高考數學一輪復習知識點講解+真題測試專題12.1概率、條件概率與全概率公式(知識點講解)(原卷版+解析)

專題12.1概率、條件概率與全概率公式（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.考查簡單排列組合計算及古典概率的計算，凸顯邏輯推理、數學運算的核心素養(yǎng)．2.結合獨立性考查條件概率的計算，凸顯數學運算及數學應用的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）古典概型1.隨機事件的概率（1）事件的相關概念（2）頻率與概率的關系在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率fn(A)＝eq\f(nA,n)會在某個常數附近擺動，則把這個常數記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．（3）事件的關系與運算名稱定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等事件若B?A，且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并(和)事件若某事件發(fā)生當且僅當事件A或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(積)事件若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?且A∪B＝U(U為全集)（4）概率的基本性質=1\*GB3①任何事件A的概率都在[0,1]內，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率為0，必然事件Ω的概率為1.=2\*GB3②如果事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．=3\*GB3③事件A與它的對立事件eq\x\to(A)的概率滿足P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1.=4\*GB3④結論：如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．3．古典概型的特點4．古典概型的概率計算公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數,基本事件的總數).（二）條件概率1．條件概率定義一般地，當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件概率表示P(A|B)計算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)2．條件概率的性質(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．3．【兩點說明】（1）如果知道事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；（2）已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當于AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當于把A看作新的基本事件空間計算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PAB,PA).（三）事件的獨立性1.事件的相互獨立性(1)定義：設A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．(2)性質：①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．②如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立．2.事件的獨立性(1)事件A與B相互獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)P(B)．(2)當P(B)＞0時，A與B獨立的充要條件是P(A|B)＝P(A)．（3）如果P(A)＞0，A與B獨立，則P(B|A)＝P(B)成立．P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PAPB,PA)＝P(B)．3.牢記并理解事件中常見詞語的含義(1)A，B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B；(2)A，B都發(fā)生的事件為AB；(3)A，B都不發(fā)生的事件為eq\o(\x\to(A))eq\o(\x\to(B))；(4)A，B恰有一個發(fā)生的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B；(5)A，B至多一個發(fā)生的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B∪eq\o(\x\to(A))eq\o(\x\to(B)).（四）全概率公式1．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(2)定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai).2．貝葉斯公式(1)一般地，當0＜P(A)＜1且P(B)＞0時，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).(2)定理2若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)).【拓展】貝葉斯公式充分體現了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))，P(AB)之間的轉化．即P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))之間的內在聯系．【?？碱}型剖析】題型一：古典概型例1.（2023·全國·高考真題（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8例2.（2023·山東·高考真題）現有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．例3．(2023·全國·高考真題（理））從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．例4．（2023·江蘇·高考真題）從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是_____.【總結提升】1.用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個數除以基本事件空間Ω所含的基本事件個數求解事件A發(fā)生的概率P(A)．解題步驟如下：①定型，即根據古典概型的特點——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型．②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數．③求值，代入公式P(A)求值．2.稍微復雜的問題，往往在于簡單排列組合問題的解答.題型二：條件概率例5.（2023·全國·高三專題練習）設，則（

）A． B． C． D．例6.(2023·全國·高考真題（理））某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45例7.（2023·全國·高三專題練習）袋子中有7個大小相同的小球，其中4個紅球，3個黃球，每次從袋子中隨機摸出1個小球，摸出的球不再放回，則在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率是___________.例8．(2023·安徽·高三開學考試）現有5同學站成一排拍照畢業(yè)留念，在“甲不站最左邊，乙不站最右邊”的前提下，丙站最左邊的概率為_________.例9.(2023·安徽·高考真題（理））甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是________（寫出所有正確結論的編號）．①；②；③事件與事件相互獨立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因為它與中哪一個發(fā)生有關【總結提升】1.判斷所求概率為條件概率的主要依據是題目中的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼．第3題中沒有出現上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認為是條件概率問題．運用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結合題目的具體情況進行分析．2.求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得，這是求條件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數n(AB)，得.題型三：全概率公式例10.（2023·全國·高三專題練習）某市場供應的電子產品中，來自甲廠的占，來自乙廠的占.已知甲廠產品的合格率是，乙廠產品的合格率是.若從該市場供應的電子產品中任意購買一件電子產品，則該產品是合格品的概率為（

）A． B． C． D．例11．【多選題】（2023·全國·高三專題練習）甲罐中有2個紅球、2個黑球，乙罐中有3個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（

）A． B． C． D．例12．（2023·全國·高三專題練習）已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4個紅球和2個白球，乙盒中有3個紅球和2個白球，先從乙盒中任取兩球，放入甲盒中，然后從甲盒中任取一球，則最終取到的球是白球的概率為___________.【規(guī)律方法】1．以上三例分別代表全概率公式及其應用、貝葉斯公式及其應用及全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用.2．利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計算P(A)，即P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；第二步：計算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步：代入P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．3.貝葉斯公式實質上是條件概率公式P(Bi|A)＝eq\f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)的綜合應用．4..若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個結果發(fā)生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率，熟記這個特征，在遇到相關的題目時，可以準確地選擇方法進行計算，保證解題的正確高效.【提醒】1.全概率公式P(B)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解題中體現了化整為零的轉化化歸思想．2．貝葉斯概率公式反映了條件概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之間的關系．即P(Bj|A)＝eq\f(PBjA,PA)＝eq\f(PBjPA|Bj,PA)＝eq\f(PBjPA|Bj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBiPA|Bi).題型四獨立性與條件概率的關系例13.【多選題】(2023·浙江·慈溪中學高三開學考試）盒中裝有大小相同的5個小球（編號為1至5），其中黑球3個，白球2個.每次取一球（取后放回），則（

）A．每次取到1號球的概率為B．每次取到黑球的概率為C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨立事件D．“每次取到3號球”與“每次取到4號球”是對立事件例14.【多選題】（2023·全國·高三專題練習）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則（

）A．事件與事件相互獨立 B．C． D．例15.【多選題】（2023·全國·高三專題練習）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結論中正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨立 D．，，兩兩互斥例16.(2023·浙江嘉興·高三階段練習）樹人中學進行籃球定點投籃測試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進得3分，未投進得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進一次得2分，未投進得0分，測試者累計得分高于3分即通過測試．甲同學為了通過測試，進行了五輪投籃訓練，每輪在A處和B處各投10次，根據統(tǒng)計該同學各輪三分球和兩分球的投進次數如下圖表：若以五輪投籃訓練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率，則該同學通過測試的概率是___________．例17.（2023·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為____________，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為______________．【規(guī)律方法】1.判斷事件是否相互獨立的方法（1）定義法：事件A，B相互獨立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．（2）由事件本身的性質直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當P(A)>0時，可用P(B|A)＝P(B)判斷．2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積．3.使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們能同時發(fā)生．4．求復雜事件的概率一般可分三步進行(1)列出題中涉及的各個事件，并用適當的符號表示它們；(2)理清各事件之間的關系，恰當地用事件間的“并”“交”表示所求事件；(3)根據事件之間的關系準確地運用概率公式進行計算．5.計算事件同時發(fā)生的概率常用直接法，當遇到“至少”“至多”問題可以考慮間接法．題型五概率與統(tǒng)計綜合問題例18.（2023·全國·高考真題（文））某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統(tǒng)計了這些產品的等級，整理如下：甲分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數40202020乙分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務?例19.（陜西·高考真題（文））假設甲乙兩種品牌的同類產品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現從兩種品牌的產品中分別隨機抽取100個進行測試，結果統(tǒng)計如下：（Ⅰ）估計甲品牌產品壽命小于200小時的概率；（Ⅱ）這兩種品牌產品中，，某個產品已使用了200小時，試估計該產品是甲品牌的概率例20．(2023·重慶八中高三階段練習）女排世界杯比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領先對方2分為勝.在比賽中，每一個回合，贏球的一方可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權，輸球的一方不得分.現有甲乙兩隊進行排球比賽.(1)若前三局比賽中甲已經贏兩局，乙贏一局.接下來的每局比賽甲隊獲勝的概率為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；(2)若前四局比賽中甲?乙兩隊已經各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊當前的得分均為14分，且甲已獲得下一發(fā)球權.若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時甲贏1分的概率為.求甲隊在4個球以內（含4個球）贏得整場比賽的概率.專題12.1概率、條件概率與全概率公式（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.考查簡單排列組合計算及古典概率的計算，凸顯邏輯推理、數學運算的核心素養(yǎng)．2.結合獨立性考查條件概率的計算，凸顯數學運算及數學應用的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）古典概型1.隨機事件的概率（1）事件的相關概念（2）頻率與概率的關系在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率fn(A)＝eq\f(nA,n)會在某個常數附近擺動，則把這個常數記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．（3）事件的關系與運算名稱定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等事件若B?A，且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并(和)事件若某事件發(fā)生當且僅當事件A或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(積)事件若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?且A∪B＝U(U為全集)（4）概率的基本性質=1\*GB3①任何事件A的概率都在[0,1]內，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率為0，必然事件Ω的概率為1.=2\*GB3②如果事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．=3\*GB3③事件A與它的對立事件eq\x\to(A)的概率滿足P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1.=4\*GB3④結論：如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．3．古典概型的特點4．古典概型的概率計算公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數,基本事件的總數).（二）條件概率1．條件概率定義一般地，當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件概率表示P(A|B)計算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)2．條件概率的性質(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．3．【兩點說明】（1）如果知道事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；（2）已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當于AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當于把A看作新的基本事件空間計算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PAB,PA).（三）事件的獨立性1.事件的相互獨立性(1)定義：設A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．(2)性質：①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．②如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立．2.事件的獨立性(1)事件A與B相互獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)P(B)．(2)當P(B)＞0時，A與B獨立的充要條件是P(A|B)＝P(A)．（3）如果P(A)＞0，A與B獨立，則P(B|A)＝P(B)成立．P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PAPB,PA)＝P(B)．3.牢記并理解事件中常見詞語的含義(1)A，B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B；(2)A，B都發(fā)生的事件為AB；(3)A，B都不發(fā)生的事件為eq\o(\x\to(A))eq\o(\x\to(B))；(4)A，B恰有一個發(fā)生的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B；(5)A，B至多一個發(fā)生的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B∪eq\o(\x\to(A))eq\o(\x\to(B)).（四）全概率公式1．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(2)定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai).2．貝葉斯公式(1)一般地，當0＜P(A)＜1且P(B)＞0時，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).(2)定理2若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)).【拓展】貝葉斯公式充分體現了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))，P(AB)之間的轉化．即P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))之間的內在聯系．【?？碱}型剖析】題型一：古典概型例1.（2023·全國·高考真題（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8答案：C分析：利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.例2.（2023·山東·高考真題）現有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用古典概型概率公式，結合分步計數原理，計算結果.【詳解】5位老師，每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B例3．(2023·全國·高考真題（理））從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．答案：.分析：根據古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：．例4．（2023·江蘇·高考真題）從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是_____.答案：.分析：先求事件的總數，再求選出的2名同學中至少有1名女同學的事件數，最后根據古典概型的概率計算公式得出答案.【詳解】從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿服務，共有種情況.若選出的2名學生恰有1名女生，有種情況，若選出的2名學生都是女生，有種情況，所以所求的概率為.【總結提升】1.用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個數除以基本事件空間Ω所含的基本事件個數求解事件A發(fā)生的概率P(A)．解題步驟如下：①定型，即根據古典概型的特點——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型．②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數．③求值，代入公式P(A)求值．2.稍微復雜的問題，往往在于簡單排列組合問題的解答.題型二：條件概率例5.（2023·全國·高三專題練習）設，則（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用條件概率的公式算出，也利用條件概率公式算出最終答案【詳解】因為，且，所以，所以，故選：D.例6.(2023·全國·高考真題（理））某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45答案：A【詳解】試題分析：記“一天的空氣質量為優(yōu)良”，“第二天空氣質量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.例7.（2023·全國·高三專題練習）袋子中有7個大小相同的小球，其中4個紅球，3個黃球，每次從袋子中隨機摸出1個小球，摸出的球不再放回，則在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率是___________.答案：##0.5分析：利用條件概率的公式計算即可.【詳解】記事件第1次摸到紅球，事件第2次摸到紅球，第1次摸到紅球的事件種數，在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的事件種數，則.故答案為：.例8．(2023·安徽·高三開學考試）現有5同學站成一排拍照畢業(yè)留念，在“甲不站最左邊，乙不站最右邊”的前提下，丙站最左邊的概率為_________.答案：分析：設“甲不站最左邊，乙不站最右邊”為事件，丙站最左邊事件，則，，進而根據條件概率求解即可.【詳解】解：設“甲不站最左邊，乙不站最右邊”為事件，丙站最左邊事件，則5同學站成一排，共有中可能，事件發(fā)生的情況有：種，事件發(fā)生的情況分兩種可能：第一種，當甲站在最右邊時，有種；第二種，當甲不站在最左邊，也不站在最右邊時，有種，事件發(fā)生的情況有：所以，，所以在“甲不站最左邊，乙不站最右邊”的前提下，丙站最左邊的概率為.故答案為：例9.(2023·安徽·高考真題（理））甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是________（寫出所有正確結論的編號）．①；②；③事件與事件相互獨立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因為它與中哪一個發(fā)生有關答案：②④分析：根據互斥事件的定義即可判斷④；根據條件概率的計算公式分別得出事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率，即可判斷②；然后由，判斷①和⑤；再比較的大小即可判斷③.【詳解】由題意可知事件不可能同時發(fā)生，則是兩兩互斥的事件，則④正確；由題意得，故②正確；,①⑤錯；因為，所以事件B與事件A1不獨立，③錯；綜上選②④故答案為：②④【總結提升】1.判斷所求概率為條件概率的主要依據是題目中的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼．第3題中沒有出現上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認為是條件概率問題．運用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結合題目的具體情況進行分析．2.求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得，這是求條件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數n(AB)，得.題型三：全概率公式例10.（2023·全國·高三專題練習）某市場供應的電子產品中，來自甲廠的占，來自乙廠的占.已知甲廠產品的合格率是，乙廠產品的合格率是.若從該市場供應的電子產品中任意購買一件電子產品，則該產品是合格品的概率為（

）A． B． C． D．答案：C分析：利用全概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設、分別表示為買到的產品來自甲廠、來自乙廠，表示買到的產品是合格品，則，，，，所以.故選：C.例11．【多選題】（2023·全國·高三專題練習）甲罐中有2個紅球、2個黑球，乙罐中有3個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（

）A． B． C． D．答案：ACD分析：根據古典概型求概率公式得到，由全概率公式計算，由條件概率計算BD選項中的概率.【詳解】因為甲罐中有2個紅球、2個黑球，所以，故選項A正確；因為，所以選項C正確；因為，，所以，故選項D正確；因為，所以選項B錯誤；故選：ACD例12．（2023·全國·高三專題練習）已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4個紅球和2個白球，乙盒中有3個紅球和2個白球，先從乙盒中任取兩球，放入甲盒中，然后從甲盒中任取一球，則最終取到的球是白球的概率為___________.答案：#.分析：設分別為從乙盒中任取兩球是兩紅?兩白?一紅一白的兩兩互斥事件，事件是最終取到的球是白球，結合全概率公式，即可求解.【詳解】設分別為從乙盒中任取兩球是兩紅?兩白?一紅一白的兩兩互斥事件，事件是最終取到的球是白球，由全概率公式得.故答案為：【規(guī)律方法】1．以上三例分別代表全概率公式及其應用、貝葉斯公式及其應用及全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用.2．利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計算P(A)，即P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；第二步：計算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步：代入P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．3.貝葉斯公式實質上是條件概率公式P(Bi|A)＝eq\f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)的綜合應用．4..若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個結果發(fā)生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率，熟記這個特征，在遇到相關的題目時，可以準確地選擇方法進行計算，保證解題的正確高效.【提醒】1.全概率公式P(B)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解題中體現了化整為零的轉化化歸思想．2．貝葉斯概率公式反映了條件概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之間的關系．即P(Bj|A)＝eq\f(PBjA,PA)＝eq\f(PBjPA|Bj,PA)＝eq\f(PBjPA|Bj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBiPA|Bi).題型四獨立性與條件概率的關系例13.【多選題】(2023·浙江·慈溪中學高三開學考試）盒中裝有大小相同的5個小球（編號為1至5），其中黑球3個，白球2個.每次取一球（取后放回），則（

）A．每次取到1號球的概率為B．每次取到黑球的概率為C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨立事件D．“每次取到3號球”與“每次取到4號球”是對立事件答案：AC分析：通過計算得出每次取到1號球的概率判斷A；通過計算得出每次取到黑球的概率判斷B；根據獨立事件的定義判斷C；通過計算得出次取到3，4號球的概率及對立事件的定義判斷D.【詳解】解：對于A，每次取到1號球的概率為，故正確；對于B，每次取到黑球的概率為，故錯誤；對于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之間沒有影響，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨立事件，故正確；對于D，每次取到3號球的概率為，每次取到4號球的概率為，它們互斥事件，而不是對立事件，故錯誤.故選：AC.例14.【多選題】（2023·全國·高三專題練習）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則（

）A．事件與事件相互獨立 B．C． D．答案：BD分析：由全概率公式可計算得到D正確；根據貝葉斯公式可知B正確；根據可知C錯誤；由可知A錯誤.【詳解】由題意知：，，，，，，，D正確；，B正確；，C錯誤；，，，事件與事件不相互獨立，A錯誤.故選：BD.例15.【多選題】（2023·全國·高三專題練習）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結論中正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨立 D．，，兩兩互斥答案：AD分析：根據互斥事件的定義判斷D，再根據條件概率及相互獨立事件的概率公式計算即可判斷其他選項．【詳解】因為事件，和任意兩個都不能同時發(fā)生，所以，，是兩兩互斥的事件，故D正確；因為，，，，故A正確；，，，因為，，所以，所以與不是相互獨立事件，故B，C不正確．故選：AD．例16.(2023·浙江嘉興·高三階段練習）樹人中學進行籃球定點投籃測試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進得3分，未投進得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進一次得2分，未投進得0分，測試者累計得分高于3分即通過測試．甲同學為了通過測試，進行了五輪投籃訓練，每輪在A處和B處各投10次，根據統(tǒng)計該同學各輪三分球和兩分球的投進次數如下圖表：若以五輪投籃訓練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率，則該同學通過測試的概率是___________．答案：##分析：分別求出甲同學兩分球投籃命中的概率和甲同學三分球投籃命中的概率，設甲同學累計得分為，則，由此能求出甲同學通過測試的概率．【詳解】解：依題意甲同學兩分球投籃命中的概率為：，甲同學三分球投籃命中的概率為：，設甲同學累計得分為，則，甲同學通過測試的概率為．故答案為：例17.（2023·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為____________，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為______________．答案：

分析：根據甲猜對乙沒有猜對可求出一次活動中，甲獲勝的概率；在3次活動中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.【詳解】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為；則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為.故答案為：；.【規(guī)律方法】1.判斷事件是否相互獨立的方法（1）定義法：事件A，B相互獨立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．（2）由事件本身的性質直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當P(A)>0時，可用P(B|A)＝P(B)判斷．2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積．3.使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們能同時發(fā)生．4．求復雜事件的概率一般可分三步進行(1)