2025九年級上冊數數學(RJ)2025九年級上冊數數學(RJ)22.1.4 第1課時 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質含答案

2025九年級上冊數數學(RJ)2025九年級上冊數數學(RJ)22.1.4第1課時二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質22.1.4二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質第1課時二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質◆基礎掃描1.函數的圖象頂點坐標是（）A.B.C.D.2.已知二次函數的圖象如圖1所示,則下列關于，，間的關系判斷正確的是（）A．＜0B.＜0C.D.OyOyx圖1圖2圖33.二次函數,當x=時,y有最值為.4.如圖2所示的拋物線是二次函數的圖象，那么的值是．5.已知二次函數（是常數），與的部分對應值如下表，則當滿足的條件是時，；當滿足的條件是時，．0123020◆能力拓展6.如圖3,二次函數圖象過A、C、B三點，點A的坐標為（－1，0），點B的坐標為（4，0），點C在y軸正半軸上，且AB=OC.（1）求C的坐標；（2）求二次函數的解析式，并求出函數最大值。7.某產品每件成本10元,試銷階段每件產品的銷售價x(元)與產品的日銷售量y(件)之間的關系如下表:X(元)152030…y(件)252010…若日銷售量y是銷售價x的一次函數.(1)求出日銷售量y(件)是銷售價x(元)的函數關系式;(2)要使每日的銷售利潤最大,每件產品的銷售價應定為多少元?此時每日的銷售利潤是多少元?◆創(chuàng)新學習8．如圖，對稱軸為直線x＝的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．（1）求拋物線解析式及頂點坐標；（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）①當四邊形OEAF的面積為24時，請判斷OEAF是否為菱形？②是否存在點E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案1．C2．D3．大44．－15．0或20＜＜26．(1)C(0,5)(2)7．(1)設此一次函數關系式為,則{,解得故一次函數的關系式為.(2)設所獲利潤為元,則所以產品的銷售價應定為25元,此時每日的銷售利潤為225元．8．（1）由拋物線的對稱軸是，可設解析式為．把A、B兩點坐標代入上式，得解之，得故拋物線解析式為，頂點為（2）∵點在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合.，∴y<0，即－y>0,－y表示點E到OA的距離．∵OA是的對角線，∴．因為拋物線與軸的兩個交點是（1，0）的（6，0），所以，自變量的取值范圍是1＜＜6．①根據題意，當S=24時，即．化簡，得解之，得故所求的點E有兩個，分別為E1（3，－4），E2（4，－4）．點E1（3，－4）滿足OE=AE，所以是菱形；點E2（4，－4）不滿足OE=AE，所以不是菱形．②當OA⊥EF，且OA=EF時，是正方形，此時點E的坐標只能是（3，－3）．而坐標為（3，－3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形．第2課時用待定系數法確定二次函數的表達式一、選擇題1.函數y=x2+2x+1寫成y=a(x－h(huán))2+k的形式是A.y=(x－1)2+2 B.y=(x－1)2+C.y=(x－1)2－3 D.y=(x+2)2－12.拋物線y=－2x2－x+1的頂點在第_____象限A.一 B.二 C.三 D.四3.不論m取任何實數，拋物線y=a(x+m)2+m(a≠0)的頂點都A.在y=x直線上 B.在直線y=－x上C.在x軸上 D.在y軸上4.任給一些不同的實數n，得到不同的拋物線y=2x2+n，如當n=0，±2時，關于這些拋物線有以下結論：①開口方向都相同；②對稱軸都相同；③形狀都相同；④都有最低點，其中判斷正確的個數是A.1個 B.2個 C.3個D.4個5.二次函數y=x2+px+q中，若p+q=0，則它的圖象必經過下列四點中A.(－1，1) B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)6.下列說法錯誤的是A.二次函數y=－2x2中，當x=0時，y有最大值是0B.二次函數y=4x2中，當x>0時，y隨x的增大而增大C.在三條拋物線y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的圖象開口最大，y=－x2的圖象開口最小D.不論a是正數還是負數，拋物線y=ax2(a≠0)的頂點一定是坐標原點7.已知二次函數y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，則k的值是A. B.－ C. D.－8.小穎在二次函數y=2x2+4x+5的圖象上，依橫坐標找到三點(－1，y1)，(，y2)，(－3，y3)，則你認為y1，y2，y3的大小關系應為A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1二、填空題9.拋物線y=(x+3)2的頂點坐標是______.10.將拋物線y=3x2向上平移3個單位后，所得拋物線的頂點坐標是______.11.函數y=x－2－3x2有最_____值為_____.12.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象頂點為(－2，3)，且過(－1，5)，則拋物線的表達式為______.13.二次函數y=mx2+2x+m－4m2的圖象過原點，則此拋物線的頂點坐標是______.三、解答題14.根據已知條件確定二次函數的表達式（1）圖象的頂點為（2，3），且經過點（3，6）；（2）圖象經過點（1，0），（3，0）和（0，9）；（3）圖象經過點（1，0），（0，-3），且對稱軸是直線x=2。15.(8分)請寫出一個二次函數，此二次函數具備頂點在x軸上，且過點(0，1)兩個條件，并說明你的理由.16.(10分)把拋物線y=－3(x－1)2向上平移k個單位，所得的拋物線與x軸交于點A(x1，0)，B(x2，0)，若x12+x22=，請你求出k的值.17.(10分)如圖6是把一個拋物線形橋拱，量得兩個數據，畫在紙上的情形.小明說只要建立適當的坐標系，就能求出此拋物線的表達式.你認為他的說法正確嗎？如果不正確，請說明理由；如果正確，請你幫小明求出該拋物線的表達式.圖618.(12分)有這樣一道題：“已知二次函數y=ax2+bx+c圖象過P(1，－4)，且有c=－3a，……求證這個二次函數的圖象必過定點A(－1，0).”題中“……”部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字.(1)你能根據題中信息求這個二次函數表達式嗎？若能，請求出；若不能，請說明理由.(2)請你根據已有信息，在原題“……”處添上一個適當的條件，把原題補充完整.第2課時二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中的不等關系●基礎練習1.已知二次函數y=ax2-5x+c的圖象如圖所示,請根據圖象回答下列問題:(1)a=_______,c=______.(2)函數圖象的對稱軸是_________,頂點坐標P__________.(3)該函數有最______值,當x=______時,y最值=________.(4)當x_____時,y隨x的增大而減小.當x_____時,y隨x的增大而增大.(5)拋物線與x軸交點坐標A_______,B________;與y軸交點C的坐標為_______;=_________,=________.(6)當y>0時,x的取值范圍是_________;當y<0時,x的取值范圍是_________.(7)方程ax2-5x+c=0中△的符號為________.方程ax2-5x+c=0的兩根分別為_____,____.(8)當x=6時,y______0;當x=-2時,y______0.2.已知下表:x012ax21ax2+bx+c33(1)求a、b、c的值，并在表內空格處填入正確的數；(2)請你根據上面的結果判斷:①是否存在實數x,使二次三項式ax2+bx+c的值為0?若存在,求出這個實數值;若不存在,請說明理由.②畫出函數y=ax2+bx+c的圖象示意圖,由圖象確定,當x取什么實數時,ax2+bx+c>0?3.請畫出適當的函數圖象,求方程x2=x+3的解.4.若二次函數y=-x2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求這個二次函數的關系式;(2)如果要通過適當的平移,使得這個函數的圖象與x軸只有一個交點,那么應該怎樣平移?向右還是向左?或者是向上還是向下?應該平移向個單位?5.已知某型汽車在干燥的路面上,汽車停止行駛所需的剎車距離與剎車時的車速之間有下表所示的對應關系.速度V(km/h)48648096112…剎車距離s(m)22.53652.57294.5…(1)請你以汽車剎車時的車速V為自變量,剎車距離s為函數,在圖所示的坐標系中描點連線,畫出函數的圖象;(2)觀察所畫的函數的圖象,你發(fā)現了什么?(3)若把這個函數的圖象看成是一條拋物線,請根據表中所給的數據,選擇三對,求出它的函數關系式;(4)用你留下的兩對數據,驗證一個你所得到的結論是否正確.●能力提升6.如圖所示,矩形ABCD的邊AB=3,AD=2,將此矩形置入直角坐標系中,使AB在x軸上,點C在直線y=x-2上.(1)求矩形各頂點坐標;(2)若直線y=x-2與y軸交于點E,拋物線過E、A、B三點,求拋物線的關系式;(3)判斷上述拋物線的頂點是否落在矩形ABCD內部,并說明理由.7.已知一條拋物線經過A(0,3),B(4,6)兩點,對稱軸是x=.(1)求這條拋物線的關系式.(2)證明:這條拋物線與x軸的兩個交點中,必存在點C,使得對x軸上任意點D都有AC+BC≤AD+BD.8.如圖所示,一位籃球運動員在離籃圈水平距離為4m處跳起投籃,球沿一條拋物線運行,當球運行的水平距離為2.5m時,達到最大高度3.5m,然后準確落入籃框內.已知籃圈中心離地面距離為3.05m.(1)建立如圖所示的直角坐標系,求拋物線所對應的函數關系式;(2)若該運動員身高1.8m,這次跳投時,球在他頭頂上方0.25m處出手.問:球出手時,他跳離地面多高?9.某工廠生產A產品x噸所需費用為P元,而賣出x噸這種產品的售價為每噸Q元,已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.(1)該廠生產并售出x噸,寫出這種產品所獲利潤W(元)關于x(噸)的函數關系式;(2)當生產多少噸這種產品,并全部售出時,獲利最多?這時獲利多少元?這時每噸的價格又是多少元?10.已知拋物線y=2x2-kx-1與x軸兩交點的橫坐標,一個大于2,另一個小于2,試求k的取值范圍.●綜合探究11.已知拋物線L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),它的頂點P的坐標是,與y軸的交點是M(0,c)我們稱以M為頂點,對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PM為L的伴隨直線.(1)請直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關系式:伴隨拋物線的關系式_________________伴隨直線的關系式___________________(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3,則這條拋物線的關系是___________:(3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴隨拋物線和伴隨直線的關系式;(4)若拋物線L與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點x2>x1>0,它的伴隨拋物線與x軸交于C,D兩點,且AB=CD,請求出a、b、c應滿足的條件.答案：1.(1)a=1;c=4(2)直線x=,(3)小;;(4)(5)(1,0);(4,0);(0,4);6;;(6)x<1或x>4;1<x<4(7)正號;x1=1;x2=4(8)>;>2.(1)由表知,當x=0時,ax2+bx+c=3;當x=1時,ax2=1;當x=2時,ax2+bx+c=3.∴,∴,∴a=1,b=-2,c=3,空格內分別應填入0,4,2.(2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴不存在實數x能使ax2+bx+c=0.②函數y=x2-2x+3的圖象示意圖如答圖所示,觀察圖象得出,無論x取什么實數總有ax2+bx+c>0.3.:在同一坐標系中如答圖所示,畫出函數y=x2的圖象,畫出函數y=x+3的圖象,這兩個圖象的交點為A,B,交點A,B的橫坐標和2就是方程x2=x+3的解.4.:(1)∵y=x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴,,∴y=.(2)∵y==∴頂點坐標為(-3,2),∴欲使函數的圖象與x軸只有一個交點,應向下平移2個單位.5.:(1)函數的圖象如答圖所示.(2)圖象可看成是一條拋物線這個函數可看作二次函數.(3)設所求函數關系式為:s=av2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分別代入s=av2+bv+c,得,解得.∴(4)當v=80時,∵s=52.5,∴當v=112時,∵s=94.5,∴經檢驗,所得結論是正確的.6.:(1)如答圖所示.∵y=x-2,AD=BC=2,設C點坐標為(m,2),把C(m,2)代入y=x-2,2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).設經過E(0,-2),A(1,0),B(4,0)三點的拋物線關系式為y=ax2+bx+c,∴,解得∴y=.(3)拋物線頂點在矩形ABCD內部.∵y=,∴頂點為.∵,∴頂點在矩形ABCD內部.7.(1)解:設所求拋物線的關系式為y=ax2+bx+c,∵A(0,3),B(4,6),對稱軸是直線x=.∴,解得∴y=.(2)證明:令y=0,得=0,∴∵A(0,3),取A點關于x軸的對稱點E,∴E(0,-3).設直線BE的關系式為y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=,∴y=x-3.由x-3=0,得x=.故C為,C點與拋物線在x軸上的一個交點重合,在x軸上任取一點D,在△BED中,BE<BD+DE.又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.若D與C重合,則AC+BC=AD+BD.∴AC+BC≤AD+BD.8:(1)圖中各點字母表示如答圖所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.∴點D坐標為(1.5,3.05).∵拋物線頂點坐標(0,3.5),∴設所求拋物線的關系式為y=ax2+3.5,把D(1.5,3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5(2)∵OA=2.5,∴設C點坐標為(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=-0.2×2.52+3.5=2.25.∴該運動員跳離地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).9:(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)=.(2)∵W==-(x-150)2+2000.∵-<0,∴W有最大值.當x=150噸時,利潤最多,最大利潤2000元.當x=150噸,Q=-+45=40(元).10:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-