云南省昆明市云南衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)西山學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（一）【含答案】

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測高二年級數(shù)學(xué)（一）（全卷四個大題，共22個小題，共8頁；滿分150分，考試用時120分鐘）注意事項(xiàng)：1.本卷為試題卷.考生必須在答題卡上解題作答.答案應(yīng)書寫在答題卡的相應(yīng)位置上，在試題卷?草稿紙上作答無效.2.考試結(jié)束后，請將試題卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題只有一個正確選項(xiàng)，每小題5分，共40分）1．已知向量，則（

）A．1 B． C． D．52．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20484．已知圓的方程圓心坐標(biāo)為，則它的半徑為（

）A． B．16 C．5 D．45．明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廓均為橢圓．已知圖（1），（2），（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別為，，，設(shè)圖（1），（2），（3）中橢圓的離心率分別為，，，則（

）

A． B． C． D．6．已知，，，則（

）.A． B． C． D．7．已知直線的傾斜角為，則的值是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9．已知m，n是不同的直線，，是不重合的平面，則下列命題中，真命題有（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則10．若一個函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒大于0，則該函數(shù)在上純粹遞增，若一個函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒小于0，則該函數(shù)在上純粹遞減，則（

）A．函數(shù)在上純粹遞增B．函數(shù)在上純粹遞增C．函數(shù)在上純粹遞減D．函數(shù)在上純粹遞減11．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．線段的中點(diǎn)到x軸的距離為212．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么下列選項(xiàng)正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C． D．三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為.14．已知雙曲線的焦距為4，焦點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為1，則C的漸近線方程為15．鹽城沿海灘涂濕地現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)高等植物559種、動物1665種，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)其中某生物種群數(shù)量的增長規(guī)律可以用邏輯斯諦模型刻畫，其中是該種群的內(nèi)稟增長率，若，則時，的瞬時變化率為.16．等差數(shù)列中，，，等比數(shù)列中，，，則滿足的最小正整數(shù)是.四?解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）.(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值與最小值及相應(yīng)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.18．如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且.(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.19．各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求橢圓的方程；(2)對角線互相垂直的四邊形的四個頂點(diǎn)都在上，且兩條對角線均過的右焦點(diǎn)，求的最小值.21．已知函數(shù)，其最小值為．(1)求的值；(2)若關(guān)于的方程恰有一個實(shí)根，求實(shí)數(shù)的范圍．22．已知有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是不大于的正整數(shù).對于滿足的整數(shù)，令集合.記集合中元素的個數(shù)為（約定空集的元素個數(shù)為0）.(1)若，求及；(2)若，求證：互不相同；(3)已知，若對任意的正整數(shù)都有或，求的值.1．C【分析】根據(jù)向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.【詳解】,故選：C.2．A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得，從而可求解.【詳解】由題意得，所以.故A正確.故選：A.3．B【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)與求和公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.4．D【分析】運(yùn)用配方法，根據(jù)圓心坐標(biāo)求出a，再計(jì)算出半徑即可.【詳解】由題意，，圓心坐標(biāo)為，半徑為；故選：D.5．A【分析】根據(jù)離心率的計(jì)算公式求解即可.【詳解】橢圓的短軸長與長軸長的比值為，代入橢圓的離心率公式，故，，，計(jì)算，，，則，所以.故選：A.6．B【分析】根據(jù)題意，分別構(gòu)造函數(shù)與，利用導(dǎo)數(shù)求得其最值，即可比較大小.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，則，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，有極小值，即最小值，且，則，即，所以，即；構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，則，令，則，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，有極小值，即最小值，且，則，即，所以，即，所以.故選：B7．B【分析】根據(jù)直線的斜率求出，再利用余弦的二倍角公式、弦化切可得答案.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.8．D【分析】由極值點(diǎn)的定義結(jié)合函數(shù)與方程參變分離即可求解.【詳解】由題意有正根，即方程有正根，而當(dāng)時，，所以的取值范圍為.故選：D.9．BCD【分析】結(jié)合直線與平面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理可以判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A，若，，則或，選項(xiàng)A錯誤.對于選項(xiàng)B，若，，則，又有，則，選項(xiàng)B正確.對于選項(xiàng)C，若，，則，又有，則，選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D，若，，則，又有，由直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知存在使得，則，則.選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10．BC【分析】求各選項(xiàng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用所給定義判斷即可求解.【詳解】若，則，因?yàn)椋訟錯誤．若，則，當(dāng)時，恒成立，所以B正確．若，則，所以C正確．若，則在上不恒成立，所以D錯誤．故選：BC11．AC【分析】聯(lián)立方程組求得，且，結(jié)合選項(xiàng)，結(jié)合拋物線的定義和焦點(diǎn)弦，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)，則直線過拋物線的焦點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得到，顯然，設(shè)，可得，對于A中，由拋物線的定義，可得，所以A正確；對于B中，由，所以與不垂直，所以B錯誤；對于C中，由，可得，由拋物線定義，可得，則，所以C正確；對于D中，線段的中點(diǎn)的到軸的距離為，所以D錯誤.故選：AC.12．ABD【分析】根據(jù)題設(shè)的關(guān)系，可判斷是否為等比數(shù)列，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和得，再寫出通項(xiàng)，應(yīng)用裂項(xiàng)法求，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)知：，則且，即是等比數(shù)列；∴，且，又，∴.故選：ABD.13．【分析】由題可得,即可得答案．【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)榈男甭蕿椋瑒t，即，故．故答案為：.14．【分析】由雙曲線對稱性得一個焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，不妨設(shè)漸近線為，由點(diǎn)線距離及的關(guān)系可得方程組求解.【詳解】由雙曲線對稱性得，一個焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，不妨取漸近線為，即，焦點(diǎn)為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，由焦距為4得，故，故C的漸近線方程為.故答案為：.15．##【分析】求時的瞬時變化率，即求在處導(dǎo)數(shù)值，求導(dǎo)，代入計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時，，則，則時，的瞬時變化率為.故答案為：.16．6【分析】由求出公差，即可寫出的通項(xiàng)公式，再求出等比數(shù)列的公比及通項(xiàng)公式，代入不等式中化簡，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，，則，，所以，，，因?yàn)椋?，化簡得，解得，滿足條件的最小正整數(shù)的值為6.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的求解，涉及利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式，屬于基礎(chǔ)題.17．(1)當(dāng)時，有最小值為，當(dāng)時，有最大值；(2)當(dāng)時，在上遞增，當(dāng)時，在上遞減，在上遞增.【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最值；（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，有最小值為，因?yàn)?，所以?dāng)時，有最大值；（2）由，得，當(dāng)時，在上恒成立，所以在上遞增，當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，則由三角形的中位線定理可得∥，再由線面平行的判定定理得∥平面，由四邊形為矩形結(jié)合線面平行的判定定理得∥平面，則平面∥平面，從而可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，過點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，因?yàn)椋矫?，所以平面∥平面，因?yàn)槠矫?，所以∥平面；?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，過點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.19．（1）；（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，則可得通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和，可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楦黜?xiàng)均不相等，所以公差由等差數(shù)列通項(xiàng)公式且，所以，又成等比數(shù)列，所以，則，化簡得，所以即可得即（2）由（1）可得化簡可得由所以【點(diǎn)睛】本題主要考查利用裂項(xiàng)相消法求和，屬基礎(chǔ)題.20．(1)(2).【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓所過點(diǎn)，利用橢圓的定義可求方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，利用二次函數(shù)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以.所以橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線中有一條直線的斜率不存在時，.②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程，由，得，則，.設(shè)直線的方程為，同理得，所以，設(shè)，則，則，所以時，有最小值.綜上，的最小值是.21．(1)1(2)【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再求出最值求參即可；（2）先把函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題，構(gòu)造函數(shù)再結(jié)合單調(diào)性及值域求參即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)，則，可知單調(diào)遞增；當(dāng)，則，可知單調(diào)遞減；則最小值在處取到，可得，解得，所以的值為1.（2）因?yàn)?，所以，顯然不是方程的根，則.令，則，當(dāng)，則，可知在和上單調(diào)遞增；當(dāng)，則，可知在和上單調(diào)遞減；可知，，，，且，，若有1個不同實(shí)根，即使與有一個交點(diǎn)即可，可知或或，所以實(shí)數(shù)的范圍為.22．(1)，.(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）觀察數(shù)列，結(jié)合題意得到及；（2）先得到，故，再由得到，從而證明出結(jié)論；（3）由題意得或，令，得到或，當(dāng)時得到，當(dāng)時，考慮或兩種情況，求出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則；（2）依題意，則有，因此，又因?yàn)椋运曰ゲ幌嗤?（3）依題意由或，知或.令，可得或，對于成立，故或.①當(dāng)時，，所以.②當(dāng)時，或.當(dāng)時，由或，有，同理，所以.當(dāng)時，此時有，令，可得或，即或.令，可得或.令，可得.所以.若，則令，可得，與矛盾.所以有.不妨設(shè)，令，可得，因此.令，