蘇科版九年級數(shù)學(xué)暑假第03講用一元二次方程解決問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第03講用一元二次方程解決問題（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一．由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．二．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．三．配方法的應(yīng)用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．關(guān)鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．3、配方法的綜合應(yīng)用．四．高次方程（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程．（2）高次方程的解法思想：通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．對于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式（即通過各項系數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和乘方和開方運算無法求解），這稱為阿貝爾定理．換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．五．無理方程（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程．（3）解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗根．【考點剖析】一．由實際問題抽象出一元二次方程（共4小題）1．（真題?江城區(qū)期末）楊倩在東京奧運女子10米氣步槍決賽中奪得冠軍，為中國代表團攬入首枚金牌，隨后楊倩同款“小黃鴨”發(fā)卡在電商平臺上爆單，該款發(fā)卡在某電商平臺上7月24日的銷量為5000個，7月25日和7月26日的總銷量是30000個．若7月25日和26日較前一天的增長率均為x．則可列方程正確的是（）A．5000（1+x）2＝30000 B．5000（1﹣x）2＝30000 C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝300002．（真題?鎮(zhèn)江期末）一種藥品經(jīng)過2次降價，藥價從每盒80元下調(diào)至51.2元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則可列方程為80（1﹣x）2＝51.2．類似的，一種藥品經(jīng)過n次降價，藥價從每盒a元下調(diào)至b元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則可列方程為．3．（真題?鄞州區(qū)校級期末）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為．4．（2019春?阜陽期中）南京某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利2240元，且銷售盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價為多少元？（1）解：方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元，由題意，得方程為；方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降低后定價為x元，由題意得方程為：．（2）請你選擇一種方法，寫出完整的解答過程．二．一元二次方程的應(yīng)用（共4小題）5．（2022?泗洪縣一模）某工廠兩年內(nèi)產(chǎn)值翻了一番，則該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率等于．（結(jié)果精確到0.1%，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732．）6．（真題?淮安區(qū)期末）用一段長為30m的籬笆圍成一個靠墻的矩形菜園，墻的長度為18m．（1）設(shè)垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為m（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若菜園的面積為100m2，求x的值．7．（2022春?定遠縣期中）我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請回答：（1）每千克茶葉應(yīng)降價多少元？（2）在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？8．（2022春?拱墅區(qū)月考）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和雪容融在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進一批冰墩墩和雪容融，已知一個冰墩墩的進價比一個雪容融的進價多40元，購買20個冰墩墩和30個雪容融的價格相同．（1）今年2月第一周每個冰墩墩和雪容融的進價分別是多少元？（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以100元每個售出雪容融140個，150元每個售出冰墩墩120個．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價格，每個雪容融的售價在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，每個冰墩墩的價格不變，由于冬奧賽事的火熱進行，第二周雪容融的銷量比第一周增加了m個，而冰墩墩的銷量比第一周增加了0.2m個，最終商家獲利5160元，求m．三．配方法的應(yīng)用（共4小題）9．（真題?江寧區(qū)期中）填空：x2﹣2x+＝（x﹣）2．10．（真題?太倉市期中）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x+1，B＝4x2+3x+7，則AB（填＞，＜或＝）．11．（真題?沭陽縣校級月考）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱為配方法，利用配方法請解以下各題：（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝＝．﹣a2+12a＝＝．（2）探究：當(dāng)a取不同的實數(shù)時在得到的代數(shù)式a2﹣4a的值中是否存在最小值？請說明理由．（3）應(yīng)用：如圖．已知線段AB＝6，M是AB上的一個動點，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN．問：當(dāng)點M在AB上運動時，長方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；否則請說明理由．12．（2020春?濱湖區(qū)期中）閱讀理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．方法應(yīng)用：（1）a2+4a+b2+4＝0，則a＝，b＝；（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．四．高次方程（共4小題）13．（2019秋?泗陽縣期末）方程（x﹣1）（3x2+1）＝0的實數(shù)根為．14．（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3+1的值為（）A．1 B．1 C．3 D．315．（2019秋?泗陽縣期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四個根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．（2）解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0（3）已知非零實數(shù)a，b滿足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．16．（2019春?太倉市期末）閱讀下面的材料：解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常采用換元法降次：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y1＝1時，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y2＝4時，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．仿照上述換元法解下列方程：（1）x4+3x2﹣4＝0（2）．五．無理方程（共4小題）17．（2020春?崇川區(qū)校級月考）若關(guān)于x的方程﹣2x+m4020＝0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為．18．（真題?江都區(qū)期末）閱讀材料，并回答問題：小亮在學(xué)習(xí)分式過程中，發(fā)現(xiàn)可以運用“類比”的方法，達成事半功倍的學(xué)習(xí)效果，比如學(xué)習(xí)異分母分式加減可以類比異分母分數(shù)的加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式加減進行運算，解分式方程可以類比有分母的一元一次方程，先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解；比較分式的大小，可以類比整式比較大小運用的“比差法”……問題：（1）材料中分式“通分”的依據(jù)是；“將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程”的“去分母”的依據(jù)是；（2）類比解分式方程的思想方法，解方程：；（3）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：甲乙兩組人各自平分線，已知兩組人數(shù)相同，相關(guān)信息如表：組別人數(shù)（人）總金額（元）甲b2乙2b﹣5試比較甲乙兩組哪組人均分的錢多？19．（真題?溧陽市期中）閱讀與理解：閱讀材料：像x3這樣，根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程，我們稱之為無理方程．解法如下：移項：3﹣x；兩邊平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．解這個一元二次方程：x1＝2，x2＝5．檢驗所得到的兩個根，只有是原無理方程的根．理解應(yīng)用：解無理方程x2．20．（真題?松山區(qū)期中）閱讀理解：轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想之一．在研究新問題或復(fù)雜問題時，常常把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或比較簡單的問題來解決．如解一元二次方程是轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解決的；解分式方程是轉(zhuǎn)化為整式方程來解決的．由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．利用轉(zhuǎn)化思想，我們還可以解一些新的方程，如無理方程（根號下含有未知數(shù)的方程）．解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，可以將方程適當(dāng)變形后兩邊同時平方，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．由于“去根號”可能產(chǎn)生增根，所以解無理方程也必須檢驗．例如：解方程2x．解：兩邊平方得：x2+12＝4x2．解得：x1＝2，x2＝﹣2經(jīng)檢驗，x1＝2是原方程的根，x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根．∴原方程的根是x＝2．解決問題：（1）填空：已知關(guān)于x的方程x有一個根是x＝1，那么a的值為；（2）求滿足x的x的值；（3）代數(shù)式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2022春?姜堰區(qū)期中）若代數(shù)式x2﹣4x+a可化為（x﹣b）2﹣1，則a+b是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（真題?常州期末）為保護人民群眾生命安全，減少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：某品牌頭盔從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，若5月份銷售200個，7月份銷售288個，設(shè)月增長率為x則可列出方程（）A．200（1+x）＝288 B．200（1+2x）＝288 C．200（1+x）2＝288 D．200（1+x2）＝2883．（2022?青羊區(qū)模擬）某快遞公司今年一月份完成投遞的快遞總件數(shù)為10萬件，二月份、三月份每月投遞的件數(shù)逐月增加，第一季度總投遞件數(shù)為33.1萬件，問：二、三月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意得方程（）A．10（1+x）2＝33.1 B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1 C．10+10（1+x）2＝33.1 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.14．（真題?通遼期末）為增強學(xué)生體質(zhì)，豐富學(xué)生的課外生活，為同學(xué)們搭建一個互相交流的平臺，學(xué)校要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)（參賽的每兩隊間比賽一場），根據(jù)場地和時間等條件，學(xué)校計劃安排15場比賽．設(shè)學(xué)校應(yīng)邀請x個隊參賽，根據(jù)題意列方程為（）A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝155．（2022?常州模擬）香水梨在甘肅白銀境內(nèi)種植歷史悠久，明代就有記載．某水果店以每千克10元的進價進了批香水梨，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價為每千克20元時，每天可銷售40千克，售價每上漲1元，每天的銷量將減少3千克．如果該水果店想平均每天獲利408元，設(shè)這種香水梨的售價上漲了x元，根據(jù)題意可列方程為（）A．（20+x）（40﹣3x）＝408 B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408 C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408 D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝4086．（2022?吳中區(qū)模擬）在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽21場，設(shè)共有x個隊參賽，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21 C． D．二．填空題（共8小題）7．（2017春?雨城區(qū)校級月考）若m2+n2﹣6n+4m+13＝0，m2﹣n2＝．8．（2022春?廣陵區(qū)校級月考）若實數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x+y2＝0，則x2+y2+2x的最大值是．9．（2022春?大豐區(qū)校級月考）一個容器盛滿純藥液45升，第一次倒出一部分純藥液后，用水加滿；第二次又倒出同樣多的藥液，若此時容器內(nèi)剩下的純藥液是20升，則每次倒出的液體是升．10．（2022?南通模擬）“新冠肺炎”防治取得戰(zhàn)略性成果．若有一個人患了“新冠肺炎”，經(jīng)過兩輪傳染后共有25個人患了“新冠肺炎”，則每輪傳染中平均一個人傳染了人．11．（真題?盱眙縣期末）要利用一面很長的圍墻和100米長的隔離欄建三個如圖所示的矩形羊圈，若計劃建成的三個羊圈總面積為400平方米，則羊圈的邊長AB為多少米？設(shè)AB＝x米，根據(jù)題意可列出方程的為．12．（真題?金湖縣期末）勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到507千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為．13．（2022春?泰興市校級月考）新冠肺炎是一種傳染性極強的疾病，如果有一人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有100人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則由題意列出方程．14．（真題?鼓樓區(qū)校級期末）某藥品經(jīng)過兩次降價．每瓶零售價由100元降為81元．已知兩次降價的百分率相同．設(shè)平均每次降價的百分率是x，可列方程為．三．解答題（共9小題）15．（真題?無錫期末）某讀書興趣小組計劃去書店購買一批定價為50元/本的書籍，書店表示有兩種優(yōu)惠方案方案一：若購買數(shù)量不超過10本，每本按定價出售；若超過10本，每增加1本，所有書籍的售價可比定價降2元，但售價不低于35元/本．方案二：前5本按定價出售，超過5本以上的部分可以打折．（1）該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式支付了600元，請你求出購買書籍的數(shù)量；（2）如果該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買（1）中的數(shù)量，請問書店折扣至少低于幾折才能使得實付金額少于600元？16．（2022春?蘇州月考）利用我們學(xué)過的完全平方公式與不等式知識能解決方程或代數(shù)式的一些問題，閱讀下列兩則材料：材料一：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴m＝n＝4．材料二：探索代數(shù)式x2+4x+2與﹣x2+2x+3是否存在最大值或最小值？①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．∴代數(shù)式x2+4x+2有最小值﹣2；②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．∴代數(shù)式﹣x2+2x+3有最大值4．學(xué)習(xí)方法并完成下列問題：（1）代數(shù)式x2﹣6x+3的最小值為；（2）如圖，在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木柵欄圍成一個長方形花圃，為了設(shè)計一個盡可能大的花圃，設(shè)長方形垂直于圍墻的一邊長度為x米，則花圃的最大面積是多少？（3）已知△ABC的三條邊的長度分別為a，b，c，且a2+b2+74＝10a+14b，且c為正整數(shù)，求△ABC周長的最小值．17．（真題?亭湖區(qū)期末）隨著疫情在國內(nèi)趨穩(wěn)，卻在國外迎來爆發(fā)期，多國采購中國防疫物資需求大增．某工廠建了1條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)300萬個，第三天生產(chǎn)432萬個，若每天生產(chǎn)口罩的個數(shù)增長的百分率相同，請解答下列問題：（1）每天增長的百分率是多少？（2）經(jīng)過一段時間后，工廠發(fā)現(xiàn)1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900萬個/天，但如果每增加1條生產(chǎn)線，由于資源調(diào)配等原因每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30萬個/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩3900萬個，應(yīng)該建幾條生產(chǎn)線？18．（真題?姜堰區(qū)期末）學(xué)校打算用21米的籬笆圍成兩間長方形兔舍飼養(yǎng)小兔，兔舍的一面靠墻（如圖，墻足夠長）．（1）如果AB邊長為x米，求BC邊長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若兩間兔舍的總面積是30平方米，求AB的長．19．（2022春?江都區(qū)月考）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)統(tǒng)計，該店2021年10月的銷量為3萬件，2021年12月的銷量為3.63萬件．（1）求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；（2）假設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率保持不變，則2022年1月“冰墩墩”的銷量有沒有超過4萬件？請利用計算說明．20．（2022春?安慶期中）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)調(diào)查“冰墩墩”每盒進價8元，售價12元．（1）商店老板計劃首月銷售330盒，經(jīng)過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“冰墩墩”售價每增長1元，月銷量就將減少20盒．若老板希望“冰墩墩”月銷量不低于270盒，則每盒售價最高為多少元？（2）實際銷售時，售價比（1）中的最高售價減少了2a元，月銷量比（1）中最低銷量270盒增加了60a盒，于是月銷售利潤達到了1650元，求a的值．21．（真題?鎮(zhèn)江期末）【閱讀】小明同學(xué)遇到這樣一個問題：已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“換元法”解決了這個問題．我們一起來看看小明同學(xué)的具體做法．解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，則方程可變形為a（y+m）2+b＝0，根據(jù)關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．【理解】已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根m，n．（1）關(guān)于x的方程ax+bc＝0（a≠0）的兩根分別是（用含有m、n的代數(shù)式表示）；（2）方程的兩個根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個即可）【猜想與證明】觀察下表中每個方程的解的特點：方程方程的解方程方程的解x2+4x+3＝0x1＝﹣3，x2＝﹣13x2+4x+1＝0x112x2﹣7x+3＝0x133x2﹣7x+2＝0x1＝2，x2x2﹣2x﹣8＝0x1＝4，x2＝﹣28x2+2x﹣1＝0x1，x2…………（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的兩個根與方程的兩個根互為倒數(shù)；（2）仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想．22．（真題?儀征市期末）用一面足夠長的墻為一邊，其余各邊用總長42米的圍欄建成如圖所示的生態(tài)園，中間用圍欄隔開．由于場地限制，垂直于墻的一邊長不超過7米．（圍欄寬忽略不計）（1）若生態(tài)園的面積為144平方米，求生態(tài)園垂直于墻的邊長；（2）生態(tài)園的面積能否達到150平方米？請說明理由．23．（真題?泗陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A出發(fā)沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，同時動點Q從點B出發(fā)沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，當(dāng)P運動到B點時P、Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代數(shù)式表示）（2）D是AC的中點，連接PD、QD，t為何值時△PDQ的面積為40cm2？第03講用一元二次方程解決問題（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一．由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．二．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．三．配方法的應(yīng)用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．關(guān)鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．3、配方法的綜合應(yīng)用．四．高次方程（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程．（2）高次方程的解法思想：通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．對于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式（即通過各項系數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和乘方和開方運算無法求解），這稱為阿貝爾定理．換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．五．無理方程（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程．（3）解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗根．【考點剖析】一．由實際問題抽象出一元二次方程（共4小題）1．（真題?江城區(qū)期末）楊倩在東京奧運女子10米氣步槍決賽中奪得冠軍，為中國代表團攬入首枚金牌，隨后楊倩同款“小黃鴨”發(fā)卡在電商平臺上爆單，該款發(fā)卡在某電商平臺上7月24日的銷量為5000個，7月25日和7月26日的總銷量是30000個．若7月25日和26日較前一天的增長率均為x．則可列方程正確的是（）A．5000（1+x）2＝30000 B．5000（1﹣x）2＝30000 C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000【分析】直接利用已知分別表示出7月25日和7月26日的銷量，進而得出等式求出答案．【解答】解：若7月25日和26日較前一天的增長率均為x．則可列方程為：5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000．故選：D．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出銷量是解題關(guān)鍵．2．（真題?鎮(zhèn)江期末）一種藥品經(jīng)過2次降價，藥價從每盒80元下調(diào)至51.2元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則可列方程為80（1﹣x）2＝51.2．類似的，一種藥品經(jīng)過n次降價，藥價從每盒a元下調(diào)至b元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則可列方程為a（1﹣x）n＝b．【分析】利用經(jīng)過n次降價后的價格＝原價×（1﹣平均每次降價的百分率）n，即可得出關(guān)于x的一元n次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：a（1﹣x）n＝b．故答案為：a（1﹣x）n＝b．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元高次方程是解題的關(guān)鍵．3．（真題?鄞州區(qū)校級期末）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．【分析】設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則紙盒的底面為長（40﹣2x）cm，寬為（30﹣2x）cm的長方形，根據(jù)紙盒的底面積為600cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則紙盒的底面為長（40﹣2x）cm，寬為（30﹣2x）cm的長方形，依題意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．故答案為：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2019春?阜陽期中）南京某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利2240元，且銷售盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價為多少元？（1）解：方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元，由題意，得方程為（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240；方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降低后定價為x元，由題意得方程為：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240．（2）請你選擇一種方法，寫出完整的解答過程．【分析】（1）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元，利用銷售量×每件利潤＝2240元列出方程求解即可；方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價后定價為y元，利用銷售量×每件利潤＝2240元列出方程求解即可．（2）利用（1）中所列方程求出答案．【解答】解：（1）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元．根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價后定價為x元，由題意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，故答案為：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；（2）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元．根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，解得x1＝4，x2＝6．要讓顧客盡可能得到實惠，只能取x＝6，60﹣6＝54元，答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價54元．方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價后定價為x元，由題意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240解得x1＝54，x2＝56．要讓顧客盡可能得到實惠，只能取x＝54，答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價54元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程．二．一元二次方程的應(yīng)用（共4小題）5．（2022?泗洪縣一模）某工廠兩年內(nèi)產(chǎn)值翻了一番，則該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率等于41.4%．（結(jié)果精確到0.1%，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732．）【分析】設(shè)該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率為x，利用兩年后的產(chǎn)值＝原產(chǎn)值×（1+年平均增長的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率為x，依題意得：（1+x）2＝2，解得：x11≈0.414＝41.4%，x21≈﹣2.414（不合題意，舍去），∴該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率約為41.4%．故答案為：41.4%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及近似數(shù)和有效數(shù)字，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（真題?淮安區(qū)期末）用一段長為30m的籬笆圍成一個靠墻的矩形菜園，墻的長度為18m．（1）設(shè)垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為30﹣2xm（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若菜園的面積為100m2，求x的值．【分析】（1）根據(jù)圖形直接可得答案；（2）由矩形面積公式列方程即可解得答案．【解答】解：（1）由圖可得：平行于墻的一邊長為（30﹣2x）m，故答案為：30﹣2x；（2）根據(jù)題意得：x?（30﹣2x）＝100，∴x2﹣15x+50＝0，解得x＝5或x＝10，當(dāng)x＝5時，30﹣2x＝20＞18，∴x＝5不合題意，舍去，∴x＝10，答：x的值為10m．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合列方程．7．（2022春?定遠縣期中）我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請回答：（1）每千克茶葉應(yīng)降價多少元？（2）在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？【分析】（1）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價x元，則平均每周可售出（200）千克，根據(jù)總利潤＝每千克的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）可得出x＝80，再由現(xiàn)售價及原價可求出打的折扣數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價x元，則平均每周可售出（200）千克，依題意，得：（400﹣240﹣x）（200）＝41600，整理，得：x2﹣110x+2400＝0，解得：x1＝30，x2＝80．答：每千克茶葉應(yīng)降價30元或80元．（2）∵為盡可能讓利于顧客，∴x＝80，∴10＝8．答：該店應(yīng)按原售價的八折出售．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?拱墅區(qū)月考）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和雪容融在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進一批冰墩墩和雪容融，已知一個冰墩墩的進價比一個雪容融的進價多40元，購買20個冰墩墩和30個雪容融的價格相同．（1）今年2月第一周每個冰墩墩和雪容融的進價分別是多少元？（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以100元每個售出雪容融140個，150元每個售出冰墩墩120個．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價格，每個雪容融的售價在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，每個冰墩墩的價格不變，由于冬奧賽事的火熱進行，第二周雪容融的銷量比第一周增加了m個，而冰墩墩的銷量比第一周增加了0.2m個，最終商家獲利5160元，求m．【分析】（1）設(shè)今年2月第一周每個冰墩墩的進價為x元，每個雪容融的進價為y元，根據(jù)“一個冰墩墩的進價比一個雪容融的進價多40元，購買20個冰墩墩和30個雪容融的價格相同”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出今年2月第一周每個冰墩墩和雪容融的進價；（2）利用總利潤＝每個的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)今年2月第一周每個冰墩墩的進價為x元，每個雪容融的進價為y元，依題意得：，解得：．答：今年2月第一周每個冰墩墩的進價為120元，每個雪容融的進價為80元．（2）依題意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，整理得：m2+114m﹣1240＝0，解得：m1＝10，m2＝﹣124（不合題意，舍去）．答：m的值為10．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．三．配方法的應(yīng)用（共4小題）9．（真題?江寧區(qū)期中）填空：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．【分析】根據(jù)公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方即可．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；故答案為：1，1．【點評】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，掌握公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，配方的關(guān)鍵是二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．10．（真題?太倉市期中）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x+1，B＝4x2+3x+7，則A＜B（填＞，＜或＝）．【分析】將兩式相減，再配方即可作出判斷．【解答】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2＜0，∴A﹣B＜0，∴A＜B，故答案為：＜．【點評】本題考查了配方法的綜合應(yīng)用，配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．11．（真題?沭陽縣校級月考）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱為配方法，利用配方法請解以下各題：（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4．﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36．（2）探究：當(dāng)a取不同的實數(shù)時在得到的代數(shù)式a2﹣4a的值中是否存在最小值？請說明理由．（3）應(yīng)用：如圖．已知線段AB＝6，M是AB上的一個動點，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN．問：當(dāng)點M在AB上運動時，長方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；否則請說明理由．【分析】（1）原式配方即可得到結(jié)果；（2）利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出結(jié)果即可；（3）根據(jù)題意列出S與x的關(guān)系式，配方后利用非負數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36；故答案為：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36；（2）存在，理由為：∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，∴當(dāng)a＝2時，代數(shù)式a2﹣4a存在最小值為﹣4；（3）根據(jù)題意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，則x＝3時，S最大值為9．【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．12．（2020春?濱湖區(qū)期中）閱讀理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．方法應(yīng)用：（1）a2+4a+b2+4＝0，則a＝﹣2，b＝0；（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式把原式的左邊變形，根據(jù)偶次方的非負性求出a、b；（2）用x表示y，把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性、負整數(shù)指數(shù)冪的概念解答即可．【解答】解：（1）∵a2+4a+b2+4＝0，∴a2+4a+4+b2＝0，∴（a+2）2+b2＝0，∴（a+2）2＝0，b2＝0，∴a＝﹣2，b＝0，故答案為：﹣2；0；（2）∵x+y＝8，∴y＝8﹣x，原式變形為x（8﹣x）﹣z2﹣4z＝20，整理得，8x﹣x2﹣z2﹣4z＝20，∴x2﹣8x+16+z2+4z+4＝0，∴（x﹣4）2+（z+2）2＝0，∴（x﹣4）2＝0，（z+2）2＝0，∴x＝4，z＝﹣2，∴y＝8﹣x＝4，∴（x+y）z．【點評】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題的關(guān)鍵．四．高次方程（共4小題）13．（2019秋?泗陽縣期末）方程（x﹣1）（3x2+1）＝0的實數(shù)根為x＝1．【分析】由已知可得x﹣1＝0或3x2+1＝0即可求解．【解答】解：∵（x﹣1）（3x2+1）＝0，∴x﹣1＝0或3x2+1＝0，∴x＝1，故答案為x＝1．【點評】本題考查高次方程的解；熟練掌握方程的求解方法是解題的關(guān)鍵．14．（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3+1的值為（）A．1 B．1 C．3 D．3【分析】利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，用一元二次方程求根公式得x，且x＞0，所以x取，代入即可求得．【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x，且x2＝x+1，∴x3+1＝x?x2+1＝x（x+1）+1＝x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，∵x＞0，∴，故選：D．【點評】本題考查了整體降次的思想方法，但降次后得到的是x的代數(shù)式，還要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化簡后的2x+2中計算出結(jié)果．15．（2019秋?泗陽縣期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四個根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法法達到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．（2）解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0（3）已知非零實數(shù)a，b滿足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．【分析】（1）解方程的方法是通過換元達到了降次的目的；（2）設(shè)x2+x＝y(tǒng)，原方程可變?yōu)閥2﹣4y﹣12＝0，利用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝6．然后分別解方程x2+x＝﹣2和方程x2+x＝6即可；（3）把等式看作關(guān)于a的一元二次方程，利用因式分解法解方程得到a＝4b或a＝﹣3b，從而可得到的值．【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法法達到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想；故答案為換元法；降次；（2）設(shè)x2+x＝y(tǒng)，原方程可變?yōu)閥2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．當(dāng)y＝﹣2時，x2+x＝﹣2，方程沒有實數(shù)解；當(dāng)y＝6時，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；原方程有兩個根：x1＝2，x2＝﹣3；（3）（a﹣4b）（a+3b）＝0，a﹣4b＝0或a+3b＝0，所以a＝4b或a＝﹣3b，當(dāng)a＝4b時，4；當(dāng)a＝﹣3b時，3．即的值為4或﹣3．【點評】本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒ǎ迅叽畏匠袒癁榇螖?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．16．（2019春?太倉市期末）閱讀下面的材料：解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常采用換元法降次：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y1＝1時，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y2＝4時，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．仿照上述換元法解下列方程：（1）x4+3x2﹣4＝0（2）．【分析】（1）由x4+3x2﹣4＝0知（x2+4）（x2﹣1）＝0，據(jù)此得出x2的值，再進一步求解可得；（2）令y，知y1＝0，即y2+y﹣6＝0，解之求得y的值，再進一步求解可得．【解答】解：（1）∵x4+3x2﹣4＝0，∴（x2+4）（x2﹣1）＝0，則x2+4＝0或x2﹣1＝0，解得x2＝﹣4＜0（舍去），x2＝1，解得x＝1或x＝﹣1；（2）令y，則方程為y1＝0，即y2+y﹣6＝0，則（y+3）（y﹣2）＝0，∴y+3＝0或y﹣2＝0，解得y＝﹣3或y＝2，當(dāng)y＝﹣3時，3，解得x；當(dāng)y＝2時，2，解得x＝1；經(jīng)檢驗x和x＝1均是方程的解．【點評】本題主要考查解高次方程，通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．五．無理方程（共4小題）17．（2020春?崇川區(qū)校級月考）若關(guān)于x的方程﹣2x+m4020＝0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為18．【分析】將原方程變形為m2x﹣4020，由m為正整數(shù)、被開方數(shù)非負，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再將是正整數(shù)的m的值相加即可得出結(jié)論．【解答】解：原題可得：m2x﹣4020，∵m為正整數(shù)，∴m0，∴2x﹣4020≥0，∴x≥2010．∵2018﹣x≥0，∴x≤2018，∴2010≤x≤2018．當(dāng)x＝2010時，2m＝0，m＝0，不符合題意；當(dāng)x＝2011時，m＝2，m，不符合題意；當(dāng)x＝2012時，m＝4，m，不符合題意；當(dāng)x＝2013時，m＝6，m，不符合題意；當(dāng)x＝2014時，2m＝8，m＝4；當(dāng)x＝2015時，m＝10，m，不符合題意；當(dāng)x＝2016時，m＝12，m＝6，不符合題意；當(dāng)x＝2017時，m＝14；當(dāng)x＝2018時，0＝16，不成立．∴正整數(shù)m的所有取值的和為4+14＝18．故答案為：18．【點評】本題考查了無理方程，由被開方數(shù)非負及m為正整數(shù)，找出x的取值范圍是解題的關(guān)鍵．18．（真題?江都區(qū)期末）閱讀材料，并回答問題：小亮在學(xué)習(xí)分式過程中，發(fā)現(xiàn)可以運用“類比”的方法，達成事半功倍的學(xué)習(xí)效果，比如學(xué)習(xí)異分母分式加減可以類比異分母分數(shù)的加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式加減進行運算，解分式方程可以類比有分母的一元一次方程，先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解；比較分式的大小，可以類比整式比較大小運用的“比差法”……問題：（1）材料中分式“通分”的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；“將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程”的“去分母”的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；（2）類比解分式方程的思想方法，解方程：；（3）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：甲乙兩組人各自平分線，已知兩組人數(shù)相同，相關(guān)信息如表：組別人數(shù)（人）總金額（元）甲b2乙2b﹣5試比較甲乙兩組哪組人均分的錢多？【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)即可求解；（2）由方程可得1﹣2x＝9，解出x即可；（3）根據(jù)題意，只需比較總錢數(shù)的多少即可，用作差法比較大小即可求解．【解答】解：（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子、分母都乘同一個不為0的整式，分式的值不變，等式的基本性質(zhì)：等式的兩邊都乘同一個數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式，故答案為：分式的基本性質(zhì)，等式的基本性質(zhì)；（2）∵∴1﹣2x＝9，∴x＝﹣4，經(jīng)檢驗，x＝﹣4是原方程的解；（3）∵兩組人數(shù)相同，∴每組人均的錢數(shù)與總錢數(shù)相關(guān)，b2﹣（2b﹣5）＝b2﹣2b+5＝（b﹣1）2+4＞0，∴b2＞2b﹣5，∴甲組人均多．【點評】本題考查分式的基本性質(zhì)，二次根式的運算，實數(shù)的大小比較，理解題意，能將所給信息與所學(xué)知識相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．19．（真題?溧陽市期中）閱讀與理解：閱讀材料：像x3這樣，根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程，我們稱之為無理方程．解法如下：移項：3﹣x；兩邊平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．解這個一元二次方程：x1＝2，x2＝5．檢驗所得到的兩個根，只有x＝2是原無理方程的根．理解應(yīng)用：解無理方程x2．【分析】閱讀材料：通過檢驗可確定原方程的解為x＝2；理解應(yīng)用：先移項得到x﹣2；再兩邊平方：x2﹣4x+4（x+1），然后解這個一元二次方程，然后進行檢驗確定原無理方程的根．【解答】解：閱讀材料：經(jīng)檢驗x＝2是原方程的解；故答案為x＝2；理解應(yīng)用：移項：x﹣2；兩邊平方：x2﹣4x+4（x+1），解這個一元二次方程：x1，x2＝3，經(jīng)檢驗原無理方程的根為x＝3．【點評】本題考查了無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗根．20．（真題?松山區(qū)期中）閱讀理解：轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想之一．在研究新問題或復(fù)雜問題時，常常把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或比較簡單的問題來解決．如解一元二次方程是轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解決的；解分式方程是轉(zhuǎn)化為整式方程來解決的．由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．利用轉(zhuǎn)化思想，我們還可以解一些新的方程，如無理方程（根號下含有未知數(shù)的方程）．解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，可以將方程適當(dāng)變形后兩邊同時平方，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．由于“去根號”可能產(chǎn)生增根，所以解無理方程也必須檢驗．例如：解方程2x．解：兩邊平方得：x2+12＝4x2．解得：x1＝2，x2＝﹣2經(jīng)檢驗，x1＝2是原方程的根，x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根．∴原方程的根是x＝2．解決問題：（1）填空：已知關(guān)于x的方程x有一個根是x＝1，那么a的值為2；（2）求滿足x的x的值；（3）代數(shù)式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．【分析】（1）把x＝1代入方程x得1，然后解關(guān)于a的無理方程即可；（2）利用乘方把無理方程轉(zhuǎn)化為得x+6＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣2，然后進行檢驗確定原方程的根；（3）通過解方程8得到此方程無解可判斷代數(shù)式的值不能等于8．【解答】解：（1）把x＝1代入方程x得1，兩邊平方得3﹣a＝1，解得a＝2，經(jīng)檢驗a＝1是方程1的解；所以a的值為2；故答案為2；（2）x，方程兩邊平方得x+6＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣2，經(jīng)檢驗，x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1＝3是原方程的根，∴原方程的根是x＝3；（3）代數(shù)式的值不能等于8．理由如下：8，移項得8，兩邊平方得（8﹣x）2+9＝64﹣16x2+9，整理得x，兩邊平方得x2+9＝x2，所以方程無解，所以，代數(shù)式的值不能等于8．【點評】本題考查了無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗根．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2022春?姜堰區(qū)期中）若代數(shù)式x2﹣4x+a可化為（x﹣b）2﹣1，則a+b是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】將x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1化簡求出a，b的值，代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1，∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1，∴2b＝4，a＝b2﹣1，∴b＝2，a＝22﹣1＝3，∴a+b＝3+2＝5．故選：A．【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關(guān)鍵．2．（真題?常州期末）為保護人民群眾生命安全，減少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：某品牌頭盔從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，若5月份銷售200個，7月份銷售288個，設(shè)月增長率為x則可列出方程（）A．200（1+x）＝288 B．200（1+2x）＝288 C．200（1+x）2＝288 D．200（1+x2）＝288【分析】根據(jù)從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，根據(jù)5月份銷售200個，7月份銷售288個，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)月增長率為x，根據(jù)題意得，200（1+x）2＝288，故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022?青羊區(qū)模擬）某快遞公司今年一月份完成投遞的快遞總件數(shù)為10萬件，二月份、三月份每月投遞的件數(shù)逐月增加，第一季度總投遞件數(shù)為33.1萬件，問：二、三月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意得方程（）A．10（1+x）2＝33.1 B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1 C．10+10（1+x）2＝33.1 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1【分析】根據(jù)該快遞公司今年一月份及第一季度完成投遞的快遞總件數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（真題?通遼期末）為增強學(xué)生體質(zhì)，豐富學(xué)生的課外生活，為同學(xué)們搭建一個互相交流的平臺，學(xué)校要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)（參賽的每兩隊間比賽一場），根據(jù)場地和時間等條件，學(xué)校計劃安排15場比賽．設(shè)學(xué)校應(yīng)邀請x個隊參賽，根據(jù)題意列方程為（）A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15【分析】利用安排比賽的場次數(shù)＝邀請參賽的隊伍數(shù)×（邀請參賽的隊伍數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：x（x﹣1）＝15．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022?常州模擬）香水梨在甘肅白銀境內(nèi)種植歷史悠久，明代就有記載．某水果店以每千克10元的進價進了批香水梨，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價為每千克20元時，每天可銷售40千克，售價每上漲1元，每天的銷量將減少3千克．如果該水果店想平均每天獲利408元，設(shè)這種香水梨的售價上漲了x元，根據(jù)題意可列方程為（）A．（20+x）（40﹣3x）＝408 B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408 C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408 D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408【分析】設(shè)這種香水梨的售價上漲了x元，則每千克的銷售利潤為（20+x﹣10）元，每天可銷售（40﹣3x）千克，利用每天的銷售利潤＝每千克的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)這種香水梨的售價上漲了x元，則每千克的銷售利潤為（20+x﹣10）元，每天可銷售（40﹣3x）千克，依題意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022?吳中區(qū)模擬）在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽21場，設(shè)共有x個隊參賽，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x（x+1）＝21 B．x（x﹣1）＝21 C． D．【分析】根據(jù)參賽的每兩個隊之間都要比賽一場且共比賽21場，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：x（x﹣1）＝21，故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）7．（2017春?雨城區(qū)校級月考）若m2+n2﹣6n+4m+13＝0，m2﹣n2＝﹣5．【分析】已知等式常數(shù)項13變形為9+4，結(jié)合后利用完全平方公式變形，根據(jù)兩非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)分別為0求出m與n的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵m2+n2﹣6n+4m+13＝（m2+4m+4）+（n2﹣6n+9）＝（m+2）2+（n﹣3）2＝0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，即m＝﹣2，n＝3，則m2﹣n2＝4﹣9＝﹣5．故答案為：﹣5【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．8．（2022春?廣陵區(qū)校級月考）若實數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x+y2＝0，則x2+y2+2x的最大值是15．【分析】先將條件變形，得y2＝﹣2x2+6x，再將x2+y2+2x配方成﹣（x﹣4）2+16，根據(jù)y2＝﹣2x2+6x≥0，求出x的取值范圍，即可求出最大值．【解答】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，∵（x﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，當(dāng)x＝3時，x2+y2+2x取得最大值為15，故答案為：15．【點評】本題考查了配方法，熟練掌握配方法以及完全平方式的非負性是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022春?大豐區(qū)校級月考）一個容器盛滿純藥液45升，第一次倒出一部分純藥液后，用水加滿；第二次又倒出同樣多的藥液，若此時容器內(nèi)剩下的純藥液是20升，則每次倒出的液體是15升．【分析】設(shè)每次倒出的液體是x升，則第一次倒出再加滿水后藥液的濃度為100%，根據(jù)第二次又倒出同樣多的藥液后容器內(nèi)剩下的純藥液是20升，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每次倒出的液體是x升，則第一次倒出再加滿水后藥液的濃度為100%，依題意得：（45﹣x）?100%＝20，解得：x1＝15，x2＝75（不合題意，舍去）．∴每次倒出的液體是15升．故答案為：15．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2022?南通模擬）“新冠肺炎”防治取得戰(zhàn)略性成果．若有一個人患了“新冠肺炎”，經(jīng)過兩輪傳染后共有25個人患了“新冠肺炎”，則每輪傳染中平均一個人傳染了4人．【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，根據(jù)一人患病經(jīng)過兩輪傳染后共有25個人患了“新冠肺炎”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，依題意得：1+x+x（1+x）＝25，解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合題意，舍去），∴每輪傳染中平均一個人傳染了4人．故答案為：4．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（真題?盱眙縣期末）要利用一面很長的圍墻和100米長的隔離欄建三個如圖所示的矩形羊圈，若計劃建成的三個羊圈總面積為400平方米，則羊圈的邊長AB為多少米？設(shè)AB＝x米，根據(jù)題意可列出方程的為（100﹣4x）x＝400．【分析】設(shè)AB的長度為x，則BC的長度為（100﹣4x）米，然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程．【解答】解：設(shè)AB的長度為x，則BC的長度為（100﹣4x）米．根據(jù)題意得（100﹣4x）x＝400，故答案為：（100﹣4x）x＝400．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．12．（真題?金湖縣期末）勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到507千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為300（1+x）2＝507．【分析】根據(jù)兩年內(nèi)從300千克增加到507千克，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：平均每年增產(chǎn)的百分率為x，根據(jù)題意得，300（1+x）2＝507，故答案為：300（1+x）2＝507．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（2022春?泰興市校級月考）新冠肺炎是一種傳染性極強的疾病，如果有一人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有100人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則由題意列出方程1+x+x（1+x）＝100．【分析】由每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，可得出第一輪傳染中共x人被傳染，第二輪傳染中共x（1+x）人被傳染，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后有100人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，∴第一輪傳染中共x人被傳染，第二輪傳染中共x（1+x）人被傳染．依題意得：1+x+x（1+x）＝100．故答案為：1+x+x（1+x）＝100．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（真題?鼓樓區(qū)校級期末）某藥品經(jīng)過兩次降價．每瓶零售價由100元降為81元．已知兩次降價的百分率相同．設(shè)平均每次降價的百分率是x，可列方程為100（1﹣x）2＝81．【分析】設(shè)該藥品平均每次降價的百分率為x，根據(jù)降價后的價格＝降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是100（1﹣x），第二次后的價格是100（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程．【解答】解：根據(jù)題意得：100（1﹣x）2＝81．故答案是：100（1﹣x）2＝81．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．增長率問題：增長率＝增長數(shù)量原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為a，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．三．解答題（共9小題）15．（真題?無錫期末）某讀書興趣小組計劃去書店購買一批定價為50元/本的書籍，書店表示有兩種優(yōu)惠方案方案一：若購買數(shù)量不超過10本，每本按定價出售；若超過10本，每增加1本，所有書籍的售價可比定價降2元，但售價不低于35元/本．方案二：前5本按定價出售，超過5本以上的部分可以打折．（1）該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式支付了600元，請你求出購買書籍的數(shù)量；（2）如果該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買（1）中的數(shù)量，請問書店折扣至少低于幾折才能使得實付金額少于600元？【分析】（1）利用總價＝單價×數(shù)量可求出按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍10本所需費用，由該值小于600可得出讀書興趣小組購買書籍的數(shù)量超過10本，設(shè)讀書興趣小組購買書籍x本，則每本的售價為（70﹣2x）元．利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合售價不低于35元/本，即可得出讀書興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍15本；（2）設(shè)書店給出的優(yōu)惠方案二中超過5本以上的部分打y折銷售，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買（1）中的數(shù)量且實付金額少于600元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵50×10＝500（元），500＜600，∴讀書興趣小組購買書籍的數(shù)量超過10本．設(shè)讀書興趣小組購買書籍x本，則每本的售價為50﹣2（x﹣10）＝（70﹣2x）元，依題意得：（70﹣2x）x＝600，整理得：x2﹣35x+300＝0，解得：x1＝15，x2＝20．當(dāng)x＝15時，70﹣2x＝70﹣2×15＝40＞35，符合題意；當(dāng)x＝20時，70﹣2x＝70﹣2×20＝30＜35，不符合題意，舍去．答：讀書興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍15本．（2）設(shè)書店給出的優(yōu)惠方案二中超過5本以上的部分打y折銷售，依題意得：50×5+（15﹣5）×50600，解得：y＜7．答：書店折扣至少低于7折才能使得實付金額少于600元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．16．（2022春?蘇州月考）利用我們學(xué)過的完全平方公式與不等式知識能解決方程或代數(shù)式的一些問題，閱讀下列兩則材料：材料一：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴m＝n＝4．材料二：探索代數(shù)式x2+4x+2與﹣x2+2x+3是否存在最大值或最小值？①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．∴代數(shù)式x2+4x+2有最小值﹣2；②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．∴代數(shù)式﹣x2+2x+3有最大值4．學(xué)習(xí)方法并完成下列問題：（1）代數(shù)式x2﹣6x+3的最小值為﹣6；（2）如圖，在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木柵欄圍成一個長方形花圃，為了設(shè)計一個盡可能大的花圃，設(shè)長方形垂直于圍墻的一邊長度為x米，則花圃的最大面積是多少？（3）已知△ABC的三條邊的長度分別為a，b，c，且a2+b2+74＝10a+14b，且c為正整數(shù)，求△ABC周長的最小值．【分析】（1）將代數(shù)式配方即可；（2）設(shè)花圃的面積為S平方米，根據(jù)題意得S＝x（100﹣2x）配方成﹣2（x﹣25）2+1250，即可求出最大面積；（3）根據(jù)配方法可得a和b的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出c的最小值，進一步求周長最小值即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝x2﹣6x+9﹣9+3＝（x﹣3）2﹣6，∵（x﹣3）2≥0，∴x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6≥﹣6，故答案為：﹣6．（2）設(shè)花圃的面積為S平方米，根據(jù)題意，得S＝x