和差點(diǎn)”，則的值為，若射線OA與OB關(guān)于y軸對稱，則△AOB的面積為2．【分析】①設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，），由“和差點(diǎn)”的定義，得點(diǎn)B坐標(biāo)為（m﹣，m+），然后依據(jù)勾股定理求得OA2＝m2+，OB2＝（m﹣）2+（m+）2＝2（m2+），從而得到＝，進(jìn)而得到＝；②作AC∥x軸，交OB于C，交y軸于D，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到OA＝OC，S△COD＝S△AOD＝1，即可得到S△AOC＝2，由＝即可求得S△AOB＝S△AOC＝2．【解答】解：①設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，），∵點(diǎn)B為點(diǎn)A的“和差點(diǎn)”，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（m﹣，m+），∴OA2＝m2+，OB2＝（m﹣）2+（m+）2＝2（m2+），∴＝，∴＝＝；②如圖，作AC∥x軸，交OB于C，交y軸于D，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴S△AOD＝1，∵射線OA與OB關(guān)于y軸對稱，∴OA＝OC，S△COD＝S△AOD＝1，∴S△AOC＝2，∵＝＝，∴OB＝OA＝OC，∴S△AOB＝S△AOC＝2．故答案為：，2．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，新定義的閱讀理解實(shí)力，三角形面積的求法．解題關(guān)鍵是理解“和差點(diǎn)”的定義．13．（仙居縣期末）已知反比例函數(shù)y＝，若y＞﹣1，則x的取值范圍是x＜﹣3或x＞0．【分析】由k的值，可以得到該函數(shù)圖象在第幾象限，從而可以得到相應(yīng)的不等式，從而可以得到x的取值范圍．【解答】解：∵y＝，∴該函數(shù)圖象在第一、三象限，當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0；∴當(dāng)y＞﹣1時(shí)，則＞﹣1，x＜0，解得，x＜﹣3或x＞0，故答案為：x＜﹣3或x＞0．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．14．（本溪期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為E，頂點(diǎn)A在其次象限，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象同時(shí)經(jīng)過頂點(diǎn)C，D．若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5，BE＝2DE，則k的值為．【分析】由已知可得菱形邊長為5，設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可用勾股定理構(gòu)造方程，進(jìn)而求出k值．【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，由已知，BC＝5，∵四邊形ABCD是菱形，∴DC＝5，∵BE＝2DE，∴設(shè)DE＝x，則BE＝2x，∴DF＝2x，BF＝x，F(xiàn)C＝5﹣x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（2x）2+（5﹣x）2＝52，解得x1＝2，x2＝0（舍去），∴DE＝2，F(xiàn)D＝4，設(shè)OB＝a，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，a+4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，a），∵點(diǎn)D、C在雙曲線上，∴k＝2×（a+4）＝5a，∴a＝，∴k＝5×＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求出DE的長度是本題的關(guān)鍵．15．（白銀期末）已知近視眼鏡的度數(shù)D（度）與鏡片焦距f（米）成反比例關(guān)系，且400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米．小慧原來戴400度的近視眼鏡，經(jīng)過一段時(shí)間的矯正治療后，現(xiàn)在只需戴鏡片焦距為0.4米的眼鏡了，則小慧所戴眼鏡的度數(shù)降低了150度．【分析】設(shè)函數(shù)的解析式為y＝（x＞0），由x＝400時(shí)，y＝0.25可求k，進(jìn)而可求函數(shù)關(guān)系式，然后求得焦距為0.4米時(shí)的眼鏡度數(shù)，相減即可求得答案．【解答】解：設(shè)函數(shù)的解析式為y＝（x＞0），∵400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，∴k＝400×0.25＝100，∴解析式為y＝，∴當(dāng)y＝0.4時(shí)，x＝＝250，∵小慧原來戴400度的近視眼鏡，∴小慧所戴眼鏡的度數(shù)降低了400﹣250＝150度，故答案為：150．【點(diǎn)評】考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，依據(jù)題意求得反比例函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．16．（南崗區(qū)校級模擬）反比例函數(shù)y＝，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4，則k＝±6．【分析】分k＞0和k＜0進(jìn)行探討，再依據(jù)反比例函數(shù)的增減性，利用函數(shù)值的差列出方程解答．【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，在其每一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y隨x的增大而減小．∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4，∴，解得k＝6，當(dāng)k＜0時(shí)，在其每一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y隨x的增大而增大．∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4，∴，解得k＝﹣6，綜上所述，k＝±6．故答案為：±6．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的增減性，反比例函數(shù)的增減性要在其圖象的每一象限內(nèi)解答，解題關(guān)鍵要對于k的值要分狀況探討．17．（蕭山區(qū)月考）若正方形AOCB的邊OA，OB在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)C在其次象限，且在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣2，2）．【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），依題意畫出草圖，知﹣x＝y(tǒng)，然后解方程﹣x2＝﹣4后即可確定C點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：如圖，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），∵AOBC是正方形∴OB＝OA，即﹣x＝y(tǒng)∵C在其次象限且在反比例函數(shù)y＝的圖像上，∴﹣x2＝﹣4，∴x＝﹣2（x＝2舍去），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣2，2）．故答案為：（﹣2，2）．【點(diǎn)評】此題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，主要利用了線段長度與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系來解決問題．難易程度適中．三．解答題（共6小題）18．（臺州模擬）小華同學(xué)在做如圖1所示的杠桿平衡試驗(yàn)時(shí)，發(fā)覺彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）與距離L（單位：cm）之間滿足如圖2所示的反比例函數(shù)關(guān)系．其中當(dāng)L＝5cm時(shí)，F(xiàn)＝6N．（1）求F與L之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）假如此彈簧秤的最大示數(shù)為10N，那么距離L至少為多長？【分析】（1）干脆利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；（2）依據(jù)F≤10，進(jìn)而得出L的取值范圍．【解答】解：（1）由題意設(shè)F＝，∵當(dāng)L＝5時(shí)，F(xiàn)＝6．∴k＝5×6＝30，∴F與L之間的函數(shù)關(guān)系式：F＝；（2）∵彈簧秤的量程為10N，∴F≤10，即≤10，∴L≥3，答：距離L應(yīng)至少3cm．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．19．（杭州月考）如圖，已知A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象和反比例函數(shù)（m≠0）的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)C．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求△AOC的面積；（3）結(jié)合圖象干脆寫出不等式的解集．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；（2）由y＝2x+2求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出△AOC的面積；（3）由圖象視察函數(shù)y＝的圖象在一次函數(shù)y＝kx+b圖象的上方對應(yīng)的x的取值范圍．【解答】解：（1）把B（1，4）代入y＝得：m＝1×4＝4，∴反比例函數(shù)為y＝，將點(diǎn)A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入直線y＝kx+b中得，∴，∴直線AB的解析式為y＝2x+2；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2x+2＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∴OC＝2，∴S△AOC＝＝2；（3）不等式kx+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．【點(diǎn)評】此題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖象，考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還間接考查函數(shù)的增減性，從而來解不等式．20．（溫嶺市期末）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b（x＞0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（m，6）、點(diǎn)B（3，2）．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）依據(jù)圖象干脆寫出：當(dāng)x為0＜x＜1或x＞3時(shí)，k1x+b﹣＜0．【分析】（1）把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得k2的值，把點(diǎn)A（m，8）代入求得的反比例函數(shù)的解析式求得m，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；（2）干脆由A、B的坐標(biāo)可求得答案．【解答】解（1）把點(diǎn)B（3，2）代入反比例函數(shù)y2＝（x＞0）得，k2＝3×2＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為y2＝；將點(diǎn)A（m，6）代入y2＝，解得m＝1，∴A（1，6）．將A、B的坐標(biāo)代入y1＝k1x+b，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y1＝﹣2x+8．（2）如圖，∵A（1，6），B（3，2），∴k1x+b﹣＜0，即k1x+b＜的解集為0＜x＜1或x＞3．故答案為：0＜x＜1或x＞3．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，嫻熟駕馭待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．21．（仙居縣期末）如圖，取一根長1米的質(zhì)地勻整木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點(diǎn)O處并將其吊起來，在中點(diǎn)的左側(cè)距離中點(diǎn)30cm處掛一個(gè)重9.8牛的物體，在中點(diǎn)O右側(cè)用一個(gè)彈簧秤向下拉，使木桿保持平衡，變更彈簧秤與中點(diǎn)O的距離L（單位：cm），看彈簧秤的示數(shù)F（單位：牛，精確到0.1牛）有什么變更．小慧在做此《數(shù)學(xué)活動》時(shí)，得到下表的數(shù)據(jù)：L/cm510152025303540F/牛58.860.219.614.711.89.88.47.4結(jié)果老師發(fā)覺其中有一個(gè)數(shù)據(jù)明顯有錯誤．（1）你認(rèn)為當(dāng)L＝10cm時(shí)所對應(yīng)的F數(shù)據(jù)是明顯錯誤的；（2）在已學(xué)過的函數(shù)中選擇合適的模型求出F與L的函數(shù)關(guān)系式；（3）若彈簧秤的最大量程是60牛，求L的取值范圍．【分析】（1）依據(jù)表格數(shù)據(jù)，可發(fā)覺L與F的乘積為定值294，從而可得答案；（2）依據(jù)FL＝294，可得F與L的函數(shù)解析式；（3）依據(jù)彈簧秤的最大量程是60牛，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）依據(jù)杠桿原理知F?L＝30×9.8．當(dāng)L＝10cm時(shí)，F(xiàn)＝29.4牛頓．所以表格中數(shù)據(jù)錯了；（2）依據(jù)杠桿原理知F?L＝30×9.8．∴F與L的函數(shù)關(guān)系式為：；（3）當(dāng)F＝60牛時(shí)，由得L＝4.9，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得L≥4.9，∵由題意可知L≤50，∴L的取值范圍是4.9cm≤L≤50cm．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是細(xì)致視察表格，得出F與l的積為定值，從而得出函數(shù)關(guān)系式．22．（鐵鋒區(qū)期末）某氣象探討中心觀測到一場沙塵暴從發(fā)生到減弱的全過程．起先一段時(shí)間風(fēng)速平均每小時(shí)增加2千米，4小時(shí)后，沙塵暴經(jīng)過開闊荒漠地，風(fēng)速變?yōu)槠骄啃r(shí)增加4千米，然后風(fēng)速不變，當(dāng)沙塵暴遇到綠色植被區(qū)時(shí)，風(fēng)速y（千米/小時(shí)）與時(shí)間x（小時(shí)）成反比例函數(shù)關(guān)系緩慢減弱．（1）這場沙塵暴的最高風(fēng)速是32千米/小時(shí)，最高風(fēng)速維持了10小時(shí)；（2）當(dāng)x≥20時(shí)，求出風(fēng)速y（千米/小時(shí)）與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；（3）在這次沙塵暴形成的過程中，當(dāng)風(fēng)速不超過10千米/小時(shí)稱為“平安時(shí)刻”，其余時(shí)刻為“緊急時(shí)刻”，那么在沙塵暴整個(gè)過程中，“緊急時(shí)刻”共有59.5小時(shí)．【分析】（1）由速度＝增加幅度×?xí)r間可得4時(shí)風(fēng)速為8千米/時(shí)，10時(shí)達(dá)到最高風(fēng)速，為32千米/時(shí)，與x軸平行的一段風(fēng)速不變，最高風(fēng)速維持時(shí)間為20﹣10＝10小時(shí)；（2）設(shè)y＝，將（20，32）代入，利用待定系數(shù)法即可求解；（3）由于4時(shí)風(fēng)速為8千米/時(shí)，而4小時(shí)后，風(fēng)速變?yōu)槠骄啃r(shí)增加4千米，所以4.5時(shí)風(fēng)速為10千米/時(shí)，再將y＝10代入（2）中所求函數(shù)解析式，求出x的值，再減去4.5，即可求解．【解答】解：（1）0～4時(shí)，風(fēng)速平均每小時(shí)增加2千米，所以4時(shí)風(fēng)速為8千米/時(shí)；4～10時(shí)，風(fēng)速變?yōu)槠骄啃r(shí)增加4千米，10時(shí)達(dá)到最高風(fēng)速，為8+6×4＝32千米/時(shí)，10～20時(shí)，風(fēng)速不變，最高風(fēng)速維持時(shí)間為20﹣10＝10小時(shí)；故答案為：32，10；（2）設(shè)y＝，將（20，32）代入，得32＝，解得k＝640．所以當(dāng)x≥20時(shí)，風(fēng)速y（千米/小時(shí)）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝；（3）∵4時(shí)風(fēng)速為8千米/時(shí)，而4小時(shí)后，風(fēng)速變?yōu)槠骄啃r(shí)增加4千米，∴4.5時(shí)風(fēng)速為10千米/時(shí)，將y＝10代入y＝，得10＝，解得x＝64，64﹣4.5＝59.5（小時(shí)）．故在沙塵暴整個(gè)過程中，“緊急時(shí)刻”共有59.5小時(shí)．故答案為：59.5．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，學(xué)生閱讀圖象獲得信息的實(shí)力，理解題意，讀懂圖象是解決本題的關(guān)鍵．23．（唐河縣一模）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（m，3）和B（3，1）．（1）填空：一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+4，反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）請干脆寫出不等式≤﹣x+b的解集是1≤x≤3；（3）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OP，若△POD的面積為S，求S的最大值和最小值．【分析】（1）將B（3，1）代入y＝﹣x+b得b＝4，即得一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+4，將B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）求出A（1，3），由圖可得，≤﹣x+b得解集為：1≤x≤3；（3）由點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，可設(shè)設(shè)P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得S＝OD?PD＝﹣（n﹣2）2+2，即得當(dāng)n＝2時(shí)，S有最大值，且最大值是2，當(dāng)n＝1或n＝3時(shí)，S有最小值，且最小值是．【解答】解：（1）將B（3，1）代入y＝﹣x+b得：1＝﹣3+b，解得b＝4，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+4，將B（3，1）代入y＝得：1＝，解得k＝3，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）將A（m，3）代入y＝﹣x+4得：3＝﹣m+4，解得m＝1，∴A（1，3），由圖可得，≤﹣x+b得解集為：1≤x≤3；（3）∵點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，設(shè)P（n，﹣n+4），∴1≤n≤3，∴S＝OD?PD＝?n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，∵﹣＜0，且1≤n≤3，∴當(dāng)n＝2時(shí)，S有最大值，且最大值是2，∴當(dāng)n＝1或n＝3時(shí)，S有最小值，且最小值是．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、不等式解集、三角形面積等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是用含n的代數(shù)式表示S．題組B實(shí)力提升練一．選擇題（共7小題）1．（金華期中）如圖，△ABC的邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點(diǎn)E，AE：EC＝1：2，反比例函數(shù)y＝過C點(diǎn)，且交線段BC于D，BD：DC＝1：3，連接AD，若S△ABD＝，則k的值為（）A． B． C．4 D．6【分析】先設(shè)點(diǎn)A（﹣a，0），結(jié)合AE：EC＝1：2與點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后結(jié)合BD：DC＝1：3得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再結(jié)合△ABC的面積列出方程求得k的值．【解答】解：設(shè)A（﹣a，0）（a＞0），∵AE：EC＝1：2，∴點(diǎn)C（2a，），∵BD：DC＝1：3，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為×＝，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8a，），∴B（10a，0），∴AB＝11a，∵BD：DC＝1：3，∴S△ABC＝4S△ABD＝4×＝11，∴S△ABC＝×11a×＝11，解得：k＝4．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是通過點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到△ABC的面積．2．（越城區(qū)月考）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，與反比例函數(shù)y＝的圖象交于E、F兩點(diǎn)，若△DEF的面積為，則k的值是（）A．1 B．7 C．1或7 D．不能確定【分析】利用對稱性可設(shè)出E、F的兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出△DEF的面積，可求出k的值．【解答】解：設(shè)AF＝a（a＜2），則F（a，2），E（2，a），∴FD＝DE＝2﹣a，∴S△DEF＝DF?DE＝（2﹣a）2＝，解得a＝或（不合題意，舍去），∴k＝1，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查反比例函數(shù)與正方形和三角形面積的運(yùn)用，表示出E和F的坐標(biāo)是關(guān)鍵．3．（浦江縣期末）如圖，反比例函數(shù)y1＝的圖象和正比例函數(shù)y2＝k2x的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，﹣2），B（1，2），若y1＞y2，則x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1【分析】利用函數(shù)圖象的上下關(guān)系求出x的范圍．【解答】解：∵y1＞y2，∴y1圖象在y2的上方．即在交點(diǎn)A的左邊和B的左邊，y軸右邊．∴x＜﹣1或0＜x＜1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查用函數(shù)圖象解不等式，將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖象的上下關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．4．（下城區(qū)期末）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)y1＝﹣kx+b（k≠0），反比例函數(shù)y2＝（k≠0）．若函數(shù)y1和y2的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P．以下k，b的取值，使函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（）A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4 C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4【分析】聯(lián)立函數(shù)方程，由函數(shù)只有一交點(diǎn)可得一元二次方程判別式為0，從而求解．【解答】解：整理方程﹣kx+b＝得﹣kx2+bx﹣k＝0，∵函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，∴﹣kx2+bx﹣k＝0中b2﹣4k2＝0．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵是把函數(shù)圖象僅有一交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程判別式為0．5．（鄞州區(qū)校級開學(xué)）如圖，反比例函數(shù)y＝（k≠0）過平行四邊形OABC的頂點(diǎn)C和AB的中點(diǎn)D，若CB＝CD＝3，則k的值為（）A．8 B．4 C．9 D．4【分析】設(shè)C（x，），由CB＝3得到點(diǎn)B（x+3，），A（3，0），由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），再由點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的函數(shù)圖象上列出方程求得x的值，得到點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，最終由CD＝3求得k的值．【解答】解：設(shè)C（x，），∵CB＝3，四邊形OABC是平行四邊形，∴OA＝BC＝3，∴點(diǎn)B（x+3，），A（3，0），∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的函數(shù)圖象上，∴（）×＝k，解得：x＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，），∵CD＝3，∴＝3，解得：k＝4，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．6．（福田區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，1），點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第三象限的雙曲線y＝上，過點(diǎn)C作CE∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E，則CE的長為（）A． B． C．3.5 D．5【分析】證明△DHA≌△CGD（AAS）、△ANB≌△DGC（AAS）得到：AN＝DG＝1＝AH，而AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，即可求解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)D（m，），如圖所示，過點(diǎn)D作x軸的垂線交CE于點(diǎn)G，過點(diǎn)A過x軸的平行線交DG于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD，又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，∴△DHA≌△CGD（AAS），∴HA＝DG，DH＝CG，同理△ANB≌△DGC（AAS），∴AN＝DG＝1＝AH，則點(diǎn)G（m，﹣1），CG＝DH，AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，故點(diǎn)G（﹣2，﹣5），D（﹣2，﹣4），H（﹣2，1），則點(diǎn)E（﹣，﹣5），GE＝，CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，須要兩次證明三角形全等，綜合性較強(qiáng)，難度較大．7．（莒南縣期末）已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對角線OB，AC相交于D點(diǎn)，雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，交BC的延長線于E點(diǎn)，且OB?AC＝160，有下列四個(gè)結(jié)論：①菱形OABC的面積為80；②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8）；③雙曲線的解析式為y＝（x＞0）；④sin∠COA＝．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作DH⊥x軸于H，BG⊥x軸于G，依據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半得到菱形OABC的面積＝OB?AC＝×160＝80；則△ODA的面積為20，依據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出DA＝4，再依據(jù)菱形的性質(zhì)易得DH為△OBG的中位線，則BG＝8，所以E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8；接著證明Rt△DOH∽Rt△ADH，得到DH2＝OH?AH，由于DH＝4，AH＝10﹣OH，則OH（10﹣OH）＝16，解得OH＝8或OH＝2（舍去），可確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），利用待定系數(shù)法得到反比例函數(shù)解析式為y＝；同時(shí)可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8）；CM⊥x軸于M，則CM＝8，依據(jù)菱形性質(zhì)得OC＝OA＝10，依據(jù)勾股定理可計(jì)算出OM＝6，然后利用正弦的定義即可得到sin∠COM＝＝，于是有sin∠COA＝．【解答】解：作DH⊥x軸于H，BG⊥x軸于G，如圖，∵四邊形OABC為菱形，∴菱形OABC的面積＝OB?AC＝×160＝80，所以①正確；∴DH?OA＝菱形OABC的面積的＝×80，而A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），∴DH×10＝×80，∴DH＝4，∵OB與AC相互垂直平分，∴∠ADO＝90°，DH為△OBG的中位線，∴BG＝2DH＝8，∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，∵∠DOH+∠ODH＝∠ODH+∠ADH＝90°，∴∠DOH＝∠ADH，∴Rt△DOH∽Rt△ADH，∴DH：AH＝OH：DH，即DH2＝OH?AH，∵DH＝4，AH＝OA﹣OH＝10﹣OH，∴OH（10﹣OH）＝16，解得OH＝8或OH＝2（舍去），∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），把D（8，4）代入y＝得k＝4×8＝32，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，所以③錯誤；∵D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，∴C（6，8），∵雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，交BC的延長線于E點(diǎn)，∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，把y＝8代入得＝8，解得x＝4，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），所以②正確；CM⊥x軸于M，如圖，∴CM＝BG＝8，∵四邊形OABC為菱形，∴OC＝OA＝10，在Rt△OCM中，CM＝8，OC＝10，∴OM＝＝6，∴sin∠COM＝＝＝，即sin∠COA＝，所以④正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其函數(shù)解析式；嫻熟運(yùn)用菱形的性質(zhì)、相像三角形的相像比和勾股定理進(jìn)行計(jì)算．二．填空題（共7小題）8．（溫州月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，AM與BN交于點(diǎn)P，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過點(diǎn)P．連接OA，OB，若圖中的陰影面積為7，則k的值為2．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，用四邊形AMOE、四邊形BNOF、四邊形MPNO、△AEO和△BOF的面積結(jié)合反比例系數(shù)的幾何意義表示陰影部分的面積，再求k的值．【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，則S四邊形AMOE＝S四邊形BNOF＝9，S四邊形MPNO＝k，S△AEO＝S△BOF＝，∴S陰影＝S四邊形AMOE+S四邊形BNOF﹣S四邊形MPNO﹣（S△AEO+S△BOF）＝7，∴9+9﹣k﹣（+）＝7，∴k＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了反比例系數(shù)k的幾何意義、切割法求多邊形的面積，解題的關(guān)鍵是利用反比例系數(shù)k的幾何意義表示出陰影部分的面積．9．（鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，BD∥x軸，點(diǎn)A，點(diǎn)D在函數(shù)的圖象上．若△ABE與△CDE的面積之比為1：2，則△ABC的面積為3．【分析】分別利用函數(shù)解析式設(shè)出A，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，由于BD∥x軸，AC⊥BD，得到E點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到線段AE，DE，CE的長度，利用△ABE與△CDE的面積之比為1：2，列出方程，求得BE的長度，最終求出三角形ABC的面積．【解答】解：設(shè)A（m，），D（n，），∵BD∥x軸，∴B和E的縱坐標(biāo)均為，∵AC⊥BD，BD∥x軸，∴∠AEB＝∠AED＝∠ACO＝90°，∴AC⊥x軸，∴E和C的橫坐標(biāo)均為m，∴E的坐標(biāo)為（m，），C的坐標(biāo)為（m，0），∴AE＝＝，DE＝n﹣m，CE＝，∵＝，∴，∴BE＝＝，∴S△ABC＝＝＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)出A，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，是解決此題的突破口，同時(shí)，要留意此題運(yùn)用了方程思想來解決問題．10．（海曙區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)B、D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝（k1＞0）的圖象上，A、C兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝（k2＜0）的圖象上，AD∥x軸∥BC，AD＝2BC，S△BCD＝6，則k1﹣k2的值為8．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（b，）依據(jù)AD∥x軸∥BC求出D，C的坐標(biāo)，表示出DA，BC的長度，依據(jù)AD＝2BC求出b與a的關(guān)系，進(jìn)而求出DE的長度，表示出S△BCD，進(jìn)而求解．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（b，），∵AD∥x軸∥BC，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），∴DA＝﹣b，CB＝﹣a，∵AD＝2BC，∴﹣b＝2（﹣a），整理得，b＝﹣，DE＝﹣＝k2÷（﹣）﹣＝﹣，∵S△BCD＝BC?DE＝（﹣a）?（﹣）＝（k1﹣k2）＝6，∴k1﹣k2＝8，故答案為：8【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出三角形BCD的面積，進(jìn)而求解．11．（婺城區(qū)校級期末）平面直角坐標(biāo)系中，A是y＝﹣（x＞0）圖象上一點(diǎn)，B是x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），若點(diǎn)D與A，B，C構(gòu)成的四邊形為正方形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)（4，﹣2）或（2，﹣4）或（2﹣2，2﹣2）．【分析】首先依據(jù)題意畫圖圖形，對于圖1和圖2依據(jù)正方形的對稱性可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，對于圖3可證明△AEC≌△BFA，從而可得到AE＝BF，然后由反比例函數(shù)的解析式可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：如圖1所示：當(dāng)BC為邊，CD為對角線時(shí)，則CD⊥AB，CD垂直平分AB．∵OC＝2，AB＝CD＝4，∴D（4，﹣2）．如圖2所示：BC為邊，AC為對角線時(shí)，∵OC＝2，BD＝AC＝4，∴D（2，﹣4）．如圖3所示：BC為對角線時(shí)，過點(diǎn)A作AE⊥y軸，BF⊥AE，則△AEC≌△BFA．∴AE＝BF．設(shè)點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴A（2，﹣2）∴D（2﹣2，2﹣2）．綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，﹣2）或（2，﹣4）或（2﹣2，2﹣2）．故答案為：（4，﹣2）或（2，﹣4）或（2﹣2，2﹣2）．【點(diǎn)評】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意畫出復(fù)合題意得圖形是解題的關(guān)鍵．12．（長沙模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝kx（k＞0）分別交反比例函數(shù)y＝和y＝在第一象限的圖象于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，交y＝的圖象于點(diǎn)C，連接AC．若△ABC是等腰三角形，則k的值是或．【分析】聯(lián)立y＝kx、y＝并解得：點(diǎn)A（，2），同理點(diǎn)B（，3），點(diǎn)C（，），分AB＝BC、AC＝BC兩種狀況分別求解即可．【解答】解：聯(lián)立y＝kx、y＝并解得：點(diǎn)A（，2），同理點(diǎn)B（，3），點(diǎn)C（，），∴AB≠AC，①當(dāng)AB＝BC時(shí)，（）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝±（舍去負(fù)值）；②當(dāng)AC＝BC時(shí)，同理可得：（﹣）2+（﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝（舍去負(fù)值）；故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，當(dāng)有兩個(gè)函數(shù)的時(shí)候，著重運(yùn)用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．13．（武進(jìn)區(qū)校級自主招生）兩個(gè)反比例函數(shù)y＝，y＝在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示．點(diǎn)P1，P2，P3、…、P2007在反比例函數(shù)y＝上，它們的橫坐標(biāo)分別為x1、x2、x3、…、x2007，縱坐標(biāo)分別是1，3，5…共2007個(gè)連續(xù)奇數(shù)，過P1，P2，P3、…、P2007分別作y軸的平行線，與y＝的圖象交點(diǎn)依次為Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），則|P2007Q2007|＝．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因?yàn)榭v坐標(biāo)分別是1，3，5…，共2007個(gè)連續(xù)奇數(shù)，其中第2007個(gè)奇數(shù)是2×2007﹣1＝4013，所以P2007的坐標(biāo)是（Px2007，4013），那么可依據(jù)P點(diǎn)都在反比例函數(shù)y＝上，可求出此時(shí)Px2007的值，那么就能得出P2007的坐標(biāo)，然后將P2007的橫坐標(biāo)代入y＝中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|＝|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出結(jié)果．【解答】解：由題意可知：P2007的坐標(biāo)是（Px2007，4013），又∵P2007在y＝上，∴Px2007＝．而Qx2007（即Px2007）在y＝上，所以Qy2007＝＝＝，∴|P2007Q2007|＝|Py2007﹣Qy2007|＝|4013﹣|＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是找出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的規(guī)律，以這個(gè)規(guī)律為基礎(chǔ)求出P2007的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出Q2007的值，從而可得出所求的結(jié)果．14．（翔安區(qū)模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN．下列結(jié)論：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，+1）．其中正確結(jié)論的有①③④．【分析】設(shè)正方形OABC的邊長為a，表示出A，B，C，M，N的坐標(biāo)，利用SAS得到三角形OCN與三角形OAM全等，結(jié)論①正確；利用勾股定理表示出ON與MN，即可對于結(jié)論②做出推斷；利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得到三角形OCN與三角形OAM全等，依據(jù)三角形MON面積＝三角形OND面積+四邊形ADNM面積﹣三角形OAM面積，等量代換得到四邊形DAMN與△MON面積相等，結(jié)論③正確；過O作OH垂直于MN，如圖所示，利用ASA得到三角形OCN與三角形OHN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CN＝HN＝1，求出a的值，確定出C坐標(biāo)，即可對于結(jié)論④做出推斷．【解答】解：設(shè)正方形OABC的邊長為a，得到A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a），在△OCN和△OAM中，，∴△OCN≌△OAM（SAS），結(jié)論①正確；依據(jù)勾股定理，ON＝＝＝，MN＝＝|a2﹣k|，∴ON和MN不愿定相等，結(jié)論②錯誤；∵S△ODN＝S△OAM，∴S△MON＝S△ODN+S四邊形DAMN﹣S△OAM＝S四邊形DAMN，結(jié)論③正確；過點(diǎn)O作OH⊥MN于點(diǎn)H，如圖所示，∵△OCN≌△OAM，∴ON＝OM，∠CON＝∠AOM，∵∠MON＝45°，MN＝2，∴NH＝HM＝1，∠CON＝∠NOH＝∠HOM＝∠AOM＝22.5°，∴△OCN≌△OHN（ASA），∴CN＝HN＝1，∴＝1，即k＝a，由MN＝|a2﹣k|得，2＝|a2﹣a|，整理得：a2﹣2a﹣1＝0，解得：a＝＝1±（舍去負(fù)值），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，+1），結(jié)論④正確，則結(jié)論正確的為①③④，故答案為：①③④【點(diǎn)評】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的學(xué)問有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，嫻熟駕馭性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）15．（郾城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是矩形，AD∥x軸，A（﹣6，3），AB＝2，AD＝4．（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣6，1）；點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣2，3）；（2）將矩形ABCD向右平移m個(gè)單位，使點(diǎn)A，C恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，得矩形A'B'C'D'．求矩形ABCD的平移距離m和反比例函數(shù)的解析式．【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，以及AB、AD長可得點(diǎn)B和D的坐標(biāo)；（2）依據(jù)平移方法可得A′（﹣6+m，3），C′（﹣2+m，1），依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得3（﹣6+m）＝﹣2+m，解出m的值，然后可得A′坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可．【解答】解：（1）∵A（﹣6，3），AB＝2，AD＝4，∴B（﹣6，1），D（﹣2，3）．故答案為：（﹣6，1），（﹣2，3）．（2）由題意得：A（﹣6，3），C（﹣2，1），將矩形ABCD向右平移m個(gè)單位后，則有A′（﹣6+m，3），C′（﹣2+m，1），∵點(diǎn)A′、C′恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴3（﹣6+m）＝﹣2+m，∴m＝8，∴A′（2，3）故反比例函數(shù)的解析式為y＝．【點(diǎn)評】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，以及點(diǎn)的平移，關(guān)鍵是駕馭反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積等于k．16．（冷水灘區(qū)期末）已知如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y2＝x+3的圖象交于點(diǎn)A（1，n），點(diǎn)B（m，﹣1）．（1）求m，n的值；（2）求△OAB的面積；（3）干脆寫出y1≥y2時(shí)x的取值范圍．【分析】（1）把A點(diǎn)、B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）S△AOB＝S△AOC+S△BOC，即可求解；（3）視察函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：（1）把A點(diǎn)、B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)y＝得，解得：，故m、n的值分別為﹣4，4；（2）由（1）得：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）、（﹣4，﹣1），一次函數(shù)解析式是y＝x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，x+3＝0，x＝﹣3，C（﹣3，0），S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝3×4+×3×1＝；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴依據(jù)圖象可知：反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)，0＜x≤1或x≤﹣4．【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．17．（秀洲區(qū)校級月考）如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在第一象限）．已知點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0），m＞0．（1）四邊形MANB的形態(tài)確定是平行四邊形；（2）當(dāng)m＝2，且四邊形MANB為矩形時(shí)，求直線MN的函數(shù)關(guān)系式；（3）摸索究：四邊形MANB能不能是菱形？若能，請干脆寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；否則，請說明理由．【分析】（1）依據(jù)反比例函數(shù)是中心對稱圖形可知OM＝ON，依據(jù)對角線相互平分的四邊形是平行四邊形可得答案；（2）依據(jù)矩形的性質(zhì)得OM＝OB＝2，設(shè)M（x，），則x2+＝4，解方程求出M的坐標(biāo)，從而得出答案；（3）當(dāng)MN⊥AB時(shí)，四邊形MANB才能是菱形，而點(diǎn)M在第一象限，則MN不行能垂直AB，從而解決問題．【解答】解：（1）∵經(jīng)過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)M，N，∴點(diǎn)M、N關(guān)于O對稱，∴OM＝ON，∵A（﹣m，0），B（m，0），∴OA＝OB，∴四邊形MANB是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）∵四邊形MANB為矩形，∴OM＝OB＝2，設(shè)M（x，），∴x2+＝4，∵x＞0，解得x＝1或，∴M（1，）或（，1），∴直線MN的函數(shù)關(guān)系式為y＝x或y＝x；（3）四邊形MANB不能是菱形，∵四邊形MANB是平行四邊形，當(dāng)MN⊥AB時(shí)，四邊形MANB才能是菱形，而點(diǎn)M在第一象限，∴MN不行能垂直AB，∴四邊形MANB不能是菱形．【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，反比例函數(shù)的對稱性，平行四邊形，矩形，菱形的判定與性質(zhì)等學(xué)問，證明四邊形MANB是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．18．（定海區(qū)校級月考）如圖，正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，頂