四川省宜賓市興文縣2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page19高二上期期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由共軛復(fù)數(shù)的定義得出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】解：由題可知，.故選：D.2.已知直線：與直線：相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值是（）A.0 B.1 C.-1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線：與直線：相互垂直，列出方程，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€：與直線：相互垂直，所以，解得.故答案為：A.3.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與直線的傾斜角互補(bǔ)，則直線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求出直線l的斜率，然后利用斜截式即可寫出直線的方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一般式方程即可.【詳解】因?yàn)榕c直線的傾斜角互補(bǔ)，而直線的斜率為，所以直線l的斜率為，則直線l的方程為，即．故選：A4.在四面體中，，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】，故選：C.5.“幸福感指數(shù)”是指人們主觀地評(píng)價(jià)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高．現(xiàn)隨機(jī)抽取10位某小區(qū)居民，他們的幸福感指數(shù)分別為3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.7.5 B.8 C.8.5 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大的排序是:3，4，5，5，6，6，7，8，9，10且，故第75百分位數(shù)為從小到大排列的第8項(xiàng)數(shù)據(jù)為8.故選:B6.若過橢圓的上頂點(diǎn)與左頂點(diǎn)的直線方程為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出、的值，進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】在直線方程中，令，得，得到橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，令，得，得到橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C.7.已知圓與圓，則兩圓位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.相離【答案】A【解析】【分析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，即可判斷位置關(guān)系.【詳解】對(duì)圓，其圓心，半徑；對(duì)圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.8.若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為,則實(shí)數(shù)的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】利用垂徑定理，結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式求解.【詳解】由圓可知，圓心，半徑為：，若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則由垂徑定理可知圓心到直線的距離：，故，解得或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的求解，考查點(diǎn)到線距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸上的截距是2B.直線經(jīng)過第一、二、三象限C.過點(diǎn)，且傾斜角為90°的直線方程為D.過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線相關(guān)概念一一對(duì)答案進(jìn)行核對(duì)即可?！驹斀狻繉?duì)于A:令時(shí)，，故在y軸上的截距是2，A錯(cuò).對(duì)于B:直線的斜率為2，在軸上的截距分別為，故直線經(jīng)過第一、二、三象限，B對(duì).對(duì)于C:過點(diǎn)，傾斜角為90°的直線方程為，故C對(duì).對(duì)于D:當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：，把點(diǎn)代人直線得，所以直線方程為：，當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為：，把點(diǎn)代人直線得，直線方程為：，故D錯(cuò).故選：BC10.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“至少一枚點(diǎn)數(shù)為1”，“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)一奇一偶”，“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為8”，“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”判斷下列結(jié)論，正確的有（）A. B.B，D為對(duì)立事件C.A，C為互斥事件 D.A，D相互獨(dú)立【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，寫出各事件包含的基本事件，再根據(jù)對(duì)立事件，互斥事件，相互獨(dú)立事件的概念討論求解即可.【詳解】根據(jù)題意，用數(shù)對(duì)表示拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的結(jié)果，共包含36個(gè)基本事件.事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，，，事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，，，由于事件中的元素均在事件中，則，故A正確；事件與事件互斥，且并集為必然事件，故B，D為對(duì)立事件，故B正確；事件與事件是不可能同時(shí)發(fā)生，故A，C為互斥事件，故C正確；由題知，，事件包含的基本事件有，，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知橢圓的左?右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.的周長(zhǎng)為6B.的最大面積為C.存在點(diǎn)使得D.的最大值為7【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，利用橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，由此判斷即可；對(duì)于B，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，可得的面積最大，從而得以判斷；對(duì)于C，由可得點(diǎn)的軌跡，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)即可判斷得點(diǎn)的軌跡與橢圓沒有交點(diǎn)，由此得以判斷；對(duì)于D，利用橢圓的定義，結(jié)合三角形邊長(zhǎng)的不等式可得，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓，所以，則，所以的周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，則的面積最大，所以，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)存在點(diǎn)使得，則，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓，則，因?yàn)闄E圓上的任一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離是短軸頂點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，由可知，圓與橢圓沒有交點(diǎn)，所以假設(shè)不成立，即不存在點(diǎn)P使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)A易得，又，所以，所以，故D正確.故選：BD..12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，則以下說法正確的是（）A.點(diǎn)為的中點(diǎn)B.三棱錐的體積為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.過點(diǎn)、、作正方體的截面，所得截面的面積是【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到點(diǎn)為的中點(diǎn)；B選項(xiàng)，求出點(diǎn)到平面EFG的距離，利用余弦定理及三角形面積公式得到，得到三棱錐的體積；C選項(xiàng)，利用空間向量求解線面角的大小；D選項(xiàng)，作出輔助線得到過點(diǎn)、、作正方體的截面為正六邊形，得到其面積即可.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面EFG的法向量為，則，令，則，故，A選項(xiàng)，設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，所以，即，解得：，故，故，，所以，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，A正確；設(shè)點(diǎn)到平面EFG的距離為d，則，又，，，即，由余弦定理得：，故，則，由三角形面積公式可得：，故三棱錐的體積為，B正確；，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，C正確；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則過點(diǎn)、、作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長(zhǎng)為，正六邊形的面積為則截面面積為，D錯(cuò)誤.故選：ABC第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的特征求解作答.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：14.若方程表示圓，則的取值范圍為________.【答案】或【解析】【分析】由圓的一般方程寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得參數(shù)取值范圍.【詳解】由圓的一般方程寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，，即由，可得或.故答案為：或15.若方程所表示的曲線為橢圓，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓列不等式組，由此求得的取值范圍.【詳解】表示橢圓，所以.故答案為：16.已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】先把圓上存在點(diǎn)使得，轉(zhuǎn)化為圓與圓相交，利用，解不等式即可.【詳解】因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為90°，而，所以以AB為直徑的圓與圓存在公共點(diǎn)，故兩圓相交或相切，所以解得.故答案為：【點(diǎn)睛】圓C1和圓C2的半徑分別為R和r，圓心距為d，圓與圓的位置關(guān)系由5種：（1）相離；（2）相外切；（3）相交；（4）相內(nèi)切；（5）相內(nèi)含；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.分別根據(jù)下列條件求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）一個(gè)焦點(diǎn)為（2）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得a，c，然后由求出b，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)已知橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)所求橢圓方程為，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合即可求解.【小問1詳解】由題知，，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，又，所以，所以，橢圓方程為.【小問2詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)所求橢圓方程為，則有，解得，所以所求橢圓方程為.18.浙江某校為了了解學(xué)生的體育鍛煉時(shí)間，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取了100名學(xué)生，對(duì)其平均每日參加體育鍛煉的時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行調(diào)查，按平均每日體育鍛煉時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)如下表：分組男生人數(shù)216181863女生人數(shù)3209221若將平均每日參加體育鍛煉的時(shí)間不低于120分鐘的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)人”.（1）若將頻率視為概率，估計(jì)該校3500名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”有多少？（2）從這100名學(xué)生的“鍛煉達(dá)人”中按性別分層抽取8人參加某項(xiàng)體育活動(dòng).①求男生和女生各抽取了多少人；②若從這8人中隨機(jī)抽取2人作為組長(zhǎng)候選人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.【答案】（1）（人）（2）①男生抽取6人，女生抽取2人；②【解析】【分析】（1）求出100名學(xué)生中的“鍛煉達(dá)人”人數(shù)，可得3500名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”的人數(shù)；（2）①因?yàn)?00名學(xué)生“鍛煉達(dá)人”按性別中的男女之比為，可得男生和女生各抽取的人數(shù)；②求出從8人中隨機(jī)抽取2人的基本事件，根據(jù)古典概型求解即可.【小問1詳解】由表可知，100名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”的人數(shù)為12人，若將頻率視為概率，該校3500名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”的人數(shù)為（人）；【小問2詳解】①由（1）知100名學(xué)生中的“鍛煉達(dá)人”有12人，其中男生9人，女生3人.從12人中按性別分層抽取8人參加體育活動(dòng)，則男生抽取6人，女生抽取2人.②抽取的8人中有6名男生和2名女生，6名男生依次編號(hào)為，2名女生依次編號(hào)為，則8人中隨機(jī)抽取2人的所有結(jié)果為,,，，，，，，,,有28種結(jié)果，且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.記“抽取的2人中男生和女生各1人”為事件，則事件包含的結(jié)果有12個(gè)，故.19.在中，邊上的高所在的直線的方程為，角的平分線所在直線的方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo);（2）求直線的方程;（3）求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)求法直接求解；（2）根據(jù)兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)斜式求解；（3）利用直線的斜率公式求解即可.【小問1詳解】直線和直線交點(diǎn)是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】因?yàn)橹本€為BC邊上的高，由垂直關(guān)系得，所以直線的方程為，即.【小問3詳解】因?yàn)榻堑钠椒志€所在直線的方程為，，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，解得，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為.20.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)分別為.（1）求外接圓的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）先設(shè)圓的方程為，根據(jù)圓過，，三點(diǎn)，列出方程組，即可求出結(jié)果；（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況，分別用代數(shù)法聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A過三點(diǎn)，所以有，解得，，∴外接圓的方程為，即.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，得或，此時(shí)弦長(zhǎng)為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由于圓心到該直線的距離為，故，解得，∴直線的方程為，即.綜上可得，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的方程，以及已知弦長(zhǎng)求直線方程的問題，通常需要聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解，屬于?？碱}型.21.如圖，矩形所在平面，，、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明面，可證得面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)由向量的夾角公式先求解線面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，.（1）證明：∵，，為中點(diǎn)，∴，，∴是平行四邊形，，又∵，，∴面，∴面面.∵，為中點(diǎn)，面，∴面，∵面，∴平面平面.（2）建立如圖所示坐標(biāo)系，，，，，，，.由（1）知面，∴，.∵直線與平面所成角的正弦值為，∴由得.設(shè)為面的法向量，則，.由得，，∵面，，設(shè)二面角為，為銳角，則，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面和面面垂直的判斷及性質(zhì)，利用空間直線坐標(biāo)