高中數(shù)學選擇性必修二課件：§4 1 第1課時 數(shù)列的概念及通項公式(人教A版)

第四章

§4.1數(shù)列的概念第1課時數(shù)列的概念及通項公式學習目標XUEXIMUBIAO1.理解數(shù)列的有關概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調性.3.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任一項.4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.內容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE1.一般地，我們把按照

排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的

.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第

項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第

項，用a2表示……，第

個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第

項，用an表示.其中第1項也叫做

.2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為

.思考數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？知識點一數(shù)列及其有關概念答案不是.順序不一樣.確定的順序項12nn首項{an}知識點二數(shù)列的分類分類標準名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)

的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)

的數(shù)列有限無限數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號

，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項

，記為an＝f(n).知識點三函數(shù)與數(shù)列的關系nan知識點四數(shù)列的單調性遞增數(shù)列從第2項起，每一項都

它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都

它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都

的數(shù)列大于小于相等1.如果數(shù)列{an}的第n項an與它的

之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的

.2.通項公式就是數(shù)列的

，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).思考既然數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項公式外，還可以用哪些方法？知識點五通項公式答案還可以用列表法、圖象法.序號n通項公式函數(shù)解析式1.如果數(shù)列{an}的第n項an與它的

之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的

.2.通項公式就是數(shù)列的

，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).思考既然數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項公式外，還可以用哪些方法？知識點五通項公式答案還可以用列表法、圖象法.序號n通項公式函數(shù)解析式1.1,1,1,1是一個數(shù)列.(

)2.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}.(

)3.如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列.(

)4.an與{an}表達不同的含義.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2題型探究PARTTWO例1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；一、數(shù)列的有關概念和分類(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….解(5)是有窮數(shù)列；(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；(2)是遞增數(shù)列；(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；(3)是常數(shù)列.反思感悟(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷.(2)判斷數(shù)列的單調性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外.反思感悟(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷.(2)判斷數(shù)列的單調性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外.跟蹤訓練1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)2017,2018,2019,2020,2021；(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(6)是常數(shù)列.例2寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：二、由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式解這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，解數(shù)列中的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，(3)0,1,0,1；解這個數(shù)列中的項是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項都是0，偶數(shù)項都是1，(4)9,99,999,9999.解各項加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，…，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an＝10n－1，n∈N*.反思感悟根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路(1)先統(tǒng)一項的結構，如都化成分數(shù)、根式等.(2)分析結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的函數(shù)解析式.(3)對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)n或(－1)n＋1處理符號.(4)對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.跟蹤訓練2

寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：解各項分母分別為21,22,23,24，易看出第1,2,3,4項分子分別比分母少了3，解這個數(shù)列的前4項的分母都是比序號大1的數(shù)，分子都是比序號大1的數(shù)的平方減1，(3)7,77,777,7777.例3

已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)寫出數(shù)列的前3項；三、數(shù)列通項公式的簡單應用解在通項公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3項分別為1,6,15.(2)判斷45是否為數(shù)列{an}中的項，3是否為數(shù)列{an}中的項.故45是數(shù)列{an}中的第5項.令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，反思感悟(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應項.(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關于n的方程.若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項.跟蹤訓練3已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求實數(shù)q的值；解由題意知q4－q2＝72，則q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)判斷－81是否為此數(shù)列中的項.解當q＝3時，an＝3n.顯然－81不是此數(shù)列中的項；當q＝－3時，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，無解，∴－81不是此數(shù)列中的項.延伸探究已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4，n∈N*.問當n為何值時，an取得最小值？并求出最小值.∴當n＝2或3時，an取得最小值，為a2＝a3＝－2.核心素養(yǎng)之數(shù)學抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG數(shù)列單調性的應用當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1<an.則a1<a2<a3<…<a9＝a10且a10>a11>a12>…，又n∈N*，則n＝9或n＝10.故數(shù)列{an}有最大項，為第9項和第10項，素養(yǎng)提升(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關性質，如單調性、最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件.(3)通過數(shù)列單調性的應用，培養(yǎng)數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREED.數(shù)列0,2,4,6,8，…可記為{2n}1.下列說法正確的是A.數(shù)列1,3,5,7，…，2n－1可以表示1,3,5,7，…B.數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列12345√解析數(shù)列1,3,5,7，…，2n－1為有窮數(shù)列，而數(shù)列1,3,5,7，…為無窮數(shù)列，故A中說法錯誤；數(shù)的順序不同就是兩個不同的數(shù)列，故B中說法錯誤；12345在D中，an＝2n－2，故D中說法錯誤.√解析把n＝1,2,3,4依次代入通項公式，123453.(多選)下面四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是12345√√解析選項C，D既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列.1234519123455.數(shù)列3,5,9,17,33，…的一個通項公式是__________________.an＝2n＋1，n∈N*1.知識清單：(1)數(shù)列及其有關概念.(2)數(shù)列的分類.(3)函數(shù)與數(shù)列的關系.(4)數(shù)列的單調性.(5)數(shù)列的通項公式.2.方法歸納：觀察、歸納、猜想.3.常見誤區(qū)：歸納法求數(shù)列的通項公式時歸納不全面；不注意用(－1)n進行調節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系.課堂小結KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.(多選)下列說法正確的是A.數(shù)列可以用圖象來表示

B.數(shù)列的通項公式不唯一C.數(shù)列中的項不能相等

D.數(shù)列可以用一群孤立的點表示基礎鞏固12345678910111213141516解析數(shù)列中的項可以相等，如常數(shù)列，故選項C中說法不正確.√√√2.數(shù)列－1,3，－7,15，…的一個通項公式可以是A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*

B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*

D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*12345678910111213141516√解析數(shù)列各項正、負交替，故可用(－1)n來調節(jié)，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通項公式為an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.12345678910111213141516√12345678910111213141516√5.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的通項公式為√123456789101112131415166.323是數(shù)列{n(n＋2)}的第____項.12345678910111213141516解析由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(負值舍去).∴323是數(shù)列{n(n＋2)}的第17項.17123456789101112131415167.若數(shù)列{an}的通項公式是an＝3－2n，n∈N*則a2n＝_______；

＝____.3－4n解析因為an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，123456789101112131415168.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2020－3n，則使an>0成立的正整數(shù)n的最大值為_____.673又因為n∈N*，所以正整數(shù)n的最大值為673.123456789101112131415169.寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：(1)4,6,8,10，…；解各項是從4開始的偶數(shù)，所以an＝2n＋2，n∈N*.12345678910111213141516解每一項分子比分母少1，而分母可寫成21,22,23,24,25，…，分子分別比分母少1，解通過觀察，數(shù)列中的數(shù)正、負交替出現(xiàn)，且先負后正，則選擇(－1)n.則每一項的分母依次為3,5,7,9，…，可寫成(2n＋1)的形式.分子為3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可寫成n(n＋2)的形式.123456789101112131415161234567891011121314151610.在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項公式是關于n的一次函數(shù).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2，n∈N*.12345678910111213141516(2)求a2020；解a2020＝4×2020－2＝8078.(3)2020是否為數(shù)列{an}中的項？∴2020不是數(shù)列{an}中的項.綜合運用12345678910111213141516√解析經(jīng)代入檢驗，A，C，D均可以作為已知數(shù)列的通項公式.√√12345678910111213141516所以相等的連續(xù)兩項是第10項和第11項.A.第9項，第10項

B.第10項，第11項C.第11項，第12項

D.第12項，第13項√√解析結合函數(shù)的單調性，要使數(shù)列{an}遞增，123456789101112131415161234567891011121314151614.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(6)＝____.61解析f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1.當n＝6時，f(6)＝2×6×5＋1＝61.1234567891011121314151615.如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖2