【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】 23 拉格朗日（以拉格朗日（中值定理）為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）解析版

【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】

專題23拉格朗日

（以拉格朗日（中值定理）為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）

一、單選題

1.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間

目上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間（〃力）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為廣（X）,那么在區(qū)間（。力）內(nèi)至少存

在一點(diǎn)C，使得/0）-/（。）=/?（。一。）成立，其中C叫做“X）在句上的“拉格朗日中

值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)〃司=》3-2》在［-2,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為

（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，求出導(dǎo)數(shù)，列方程求解作答.

【詳解】

函數(shù)〃x）=V-2x,求導(dǎo)得：「（x）=3d-2,令/為〃x）在［-2,2］上的“拉格朗日中值

點(diǎn)”，

則有3x；_2=〃：q/甘）,即3片-2=2,解得x=±漢1,

2-（-2）3

所以函數(shù)/（刈=1-2》在［-2,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.

故選：B

2.英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒（歷。成3，/“，1685.8-1731.11）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)而聞

名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)J"）在包含寺的某個(gè)開區(qū)間（db）上具有（〃+1）

階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于Vxe（a,6）,有

八對(duì)=停+膂（X-X0）+^\X-XO）2+...+^^（X-XO）"+R”（X）,其中，

（。）=仁華。-%產(chǎn)”（此處￡介于％和x之間）.

（H+1）!

若取寸0,貝以叱噌+華田+華⑹+…+空⑹+*）,其中,

0!1!2!n\

&（x）=A?（x）'"旬（此處￡介于0和X之間）稱作拉格朗日余項(xiàng).此時(shí)稱該式為函數(shù)“X）

5+1）!

在X=0處的〃階泰勒公式，也稱作fW的〃階麥克勞林公式.

于是，我們可得e=l+：+!+…+4+lJ(此處￡介于0和1之間).若用近似的

表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)此。)=/鏟當(dāng)R.(x)不超過短時(shí)，正整數(shù)〃的最小

值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

由己知可得(〃+1)框7500,根據(jù)7!<7500<8!可出正整數(shù)”的最小值.

【詳解】

3,1,、

解：由條件有正頁菽，即(〃+1)整7500

因?yàn)?!=7x6x5x4x3x2xl=5040<7500,8!=8x7!=40320>7500,

所以〃的最小值為7.

故選：C.

3.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公式，我們能得到

e=l+《+L+!+…+」+廠J(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，其拉格朗日余

1!2!3!n\(〃+1)!

e〃

項(xiàng)是&可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確?若

1K;近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)&,&不超過』時(shí)，正整數(shù)〃的最小

(M+1)!1000

值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，得到不等式廣焉，結(jié)合階乘的運(yùn)算，即可求解.

(n+1)!1000

【詳解】

由題意，可得的廠焉，即(〃+1)!23000,

(n+l)!1000

當(dāng)〃=5時(shí)，6!=720<3000；

當(dāng)〃=6時(shí)，7!=5040>3000,

所以n的最小值是6.

故選：B.

4.以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理''反映了函數(shù)與導(dǎo)

數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理''的

核心內(nèi)容.其定理陳述如下：如果函數(shù)Ax)在閉區(qū)間伍，切上連續(xù)，在開區(qū)間(。，與內(nèi)可導(dǎo)，

則在區(qū)間(。力)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)七€S，份，使得/S)-/(4)=/'(七)3-a),X=/稱為函

數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間以，回上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)/(X)=Sin尤在區(qū)間［0,兀］上的“中值點(diǎn)”的

個(gè)數(shù)為機(jī)，函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為〃，則有利+〃=()(參

考數(shù)據(jù)：萬23.14,e=2.72.)

A.1B.2C.0D.n=3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用中值點(diǎn)的定義分別求解兩函數(shù)的中值點(diǎn)即可

【詳解】

設(shè)函數(shù)/")=sinx在區(qū)間［0,用上的“中值點(diǎn)”為X。，由f(x)=sinx,得/(x)=cosx,

則由拉格朗日中值定理得,fM-/(0)=/'(x0)(^-0),即萬cosxo=0,因?yàn)榕c曰0,萬I,

所以所以函數(shù)/(x)=sinx在區(qū)間。兀］上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1,即相=1,

設(shè)函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上的“中值點(diǎn)”為不，由g(x)=e*,得g(x)=e，，則由拉格朗日

中值定理得，g⑴-g(0)=g'a)(l-0),即e-l=e』，作出函數(shù)片，和y=e-l的圖像如圖

所示，l<e-l<e,當(dāng)時(shí)，l<e"<e，

由圖可知，函數(shù))=。*和、=0-1的圖像在區(qū)間［0,1］上有一個(gè)交點(diǎn)，即方程e-l=e*區(qū)間

［0,1］上有1個(gè)解,所以函數(shù)g(x)=e，在區(qū)間［0,1］上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1,即〃=1,

所以〃?+〃=2,

5.以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與

導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”

的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：如果函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間[凡句上連續(xù)，在開區(qū)間g㈤內(nèi)

可導(dǎo)，則至少存在一個(gè)點(diǎn)/e(a,b),使得/S)-/(“)=_r(x0)3-a),X=%稱為函數(shù)

y=/(x)在閉區(qū)間可上的中值點(diǎn)，根據(jù)上述結(jié)論，函數(shù)/(x)=V-3x在區(qū)間[-2,2]上的

“中值點(diǎn)''的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題設(shè)中給出的“拉格朗II中值點(diǎn)”的定義，結(jié)合函數(shù)f(x)=M-3x進(jìn)行分析，即可求解.

【詳解】

由題意,函數(shù)“x)=V-3x,xe[-2,2],

可得=2J(―2)=-2,f'(x)=3x2-3,

由/(2)-/(-2)=/'(七)(2+2),可得/(飛)=1,即3片-3=1,

解得不=±孚e[-2,2],所以“X)在區(qū)間[-2,2]上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

6.英因數(shù)學(xué)家泰勒(正孫/”,1685-1731)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公

式，我們能得到e=1+l+!+[+…+4+廣三石(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，0<6><1,

?!=?(/-l)x(n-2)x...x2xl),其拉格朗日余項(xiàng)是&可以看出，右邊的項(xiàng)用得

'J，''(n+1)!

2

越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確.若在遜近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余

項(xiàng)R“，&不超過嬴2時(shí)，正整數(shù)〃的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意建立不等式，利用驗(yàn)證的方式求解即可.

【詳解】

22

依題意得^薪，即(〃+l)!N3000,(5+l)!=6x5x4x3x2xl=720,

(6+1)1=7x6x5x4x3x2x1=5040>3000,所以”的最小值是6.

故選:B

7.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)Ax)在閉區(qū)間

心,目上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(0力)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為了'(x),那么在區(qū)間(。力)內(nèi)至少存

在一點(diǎn)c,使得/㈤一/小人/⑹使一公成立，其中c叫做〃x)在［4句上的“拉格朗日中

值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在［-2,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為

()

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題中給出的‘'拉格朗日中值點(diǎn)”的定義分析求解即可.

【詳解】

函數(shù)/(x)=V-3x,

則/(2)=2J(―2)=-2,f'(x)=—3,

由〃2)-/(-2)=:?(2+2),

得尸(c)=l,即3c2-3=1，

解得°=±手€卜2,2］,

所以f(x)在12,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

8.以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的''中值定理”反映了函數(shù)與

導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”

的核心內(nèi)容.其定理如下：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間句上的圖象不間斷，在開區(qū)間(。,與

內(nèi)可導(dǎo),則在區(qū)間(a㈤內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)火(。力),使得/(a)=r(/(6—a),《

稱為函數(shù)y=〃x)在閉區(qū)間隔］上的中值點(diǎn).則函數(shù)〃x)=tanx在區(qū)間上的中值

點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題設(shè)中給出的“拉格朗日中值點(diǎn)”的定義，結(jié)合函數(shù)〃X)=tanx進(jìn)行分析，將問題轉(zhuǎn)化

ITTT

為求cosJ=在xw-aq上的解的個(gè)數(shù)問題,再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可..

【詳解】

n7t

由題意，函數(shù)/(x)=tanx,xw

417

sinx1

所以f=1,/(%)=o

圖COSXcos~X

]

所以f

cos2^

所以由拉格朗日中值定理得：2=冬多即8s*q,

所以cos4=,

--T冗冗時(shí)，cosxe與,1

由于JW

44

所以cosj=-'^在一無解，cosj=^^在上有2解.

21.44」21_44_

所以函數(shù)〃x)=tanx在區(qū)間上的中值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B.

9.數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理

的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)

12=32+12+12+12=22+22+23+02.i&25=a2+h2+c2+d2,其中a,b,c,d均為自然

數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組Ac,d)的個(gè)數(shù)是()

A.28B.24C.20D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

分類討論四個(gè)數(shù)的組成后，由計(jì)數(shù)原理求解

【詳解】

顯然a,b,c,4均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論.

最大數(shù)為5的情況：

①25=5?+02+02+02,此時(shí)共有A：=4種情況；

最大數(shù)為4的情況：

@25=42+32+02+02,此時(shí)共有=12種情況；

③25=4z+2?+2?+廣，此時(shí)共有庶=12種情況.

當(dāng)最大數(shù)為3時(shí),32+32+22+22>25>32+32+22+12,故沒有滿足題意的情況.

綜上，滿足條件的有序數(shù)組(a/,c,d)的個(gè)數(shù)是4+12+12=28.

故選：A

10.拉格朗日定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)f(x)在［a,切上連續(xù)，且在(“,〃)上可導(dǎo)，則必

2

有一46(4力)，使得a)=_/■(?-/(“).己知函數(shù),f(x)=alnx--，在區(qū)間(0,3)內(nèi)

x

任取兩個(gè)實(shí)數(shù)和三，且占w%，若不等式"工+1卜"當(dāng)+1)<1恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小

工2一百

值為()

9L11

A.--B.—2C.—2A/2D.一~—

/j

【答案】c

【解析】

【分析】

依題意可得y=/(%)在區(qū)間(1,4)上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于-I,因此r(x)=^+^>-i

即+對(duì)任意xw(l,4)恒成立，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

,、f(x.+1)-/(%,+1)

依題意可知，”,々?0,3),且x產(chǎn)占，不等式今」—U>-成立,

(士+1)-(%+1)

它表示函數(shù)y=/(x+l)在區(qū)間(0,3)上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于-1,

即y=f(x)在區(qū)間(1,4)上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于-1,

所以尸(x)=g+Wz-l即aZ-(x+2)對(duì)任意xe(l,4)恒成立，

當(dāng)xe(l,4)時(shí)，一卜十目4一26^=一26(當(dāng)且僅當(dāng)x=應(yīng)時(shí)取等號(hào)),

所以〃之一2百，即實(shí)數(shù)。的最小值是一28.

故選：C.

11.拉格朗日中值定理：若函數(shù)/(x)在口力]上連續(xù)，且在(4力)上可導(dǎo)，則必存在

&式a,t>),滿足等式r(g)(6-a)=/(b)-/(a),若f(x)=(x-l)ln(x-l)-gx2-x,對(duì)

必，bG[e-'+\,e+\],fJeA""),那么實(shí)數(shù)f的最大值為()

h-a

A.-2B.1CeD.In2

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可得￡=,即要求/(X)導(dǎo)函數(shù)f'(x)=ln(x-l)-x的最大值，令

b-a

h(x)=]n(x-r)-x,對(duì)〃(x)求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，從而求出最大值即可.

【詳解】

由題意知,Ma,bG\e'+\,e+\],游w(a,b),使得/=/'&)=⑷.

L」b-a

因?yàn)閒M=(x-l)ln(x-1)一g/一%,則y\x)=ln(x-1)一x,

令力0)=ln(x-l)-x,貝ij/(x)=—!——1=3_￡,令〃'(x)=。得工=2.

x-1x-\

當(dāng)/+l<x<2時(shí)，//(x)>0,即〃(x)在(e-i+1,2)上為增函數(shù)；

當(dāng)2<xve+l時(shí),〃(x)<(),即Mx)在(2,e+l)上為減函數(shù).

所以以初儂=〃(2)=-2即/(X)1rax=-2,故實(shí)數(shù)f的最大值為-2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：求函數(shù)力(x)=ln(x-l)-x的最大值.

12.拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學(xué)中的基本定理之一，它反映了函數(shù)在閉

區(qū)間上的整體平均變化率與區(qū)間某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系，其具體內(nèi)容如下：若/(x)在

句上滿足以下條件：①在[凡以上圖象連續(xù)，②在(“內(nèi))內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，則在(4。)內(nèi)至少

存在一點(diǎn)c,使得使)=/?伍一a)(尸(另為/(x)的導(dǎo)函數(shù)).則函數(shù)

/(力=屁1在[0,1]上這樣的c點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

用已知定義得到存在點(diǎn)ce[O,1],使得=以2?(°)=1,轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)數(shù)y=e<T和

1—0

y=/上圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象即可得到答案.

【詳解】

函數(shù)f(x)=xex-',則f\x)=(x+l)e*T,

由題意可知，存在點(diǎn)ce[0,U,使得即(l+c)e~=l,

所以e'T=」一,ce[0,1],

1+c

作出函數(shù)丫=*'和'=丁]一的圖象，如圖所示，

山圖象可知，函.數(shù).V-Yk=4的圖象只仃一個(gè)交點(diǎn)，

1+C

所以e『T=J_,ce[0,1]只有一個(gè)解，即函數(shù)f(x)=xeA'在[0,1]上c點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè).

故選：A

13.以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理''反映了函數(shù)

與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定

理'’的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間回上連續(xù)，在開區(qū)間3力

內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(。，切內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)X。w(",勿，使得f(b)-,f\a)=f\x.)s—a),

x=不稱為函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,切上的中值點(diǎn)，則函數(shù)/(x)=sinx+gcosx在區(qū)間

[0,兀]上的“中值點(diǎn)''的個(gè)數(shù)為()

參考數(shù)據(jù)：0^1.41，73?1.73,萬士3.14.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

先化簡(jiǎn)f(x)再求出f(x),由拉格朗日中值定理可得cos|\,+g]=-3,故該方程根的個(gè)

數(shù)即為函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,河上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，由函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系即可求

解.

【詳解】

由f(x)=sinx+Gcosx=2sin(x+。)，知/''(x)=2c°s(x+g).

由拉格朗日中值定理：

令小六飛,即24“13__乎7/4

?.?x0e(0,^),-且

畫出函數(shù)圖像，如圖

卜=8$［+?卜=-咚的圖象在(0,萬)上有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以方程在區(qū)間(0,萬)內(nèi)有2解，

故/(x)在區(qū)間［0,兀］上的“中值點(diǎn)”有2個(gè)，

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拉格朗日中值定理、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的應(yīng)用，考查理解辨析能力與運(yùn)算求

解能力，屬于中檔題.

14.拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)/*)在口,可上連續(xù)，且在(。,加上可導(dǎo)，

則必有一勿，使得fG)S—a)=/(〃)—/(〃).已知函數(shù)

/(x)=(l+x)-ln(l+x)-^x2-x,,4=幺^二^,那么實(shí)數(shù)2的最

-a

大值為()

A.e-2B.0C.-D.In2

e

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可得)=/(9="",)一/⑷,即要求〃x)=(l+x”n(l+x)——x導(dǎo)函數(shù)

b-a2

/(x)=ln(l+x)-尤的最大值，令〃(x)=ln(l+x)-x,對(duì)/i(x)=ln(l+x)-x進(jìn)行求導(dǎo)判斷它

的單調(diào)性，從而求出最大值即可.

【詳解】

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

由題意知，Va,be,3^e(a,b),

e

使得J=/?)=/(?一“").

b-a

因?yàn)?(x)=(l+x)ln(l+x)-^x2-x,

則f(x)=ln(l+x)-x,

令h(x)=ln(l+x)-x,

則〃(x)=—!--1=—.

1+X1+X

當(dāng)工-l<x<0時(shí)，h\x)>0,

e

即人(x)在上為增函數(shù)；

當(dāng)Ovx<e-1時(shí),h\x)<0,

即僦x)在(O,e-1)上為減函數(shù).

所以/'(%)=ln(l+x)-％,/'(0)=0,

所以八X)max=。，

所以實(shí)數(shù)4的最大值為0

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵要結(jié)合所給的定義解題，屬于一般題.

15.2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天

事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)

器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格

朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.4點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為月

球質(zhì)量為地月距離為R,4點(diǎn)到月球的距離為「，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定

律，r滿足方程：

?*_i~

設(shè)a市,由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中.i尸則’的近似值為

【答案】D

【解析】

【分析】

本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立a的方程，解方程、近似

計(jì)算.題目所處位置應(yīng)是“解答題”，但由于題干較長(zhǎng)，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀

理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查.

【詳解】

由a=g得r=aR

R

M,e、M

因?yàn)?/=(R+r)》

(R+r)2

所以至H+/=a+a)'F'

M2「/一xI】cr+3a+3a.

即AII2寸[(1+ez)--~^]=--~◎—?3a3,

M}(1+a)(1+a)

M2

解得aJ畫

所以r=aR=3粵艮

【點(diǎn)睛】

由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是

復(fù)雜式子的變形出錯(cuò).

二、多選題

16.對(duì)于一組數(shù)據(jù)(4y，)(i=12…我們記

(x一項(xiàng))(X—X2)L(X_X“)

并稱/(x)=4y2+L+l,,y為這組

—W)L(%-%)n

數(shù)據(jù)的拉格朗日插值多項(xiàng)式.下列說法正確的有().

A.對(duì)于數(shù)據(jù)(1,2),(0,3),(2,3),其拉格朗日插值多項(xiàng)式為/(x)=，-2x+3

B.對(duì)于任意一組數(shù)據(jù)(xv,y)(i=l,2,L,〃)，點(diǎn)(七,%)都在曲線曠=/(力上

C.對(duì)于任意一組數(shù)據(jù)(七,x)(i=1,2,…，江點(diǎn)(%,y)都大致分布在曲線y=/(x)兩側(cè)

D.若點(diǎn)a，yj(i=l,2,…共線，則y=〃x)一定為一條直線

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)拉格朗日插值多項(xiàng)式的定義逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】

解：對(duì)于數(shù)據(jù)(1,2),(0,3),(2,3),

有4=一+…

1二(x7)(x_0)=1f,

3(2-1)(2-0)^22

2

A/(x)=2/,+3l2+3l3=x-2x+3,A選項(xiàng)正確.

\,x-xi

易知4=則/(x()=y,(z=1,2,3,L,n),

0,工工甚

???對(duì)任意一組數(shù)據(jù)(?！?(1,2,3!，〃)，點(diǎn)(4》)都在曲線丫=/(力上，B選項(xiàng)正確，C選

項(xiàng)錯(cuò)誤.

若點(diǎn)(XQ)(i=l，2,3,…共線，

由題意易知該直線的斜率必然存在，不妨設(shè)該直線的方程為丫=履+，〃.

又/(%)是一次數(shù)不超過,-1的多項(xiàng)式，

不妨設(shè)/(X)=+4-2冒”+L+alx+a0,

由B選項(xiàng)正確知點(diǎn)a，y)(i=l,2,3,…,〃)為丁=〃力與丫=洗+加的公共點(diǎn).

，方程/*)=依+加至少有〃個(gè)根，

即方程41%'1+4_2乂々+1+(4-%)x+g—〃?=O有”個(gè)根.

若該方程每項(xiàng)的系數(shù)不全為0,則該方程至多有n-1個(gè)根，不成立.

...a“T=L=a2=a}-k=ao-m=O,則/(x)=Ax+m,

因此y=〃x)一定為一條直線，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

17.以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與

導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”

的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：如果函數(shù)“X)在閉區(qū)間可上連續(xù)，在開區(qū)間(。,6)內(nèi)可

導(dǎo),則在區(qū)間(。力)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)/e(a,6),使得/(6)-/(。)=/'(%)(沙-4),x=x°

稱為函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間［〃,/?］上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx+gcosx在區(qū)間

［0,句上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為,函數(shù)g(x)=".在區(qū)間［0』上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為〃，則有

()(參考數(shù)據(jù)：V2?1,411eal.73,萬23.14,e=2.72.)

A.m=\B.m=2C.n=\D.n=2

【答案】BC

【解析】

【分析】

先求出〃X)的導(dǎo)函數(shù)((x),由拉格朗日中值定理可得cos卜o+.卜-乎，故該方程根的

個(gè)數(shù)即為函數(shù)“X)在區(qū)間［(),萬］上的“中值點(diǎn)''的個(gè)數(shù)，由函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系即

可求解，同理由拉格朗日中值定理可得：g⑴-(0)=8'(%)(1-0)即6-1=-的實(shí)數(shù)根的

個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的“中值點(diǎn)”個(gè)數(shù)，從而得出答案.

【詳解】

設(shè)函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,句上的“中值點(diǎn)”為與

由/'(x)=cosx-gsin%,

則由拉格朗日中值定理可得:/(4)—/(0)=中(%)(%—0)

又-〃。)=-6二-2/

即r(x())=cosx0一6sin/=2cos(xo+?

所以cos［+升§KT)

作出函數(shù)y=8s(x+g)和y=的圖象，如圖1.

由圖可知，函數(shù)小OS(X+常和y=_包的圖象在［0,句上有兩個(gè)交點(diǎn).

所以方程cos1%+?)=-咚在［0,句上有兩個(gè)解，即函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,句上有2個(gè)“中值

點(diǎn)”.

所以〃7=2

又g'(x)=e\函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的“中值點(diǎn)”為々，

則由拉格朗日中值定理可得:g(l)-g(O)=g'(xo)(l-O)

即e—1=e*，

作出函數(shù)>=",與>=6-1的圖象，如圖2

l<e-l<e,當(dāng)xe［0,1］時(shí)，l<e'<e

由圖可知，函數(shù)>=?*與丫=。-1的圖象在區(qū)間［0,1］上有1個(gè)交點(diǎn).

即方程e-l=e為在區(qū)間［0』上有1個(gè)解.

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上有1個(gè)“中值點(diǎn)”,即”=1

故選：BC

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的新定義問題，考查方程是實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)的判斷，解答本題的關(guān)鍵是

將問題轉(zhuǎn)化為方程3卜。+9=-1在區(qū)間［0,司上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)和方程e-l=爐在區(qū)

間［0』上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合即可，屬于中檔題.

18.拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，定理如下：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間

出上連續(xù)，在開區(qū)間(4力)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(4力)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)不?〃力)，使得

f(b)-f(a)=f'［Xo)(b-a),x=x。稱為函數(shù)y=〃x)在閉區(qū)間［〃,句上的中值點(diǎn)，若關(guān)于

函數(shù)/(x)=sinx+gcosx在區(qū)間［0,句上“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為加，函數(shù)g(x)=e，在區(qū)間［0,1］

上“中值點(diǎn)''個(gè)數(shù)為"，則有()

（參考數(shù)據(jù)：&*141,6?1.73,萬=3.14,"2.72.）

A.m—\B.m=2C.n=lD.n=2

【答案】BC

【解析】

【分析】

先求出廣(X)由拉格朗日中值定理可得cos(x0+q)==數(shù)形結(jié)合判斷該方程的隔壁的個(gè)

數(shù)即為“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)m的值，對(duì)于g(x)=，由拉格朗日中值定理可得e-l=e*數(shù)形結(jié)合

判斷方程的根的個(gè)數(shù)即為“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)〃的值，即可得正確選項(xiàng).

【詳解】

設(shè)/(X)=sinX+gcos%在閉區(qū)間［0,句上的中值點(diǎn)為玉)，

由(x)=cosx-石sinx,

由拉格朗日中值定理可得：/⑺—八0)=/'5)(萬-0)，

因?yàn)?(%)一/(。)=sin?+Gcosn-fsin0+>/3cos0)=一百一百=一2G,

所以乃r(/)=-2G,可得/，^。)=心叵，

冗

/'($)=cos/一百sin/=2COS(XO+3=,

I3J冗

即cos卜。+升m+?

作出函數(shù)V=COS卜。+和y=二且的圖象如圖1：

由圖可知，函數(shù)y=COS(Xo+(和y=音的圖象在［0,句上有兩個(gè)交點(diǎn),

汽

3在［0,句上有兩個(gè)解,

所以方程cos與+5

71

即函數(shù)/(x)=sinx+6cosx在區(qū)間［0,句上有2個(gè)中值點(diǎn)，所以加=2,

g'(x)=ex,函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上“中值點(diǎn)”為看,

由拉格朗日中值定理可得：g(i)-g(o)=g'a)(i-o),

因?yàn)間(l)-g(O)=eT，g'(xj=e*',所以e-l=e',

作出函數(shù)〉=決與〉=?-1的圖象如圖2：

圖2

當(dāng)xw［0,l］時(shí)，1<e*<e,

由圖可知函數(shù)y=，與y=e-l的圖象在區(qū)間［0,1］上有一個(gè)交點(diǎn)，

即方程e-1=人在區(qū)間［0,1］上有一個(gè)根，

所以函數(shù)g(x)="在區(qū)間［0,1］上有1個(gè)“中值點(diǎn)“，所以”=1,

故選：BC

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)個(gè)數(shù)的方法

(1)直接法：令/(x)=0,如果能求出解，那么有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)；

(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖象在

區(qū)間句上是連續(xù)不斷的曲線，并且/1(4>/9)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，(如

單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；

(3)圖象法：畫出函數(shù)“X)的圖象，函數(shù)/(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)/(x)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)〃力拆成兩個(gè)函數(shù)，R(x)和g(x)的形式，根據(jù)

f(x)=Oo/z(x)=g(x),則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=/i(x)和y=g(x)的圖象交

點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(4)利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)

是周期函數(shù)，則需要求出在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù).

三、填空題

19.2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天

事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)

器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格

朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.乙2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為月

球質(zhì)量為地月距離為R,4點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定

律，r滿足方程：—M+M=+M設(shè)a=r《，由于a的值很小，因此在近似計(jì)

(R+r)-rRR

算中.aa”3〃，則廠的近似值為_________.

d+?)-

【答案】?jī)?/p>

【解析】

【分析】

由a=：推導(dǎo)出于=——-——-；——=3a,進(jìn)而可得廠=&/?=：］；尸/?.

R必(1+a)2V37M

【詳解】

由a=°,得廠=aR,

R

由----=(R+r)T,得

(R+r)2r2審

將aJ代入,得了%.+/%=。+。跖

32

M-,...、1...(1+a)-1..a(a+3a+3)a.

有—=[(1+a)------?]M.=-----?M.=—--------------~-M.,

a2(1+a)21(1+a)21(1+a)25

5

?「M、3a3+3a4+aI^

所以寂=…尸小〃’則y而心

M

所以…

Y3M

故答案為：噲

20.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公式，我們能得到

e=+!+…+(+扃(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，

n!=H(n-l)(?-2)x-x2xl,其拉格朗日余項(xiàng)是凡=7——.可以看出，e的表達(dá)式右邊

\八(1十1產(chǎn)

2

的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確.若跡不近似地表示e的泰勒公式的

拉格朗日余項(xiàng)段,且段不超過擊時(shí)，則正整數(shù)〃的最小值是.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，列出關(guān)于”的不等式，結(jié)合階乘的運(yùn)算，即可求得結(jié)果.

【詳解】

由題意，可得誦跡4而，即(〃+1)^200.

當(dāng)〃=4時(shí)，5!=5x4x3x2xl=120<200：

當(dāng)”=5時(shí)，6!=720>200,

所以”的最小值是5.

故答案為：5.

21.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個(gè)定理，具體如

下.如果函數(shù)y=f(x)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間以上是連續(xù)的；(2)在開區(qū)間

(4,6)上可導(dǎo).則在開區(qū)間(〃力)上至少存在一點(diǎn)九使得/(?-/(〃)=廣(鄉(xiāng)S-4)成立，此

定理即“拉格朗日中值定理”，其中4被稱為“拉格朗日中值則g(x)=e，在區(qū)間［0,1］上的

“拉格朗日中值”=.

【答案】In(e-l)

【解析】

【分析】

先求g'(x)，結(jié)合拉格朗日中值的定義,可得g⑴-g(0)=g'?(l-0)求得自的值即可.

【詳解】

由g(x)=e，可得g，(x)=e*,

所以g")=苗，

由拉格朗日中值的定義可知g'(/=固生綱=e-l,

即e。=e-l,

所以J=ln(e—1).

故答案為：In(e-l).

22.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體

的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系.其定理表述如下：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間

口,勿上的圖象不間斷，在開區(qū)間(“，刀內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(。，刀內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)

￡(〃<￡<6)使得等式f(b)-/(?)=/(￡)(。-a)成立，其中￡稱為函數(shù)f⑺在閉區(qū)間出，加上

的中值點(diǎn)，函數(shù)/(x)=x+sinx在閉區(qū)間［0,兀|上的中值點(diǎn)為

【答案】￡

2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f(x)=x+sinx在閉區(qū)間［0,加上的中值點(diǎn)為“，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由

“中值點(diǎn)”的定義可得：/W-/(0)=(1+cosW)(^-0),求出機(jī)的值，即可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f(x)=x+sinx在閉區(qū)間［(),加上的中值點(diǎn)為〃?，

函數(shù)f(x)=x+sinx,其導(dǎo)數(shù)f'a)=l+cosx,所以『(%)=%,f(0)=0

則有fM-f(0)=(1+cos機(jī))(T-0),即cosm=0,

TT

又由滕kn,則=萬；

故答案為：—??

2

23.在18世紀(jì)，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉格日在他的《解析函數(shù)論》中，第一次提到拉格朗日中

值定理，其定理陳述如下，如果函數(shù)/(x)區(qū)間口，句上連續(xù)不斷，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)

可導(dǎo)(存在導(dǎo)函數(shù))，在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)(a,b),使得/⑺)-f

(?)=/'(%)貝ijx=xo稱為函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間［a,切上的中值點(diǎn)，則關(guān)于x

的=ex+mx在區(qū)間［-1,1］上的中值點(diǎn)xo的值為.

【答案】ln!(e-eT)

2

【解析】

【分析】

由拉格朗日中值定理可得/'(/)=斗興2求導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】

/⑴-/(—1)e+m—(e'1-tri)

解：當(dāng)1J時(shí)，由拉格朗日中值定理可得/'(%)=

1-(-1)2

一(6-6-)一加,

":f(X)=〃+〃?，

I.e"+m=3(6—6-1)+加，B|J=^(e-e~I),

<％=In5(e-c1).

故答案為：1口:(6-6”).

24.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個(gè)定理：如果函數(shù)

y=/(x)滿足如下兩個(gè)條件：(1)其圖象在閉區(qū)間［。,可上是連續(xù)不斷的；(2)在區(qū)間

(。,。)上都有導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間(。⑼上至少存在一個(gè)數(shù)久使得/㈤-/⑷=r(j)。-。)，

其中自稱為拉格朗日中值.函數(shù)g(x)=lnx+x在區(qū)間［L2］上的拉格朗日中值.

【答案】A

In2

【解析】

先求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得/⑷=g(2)-g(l)=ln2+l,進(jìn)而求得<

的值即可.

【詳解】

g〈x)=」+l,則g'⑷=［+1

由拉格朗II中值的定義可知，函數(shù)g(x)=lnx+x在區(qū)間［1,2］上的拉格朗日中值歲滿足，

g⑵-晨l)=g'⑶(27)

所以g")=g(2)-g(l)=ln2+2-l=ln2+l

所以g'4)=J+l=ln2+l,即J=ln2,則

?JIn2

故答案為：—7

In2

25.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中給出一個(gè)定理：如果函數(shù)

y=〃x)滿足如下條件：

(1)在閉區(qū)間以上是連續(xù)不斷的；

(2)在區(qū)間(。力)上都有導(dǎo)數(shù).

則在區(qū)間(4,6)上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)r,使得