高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專(zhuān)題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

專(zhuān)題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1.與向量線性運(yùn)算相結(jié)合，考查平面向量基本定理、數(shù)量積、向量的夾角、模的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積、向量的夾角、模的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．以平面圖形為載體，考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).（三）平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線?x1y2－x2y1＝0.（四）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))（五）平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積等于__它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__兩個(gè)向量垂直a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__提醒：a∥b與a⊥b所滿足的坐標(biāo)關(guān)系不同．a(chǎn)∥b?x1y2＝x2y1；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.（六）常用結(jié)論1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))【?？碱}型剖析】題型一：平面向量基本定理的應(yīng)用例1.(2023·四川·高考真題（理））設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點(diǎn)M，N滿足，則（）A．20 B．15 C．9 D．6例2．(2023·天津·高考真題（文））在中，，，.若，，且，則的值為_(kāi)_____________.【總結(jié)提升】平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．題型二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例3.(2023·全國(guó)·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5例4.(2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6例5.(2023·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2例6.(2023·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______．【總結(jié)提升】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．題型三：平面向量共線的坐標(biāo)表示例7.（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知向量，若，則_________．例8．（2023·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高三階段練習(xí)）已知，，.(1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，，若與平行，求實(shí)數(shù)k的值.【總結(jié)提升】平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若，則的充要條件是”解題比較方便．題型四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例9.【多選題】（2023·全國(guó)·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．例10.（2023·天津·高考真題（文））在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則__________.例11．（2023·北京·高考真題）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足，則_________；_________．【總結(jié)提升】1.計(jì)算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．(3)坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解．2.總結(jié)提升：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的，沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是書(shū)寫(xiě)形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．題型五：平面向量的模、夾角例12．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量，，，則（

）A．6 B．5 C．8 D．7例13.(2023·浙江高考真題）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?A．3?1B．3+1例14.（2023·湖南·高考真題）已知向量，，則___________例15.（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知向量，則___________.例16.(2023·山東·高考真題（理））已知，是互相垂直的單位向量，若

與λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是__．【總結(jié)提升】1.求向量夾角問(wèn)題的方法(1)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系；(2)若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．2．平面向量模問(wèn)題的類(lèi)型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．題型六：兩個(gè)向量垂直問(wèn)題例17．(2023·全國(guó)·高考真題（理））已知向量，且，則m=（）A．?8 B．?6C．6 D．8例18．(2023·全國(guó)·高考真題（文））已知向量．若，則______________．例19．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．例20．（2023·全國(guó)高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.【規(guī)律方法】1．利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值（涉及向量垂直問(wèn)題為高頻考點(diǎn)）根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．3.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標(biāo)表示如下：a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．兩個(gè)結(jié)論不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)，分別簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相等，橫橫縱縱積相反．專(zhuān)題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1.與向量線性運(yùn)算相結(jié)合，考查平面向量基本定理、數(shù)量積、向量的夾角、模的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積、向量的夾角、模的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．以平面圖形為載體，考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).（三）平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線?x1y2－x2y1＝0.（四）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))（五）平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積等于__它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__兩個(gè)向量垂直a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__提醒：a∥b與a⊥b所滿足的坐標(biāo)關(guān)系不同．a(chǎn)∥b?x1y2＝x2y1；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.（六）常用結(jié)論1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))【?？碱}型剖析】題型一：平面向量基本定理的應(yīng)用例1.(2023·四川·高考真題（理））設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點(diǎn)M，N滿足，則（）A．20 B．15 C．9 D．6答案：C【解析】分析：根據(jù)圖形得出,,,結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,點(diǎn)M、N滿足,根據(jù)圖形可得:,,,,,,，，故選C.例2．(2023·天津·高考真題（文））在中，，，.若，，且，則的值為_(kāi)_____________.答案：【解析】【詳解】,則.【總結(jié)提升】平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．題型二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例3.(2023·全國(guó)·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】分析：先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D例4.(2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6答案：C【解析】分析：利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C例5.(2023·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2答案：A【解析】【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.例6.(2023·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案：3【解析】【詳解】分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求結(jié)果.詳解：設(shè)，則由圓心為中點(diǎn)得易得，與聯(lián)立解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以.所以，由得或，因?yàn)?，所以【總結(jié)提升】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．題型三：平面向量共線的坐標(biāo)表示例7.（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知向量，若，則_________．答案：【解析】分析：利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.例8．（2023·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高三階段練習(xí)）已知，，.(1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，，若與平行，求實(shí)數(shù)k的值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)題意設(shè)，寫(xiě)出的坐標(biāo)，根據(jù)向量相等的坐標(biāo)關(guān)系求解；（2）直接根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式求解即可.(1)設(shè)，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，得，所?(2)由題意得，，，所以，，因?yàn)榕c平行，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的值為.【總結(jié)提升】平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若，則的充要條件是”解題比較方便．題型四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例9.【多選題】（2023·全國(guó)·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】分析：A、B寫(xiě)出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來(lái)說(shuō)故錯(cuò)誤；故選：AC例10.（2023·天津·高考真題（文））在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則__________.答案：.【解析】分析：建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別寫(xiě)出向量而求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，．因?yàn)椤?，，所以，因?yàn)椋?，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為．由得，，所以．所以．例11．（2023·北京·高考真題）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足，則_________；_________．答案：

【解析】分析：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得以及的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，，，因此，，.故答案為：；.【總結(jié)提升】1.計(jì)算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．(3)坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解．2.總結(jié)提升：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的，沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是書(shū)寫(xiě)形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．題型五：平面向量的模、夾角例12．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量，，，則（

）A．6 B．5 C．8 D．7答案：D【解析】分析：先求出，再將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由得：，由得，即得，故選：D例13.(2023·浙江高考真題）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?A．3?1B．3+1答案：A【解析】設(shè)a=(x,y),則由a,e=由b2?4因此|a?b|的最小值為圓心(2,0)到直線y=±3【思路點(diǎn)撥】先確定向量a,例14.（2023·湖南·高考真題）已知向量，，則___________答案：分析：利用向量模的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】，所以.故答案為：例15.（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知向量，則___________.答案：【解析】分析：根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】．例16.(2023·山東·高考真題（理））已知，是互相垂直的單位向量，若

與λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是__．答案：【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【總結(jié)提升】1.求向量夾角問(wèn)題的方法(1)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系；(2)若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．2．平面向量模問(wèn)題的類(lèi)型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向