新教材2024版高中數(shù)學第七章統(tǒng)計案例3獨立性檢驗問題學生用書北師大版選擇性必修第一冊

§3獨立性檢驗問題3.1獨立性檢驗3.2獨立性檢驗的基本思想3.3獨立性檢驗的應用最新課標(1)通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義．(2)通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用．[教材要點]要點一2×2列聯(lián)表設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝A1變量B：B1，B2＝B1則下表稱為列聯(lián)表：ABB1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d狀元隨筆(1)列聯(lián)表是兩個或兩個以上分類變量的匯總統(tǒng)計表，現(xiàn)階段我們僅探討兩個分類變量的列聯(lián)表，并且每個分類變量只取兩個值，這樣的列聯(lián)表稱為2×2列聯(lián)表．(2)列聯(lián)表有助于直觀地觀測數(shù)據(jù)之間的關系，如a表示既滿意x1，又滿意y1的樣本量，aa+b表示在x1狀況下，又滿意y1要點二獨立性檢驗的基本思想1．定義：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立性的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗．2．公式：χ2＝(n3．推斷方法(1)當χ2≤2.706時，沒有充分的證據(jù)推斷變量A，B有關聯(lián)，可以認為變量A，B是沒有關聯(lián)的；(2)當χ2>2.706時，有90%的把握推斷變量A，B有關聯(lián)；(3)當χ2>3.841時，有95%的把握推斷變量A，B有關聯(lián)；(4)當χ2>6.635時，有99%的把握推斷變量A，B有關聯(lián)．狀元隨筆列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，它只是總體的代表，具有隨機性，因此，須要用獨立性檢驗的方法確認所得結論在多大程度上適用于總體，即獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質的，只能說結論成立的概率有多大，而不能完全確定一個結論，在分析問題時確定要留意這點，不行對某個問題下確定性結論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結果做出錯誤的說明，比如：χ2≥6.635，就認為有99%的把握認為“兩個分類變量有關系”．通常認為χ2≤2.706時，樣本數(shù)據(jù)中沒有充分的證據(jù)支持結論“兩個分類變量有關系”．[基礎自測]1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個變量的頻數(shù)．()(2)2×2列聯(lián)表只有4個格子．()(3)χ2的大小是推斷變量A與B是否相關的統(tǒng)計量．()2．對兩個變量A與B的χ2的值說法正確的是()A.χ2越大，“A與B有關”的把握性越小B.χ2越小，“A與B有關”的把握性越小C.χ2越接近于0，“A與B無關”的把握性越小D.χ2越大，“A與B無關”的把握性越大3．如表是一個2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為()y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120A．94，72B．52，50C．52，74D．74，524．在對人們休閑方式的一次調查中，依據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的2×2列聯(lián)表：看書運動合計男82028女161228合計243256依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝56×題型一對獨立性檢驗思想的理解例1在探討吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得：有99%的把握推斷“吸煙與患肺癌有關”的結論，下列說法中正確的是()A．100個吸煙者中至少有99人患有肺癌B．1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌C．在100個吸煙者中確定有患肺癌的人D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有方法歸納獨立性檢驗的留意事項(1)獨立性檢驗的關鍵是正確列出2×2列聯(lián)表，求出“合計”欄，然后正確求出χ2值．(2)獨立性檢驗中，假如兩個分類變量之間有關系，則獨立性檢驗是對兩個變量有關系的可信程度的推斷．跟蹤訓練1為考察某動物疫苗預防某種疾病的效果，現(xiàn)對200只動物進行調研，并得到如下數(shù)據(jù)：未發(fā)病發(fā)病合計未接種疫苗206080接種疫苗8040120合計100100200則下列說法正確的是()A.至少有99%的把握認為“發(fā)病與未接種疫苗有關”B.至多有99%的把握認為“發(fā)病與未接種疫苗有關”C.至多有99%的把握認為“發(fā)病與未接種疫苗無關”D.“發(fā)病與未接種疫苗有關”的錯誤率至少有0.01%題型二獨立性檢驗的應用例2我校隨機抽取100名學生，對其學習主動性和對待班級工作的看法進行了調查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：主動參與班級工作不太主動參加班級工作合計學習主動性高40學習主動性一般30合計100已知隨機抽查這100名學生中的一名學生，抽到主動參與班級工作的學生的概率是0.6.(1)請將上表補充完整(不用寫計算過程)．(2)試問：學生的學習主動性是否與對待班級工作的看法有關？方法歸納用獨立性檢驗求解實際問題的基本步驟(1)細致讀題，依據(jù)相關數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；(2)計算：將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求出χ2的值．(3)推斷：依據(jù)統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)推斷，得出結論．跟蹤訓練2某生產(chǎn)線上，質量監(jiān)督員甲在生產(chǎn)現(xiàn)場時，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；不在生產(chǎn)現(xiàn)場時，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件．是否有99%的把握認為質量監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質量好壞有關系？題型三獨立性檢驗的綜合應用例3某校激勵即將畢業(yè)的高校生到西部偏遠地區(qū)去支教，校學生就業(yè)部針對即將畢業(yè)的男、女生是否情愿到西部支教進行問卷調查，得到的狀況如下表所示：性別支教合計情愿去支教不情愿去支教女生20男生40合計70100(1)完成上述2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試問情愿去西部支教是否與性別有關？(3)若在接受調查的全部男生中依據(jù)“是否情愿去支教”進行分層抽樣，隨機抽取10人，再在10人中抽取3人進行面談，記面談的男生中，不情愿去支教的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及數(shù)學期望．方法歸納獨立性檢驗常常與其他學問綜合考查，如分布列、分層抽樣、頻率分布直方圖、計數(shù)原理、線性回來方程、正態(tài)分布等．解決此類問題的關鍵是正確應用各個學問點，留意參考公式和數(shù)據(jù)．另外，此類題目一般為實際應用問題，要細細閱讀理解，明確題目信息．跟蹤訓練3某學校探討性學習小組對該校高三學生視力狀況進行調查，在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若頻率分布直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)．(2)學習小組成員發(fā)覺，學習成果突出的學生，近視的比較多，為了探討學生的視力與學習成果是否有關系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學生進行了調查，得到下列2×2列聯(lián)表，試問能否認為視力與學習成果有關？視力學習成果合計名次在1～50名名次在951～1000名近視413273不近視91827合計5050100(3)在(2)中調查的100名學生中，依據(jù)分層抽樣在不近視的學生中抽取了6人，進一步調查他們良好的護眼習慣，并且在這6人中任取2人，求抽取的2人中，恰有1人年級名次在1～50名的概率．易錯辨析因不理解獨立性檢驗的含義致誤例4調查者通過詢問男、女高校生在購買食品時是否看生產(chǎn)日期和保質期得到的數(shù)據(jù)如下表所示，試分析看生產(chǎn)日期和保質期是否與性別有關．看生產(chǎn)日期和保質期不看生產(chǎn)日期和保質期合計男高校生233255女高校生92534合計325789解析：由題意，χ2＝89×所以沒有發(fā)覺足夠的證據(jù)說明看生產(chǎn)日期和保質期與性別有關．【易錯警示】易錯緣由糾錯心得有些學生會通過列聯(lián)表計算出2355比9事實上這只能說明二者有關成立的可能性比較大，即并不能確定地說二者有關，若要判定看生產(chǎn)日期和保質期與性別有關，則需進行獨立性檢驗．列聯(lián)表只能粗略地推斷兩個變量是否有關，獨立性檢驗才能更精準地分析．但由獨立性檢驗得出的結論也不是“確定”有關或無關．[課堂特殊鐘]1．在一項中學生近視狀況的調查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關時用什么方法最有勸服力()A．平均數(shù)與方差B．回來分析C．獨立性檢驗D．概率2．分類變量X和Y的列表如下，則下列說法推斷正確的是()y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說明X和Y關系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明X和Y關系越強C．(ad－bc)2越大，說明X與Y關系越強D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y關系越強3．若由一個2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得χ2＝4.013，那么有________把握認為兩個變量有關．()A．95%B．97.5%C．99%D．99.9%4．下面2×2列聯(lián)表的χ2的值為________．BB合計A8412A21618合計1020305.在探討某種藥物對“H7N9”病毒的治療效果時，進行動物試驗，得到以下數(shù)據(jù)，對150只動物服用藥物，其中132只動物存活，18只動物死亡，比照組150只動物進行常規(guī)治療，其中114只動物存活，36只動物死亡．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表．(2)試問該種藥物對治療“H7N9”病毒是否有效？§3獨立性檢驗問題3.1獨立性檢驗3．2獨立性檢驗的基本思想3．3獨立性檢驗的應用新知初探·課前預習[基礎自測]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：χ2越大，A與B越不獨立，所以關聯(lián)越大；相反，χ2越小，關聯(lián)越?。蔬xB.答案：B3．解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22＝52＋22＝74.故選C.答案：C4．解析：依據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2≈4.667>3.841，所以至少有95%的把握判定休閑方式與性別有關系．答案：95%題型探究·課堂解透例1解析：A.獨立性檢驗的結論是一個數(shù)學統(tǒng)計量，它與實際問題中的問題的確定性是存在差異的，A錯；B.χ2與概率的含義不同，有99%的把握認為結論正確不能說明有99%的可能患有肺癌，B錯；C.獨立性檢驗的結論是一個數(shù)學統(tǒng)計量，它與實際問題中的問題的確定性是存在差異的，C錯；D.獨立性檢驗的結論是一個數(shù)學統(tǒng)計量，它與實際問題中的問題的確定性是存在差異的，D正確．答案：D跟蹤訓練1解析：χ2＝200×20×所以至少有99%的把握認為“發(fā)病與未接種疫苗有關”，故選A.答案：A例2解析：(1)由題意，主動參與班級工作人數(shù)為100×0.6＝60，列聯(lián)表如下：主動參與班級工作不太主動參與班級工作合計學習主動性高401050學習主動性一般203050合計6040100(2)由公式計算得χ2＝100×所以有99%的把握認為學習主動性與對待班級工作看法有關．跟蹤訓練2解析：依據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得如下2×2列聯(lián)表：合格品次品合計甲在生產(chǎn)現(xiàn)場9828990甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場49317510合計1475251500依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝1500×所以有99%的把握認為質量監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質量好壞有關．例3解析：(1)2×2列聯(lián)表如下：性別支教合計情愿去支教不情愿去支教女生302050男生401050合計7030100(2)依據(jù)公式計算得χ2＝100×所以有95%的把握認為是否情愿去西部支教與性別有關．(3)由題意，抽取的10人中有8人情愿去西部支教，2人不情愿去西部支教，于是ξ＝0，1，2，∴P(ξ＝0)＝C83C103＝715，P(P(ξ＝2)＝C22C81ξ012P771∴E(ξ)＝0×715＋1×715＋2×115跟蹤訓練3解析：(1)由圖可知第一組有3人，其次組有7人，第三組有27人．因為后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為90，公差小于0，所以后四組的頻數(shù)依次為27，24，21，18.所以視力在5.0以下的人數(shù)為3＋7＋27＋24＋21＝82(或者100－18＝82)，故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為1000×82100(2)由公式計算得χ2＝100×所以有95%的把握認為視力與學習成果有關．(3)依題意得，6人中年級名次在1～50名的有2人，年級名次在951～1000名的有4人，則從6人中任取2人的狀況有C恰有1人年級名次在1[課堂特殊鐘]1．解析：推斷兩個變量是否有關的最有效方法是進行獨立性檢驗．答案：C2．解析：列聯(lián)表可以較