高中數(shù)學選擇性必修二課件：4 2 2 第1課時 等差數(shù)列的前n項和公式(人教A版)

第1課時等差數(shù)列的前n項和公式第四章4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式1.了解等差數(shù)列前n項和公式的推導過程.2.掌握等差數(shù)列前n項和公式.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由

其中三個求另外兩個.學習目標同學們，印度有一著名景點——泰姬陵，傳說寢陵中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲嵌而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？大家通過預習可知，聰明的高斯給出了計算方法，這就是我們今天要研究的等差數(shù)列求和.導語隨堂演練課時對點練一、等差數(shù)列前n項和公式的推導二、等差數(shù)列中與前n項和有關(guān)的基本運算三、利用等差數(shù)列前n項和公式判斷等差數(shù)列內(nèi)容索引一、等差數(shù)列前n項和公式的推導問題1

請同學們欣賞唐代詩人張南史的《花》并回答下面的問題：花，

花.深淺，

芬葩.凝為雪，

錯為霞.鶯和蝶到，

苑占宮遮.已迷金谷路，

頻駐玉人車.芳草欲陵芳樹，

東家半落西家.愿得春風相伴去，

一攀一折向天涯.從數(shù)學的角度來看，這首詩有什么特點？這首詩的內(nèi)容一共有多少個字？提示詩中文字有對稱性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根據(jù)對稱性，可先取其一半來研究.其數(shù)的個數(shù)較少，大家很容易求出答案.問題2

網(wǎng)絡時代與唐代不同的是，寶塔詩的句數(shù)不受限制，如圖，從第1行到第n行一共有多少個字？提示方法一對項數(shù)分奇數(shù)、偶數(shù)討論，認清當項數(shù)為奇數(shù)時，通過“落單”中間一項或最后一項，轉(zhuǎn)化成項數(shù)為偶數(shù)來研究.通過計算發(fā)現(xiàn)，無論項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，結(jié)果都是S＝

，可見，結(jié)果與項數(shù)的奇偶無關(guān).方法二(如圖)在原式的基礎上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，避免了分類討論，我們把這種求和的方法稱為“倒序相加法”，其本質(zhì)還是配對，將2n個數(shù)重新分組配對求和.提示方法一對項數(shù)分奇數(shù)、偶數(shù)討論，認清當項數(shù)為奇數(shù)時，通過“落單”中間一項或最后一項，轉(zhuǎn)化成項數(shù)為偶數(shù)來研究.通過計算發(fā)現(xiàn)，無論項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，結(jié)果都是S＝

，可見，結(jié)果與項數(shù)的奇偶無關(guān).方法二(如圖)在原式的基礎上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，避免了分類討論，我們把這種求和的方法稱為“倒序相加法”，其本質(zhì)還是配對，將2n個數(shù)重新分組配對求和.問題3

對于一般的等差數(shù)列{an}，如何求其前n項和Sn？設其首項為a1，公差為d.提示倒序相加法知識梳理等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)求和公式Sn＝_________Sn＝______________注意點：(1)公式一反映了等差數(shù)列的性質(zhì)，任意第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首末兩項之和；(2)由公式二知d＝0時，Sn＝na1；d≠0時，等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的“二次函數(shù)”；(3)公式里的n表示的是所求等差數(shù)列的項數(shù).二、等差數(shù)列中與前n項和有關(guān)的基本運算例1在等差數(shù)列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.反思感悟等差數(shù)列中的基本計算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，這五個量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題.解題時注意整體代換的思想.(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝

結(jié)合使用.跟蹤訓練1

在等差數(shù)列{an}中：(1)a1＝1，a4＝7，求S9；解設等差數(shù)列{an}的公差為d，則a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.(2)a3＋a15＝40，求S17；解得n＝15.三、利用等差數(shù)列前n項和公式判斷等差數(shù)列問題4

等差數(shù)列前n項和Sn＝na1＋

d是關(guān)于n的二次函數(shù)，它可以寫成什么形式？例2

若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，若是，請證明；若不是，請說明理由.解當n＝1時，a1＝S1＝－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，經(jīng)檢驗，當n＝1時，a1＝－1滿足上式，故an＝4n－5.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，證明如下：因為an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.延伸探究若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n－1，求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列.若是，請證明；若不是，請說明理由.解∵Sn＝2n2－3n－1，

①當n＝1時，a1＝S1＝2－3－1＝－2，當n≥2時，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，

②①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，經(jīng)檢驗當n＝1時，an＝4n－5不成立，故數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，數(shù)列{an}是從第二項起以4為公差的等差數(shù)列.反思感悟由Sn求通項公式an的步驟(1)令n＝1，則a1＝S1，求得a1.(2)令n≥2，則an＝Sn－Sn－1.(3)驗證a1與an的關(guān)系：①若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1，②若a1不適合an，則an＝跟蹤訓練2

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n－1，求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷它是不是等差數(shù)列.解當n＝1時，a1＝S1＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.又a1＝1不滿足an＝2n，∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴數(shù)列{an}中每一項與前一項的差不是同一個常數(shù)，∴{an}不是等差數(shù)列，數(shù)列{an}是從第二項起以2為公差的等差數(shù)列.1.知識清單：(1)等差數(shù)列前n項和公式的推導過程.(2)等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本運算.(3)利用等差數(shù)列前n項和公式判斷等差數(shù)列.2.方法歸納：倒序相加法、公式法、整體代換法.3.常見誤區(qū)：由Sn求通項公式時忽略對n＝1的討論.課堂小結(jié)隨堂演練12341.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－3n，n∈N*，則{an}的前n項和Sn等于解析∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，√12342.在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a8＝8，則該數(shù)列的前9項和S9等于A.18 B.27 C.36 D.45√12343.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d為A.1 B. C.2 D.3而a3＝4，所以a1＝0，√12344.數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋n，則它的通項公式是an＝_____________.－2n＋2(n∈N*)解析當n＝1時，a1＝S1＝－1＋1＝0；當n≥2且n∈N*時，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2，經(jīng)檢驗，n＝1也適合該式.故an＝－2n＋2(n∈N*).課時對點練基礎鞏固123456789101112131415161.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2a6＝a8＋6，則S7等于A.49 B.42 C.35 D.28解析2a6－a8＝a4＝6，S7＝

(a1＋a7)＝7a4＝42.√123456789101112131415162.在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，則n等于A.10 B.15 C.20 D.30所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍去).√123456789101112131415163.設{an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和.若S10＝S11，則a1等于A.18 B.20 C.22 D.24解析由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.√123456789101112131415164.等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列的前20項和等于A.160 B.180 C.200 D.220√解析由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，12345678910111213141516得a13＝12，則a1＋12d＝12，得d＝2，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整數(shù)n為8.5.在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，則使得an>0的最小正整數(shù)n為A.7 B.8 C.9 D.10√123456789101112131415166.(多選)在等差數(shù)列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，則a1等于A.－1 B.3 C.5 D.7√√解析由題意知a1＋(n－1)×2＝11，

①由①②解得a1＝3或a1＝－1.123456789101112131415167.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝_____.解析因為Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.5123456789101112131415168.在等差數(shù)列{an}中，S10＝4S5，則

＝____.解析設數(shù)列{an}的公差為d，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，123456789101112131415169.在等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求數(shù)列的通項公式；解設數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.12345678910111213141516(2)若Sn＝242，求n.12345678910111213141516即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.1234567891011121314151610.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5＝a5＋a6＝25.(1)求{an}的通項公式；12345678910111213141516解設公差為d，由S5＝a5＋a6＝25，∴a1＝－1，d＝3.∴{an}的通項公式為an＝3n－4.12345678910111213141516(2)求等差數(shù)列{an}的前n項和Sn.解由(1)知an＝3n－4，得{an}的前n項和為123456789101112131415綜合運用1611.在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為A.765 B.665 C.763 D.663√解析∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，1234567891011121314151612.等差數(shù)列{an}的前四項之和為124，后四項之和為156，各項和為210，則此數(shù)列的項數(shù)為A.5 B.6 C.7 D.8√解析由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，∴4(a1＋an)＝280，∴a1＋an＝70.∴n＝6.1234567891011121314151613.如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，n∈N*)個點，相應的圖案中總的點數(shù)記為an，則a2＋a3＋a4＋…＋an等于√12345678910111213141516解析由圖案的點數(shù)可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，1234567891011121314151614.把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整數(shù)表示為各項都是整數(shù)、公差為2的等差數(shù)列的前m項和，稱作“對M的m項劃分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，稱作“對9的3項劃分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，稱作“對64的4項劃分”.據(jù)此，對324的18項劃分中最大的數(shù)是_____.35解析設對324的18項劃分中最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a18，拓廣探究1234567891011121314151615.(多選)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列選項中可能是Sn所對應的函數(shù)的圖象的是√√√12345678910111213141516解析因為Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，所以Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù)，n∈N*)，則其對應函數(shù)為y＝ax2＋bx.當a＝0時，該函數(shù)的圖象是過原點的直線上一些孤立的點，如選項C；當a≠0時，該函數(shù)的圖象是過原點的拋物線上一些孤立的點，如選項A，B；選項D中的曲線不過原點，不符合題意.16.已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，前n項和為Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；1234567891011121314151612345678910111213141516解∵S4＝28，∴a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴