高一數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)微專(zhuān)題提分精練(人教A版必修第一冊(cè))微專(zhuān)題25任意角與三角函數(shù)的定義(原卷版+解析)

微專(zhuān)題25任意角與三角函數(shù)的定義【方法技巧與總結(jié)】知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號(hào)是一個(gè)整體，離開(kāi)的、、等是沒(méi)有意義的，它們表示的是一個(gè)比值，而不是、、與的積．知識(shí)點(diǎn)二：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)嚎谠E的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識(shí)點(diǎn)三、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【題型歸納目錄】題型一：任意角弧度與角度題型二：扇形弧長(zhǎng)與面積題型三：三角函數(shù)定義【典型例題】題型一：任意角弧度與角度例1．給出下列四個(gè)命題：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正確的命題有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．考生你好，本場(chǎng)考試需要2小時(shí)，在本場(chǎng)考試中，鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為A． B． C． D．例3．如果角與具有相同的終邊，角與具有相同的終邊，那么與之間的關(guān)系是A． B． C．， D．，變式1．已知為第二象限的角，則所在的象限是A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限變式2．已知是第二象限角，則與都不是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角變式3．下列終邊相同的角是A．與， B．與， C．與， D．與，變式4．寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合，并在范圍內(nèi)找出與其終邊相同的角，判斷它是第幾象限角．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．變式5．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在軸的非負(fù)半軸上，在范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角．（1）；（2）；（3）．變式6．現(xiàn)在是8點(diǎn)5分，經(jīng)過(guò)2小時(shí)15分鐘后，鐘表上的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是多少？變式7．用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（包括邊界，如圖所示）．變式8．如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（不包括邊界）．題型二：扇形弧長(zhǎng)與面積例4．2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是A． B． C． D．例5．弧長(zhǎng)為的扇形的圓心角為，則此扇形所在圓的半徑為，此扇形的面積為．例6．已知扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)它的半徑為和圓心角為弧度時(shí)，扇形的面積最大，這個(gè)最大面積是．變式9．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以，為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是．變式10．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧和其所對(duì)弦圍成的圖形，若弧田的弧長(zhǎng)為，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦長(zhǎng)是，弧田的面積是．變式11．有一扇形其弧長(zhǎng)為6，半徑為3，則該扇形面積為9該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為．變式12．有一扇形其弧長(zhǎng)為6，半徑為3，則該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為，扇形面積為．變式13．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其中《方田》章給出了“弧田”，“弦”和“矢”的定義，“弧田”（如圖陰影部分所示）是由圓弧和弦圍成，“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，（1）當(dāng)圓心角為，矢為2時(shí)，求弧田（如圖陰影部分所示）的面積；（2）已知該扇形圓心角是，半徑為，扇形周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？變式14．已知一扇形的圓心角是，所在圓的半徑是．（1）若，，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？題型三：三角函數(shù)定義例7．點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．例8．點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．例9．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則A．8 B． C． D．變式15．已知點(diǎn)在第二象限，則角的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式16．若三角方程與的解集分別為，，則A． B． C． D．變式17．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則A． B． C． D．變式18．已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則可以是A． B． C． D．變式19．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在射線(xiàn)上，則的值為．變式20．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊在第二象限．變式21．若角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線(xiàn)上，且，求，，的值．變式22．對(duì)于①，②，③，④，⑤與⑥，選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式序號(hào)填空：（1）角為第一象限角的充要條件是①③⑤；（2）角為第二象限角的充要條件是；（3）角為第三象限角的充要條件是；（4）角為第四象限角的充要條件是．微專(zhuān)題25任意角與三角函數(shù)的定義【方法技巧與總結(jié)】知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號(hào)是一個(gè)整體，離開(kāi)的、、等是沒(méi)有意義的，它們表示的是一個(gè)比值，而不是、、與的積．知識(shí)點(diǎn)二：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)嚎谠E的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識(shí)點(diǎn)三、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【題型歸納目錄】題型一：任意角弧度與角度題型二：扇形弧長(zhǎng)與面積題型三：三角函數(shù)定義【典型例題】題型一：任意角弧度與角度例1．給出下列四個(gè)命題：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正確的命題有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】解：①是第三象限角，①不正確，②是第三象限角，②正確，③是第四象限角，③正確，④是第一象限角．正確，故選：．例2．考生你好，本場(chǎng)考試需要2小時(shí)，在本場(chǎng)考試中，鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為A． B． C． D．【解析】解：鐘表的時(shí)針按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為，故選：．例3．如果角與具有相同的終邊，角與具有相同的終邊，那么與之間的關(guān)系是A． B． C．， D．，【解析】解：，整數(shù)故選：．變式1．已知為第二象限的角，則所在的象限是A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限【解析】解：因?yàn)闉榈诙笙薜慕?，所以為第一或第三象限的角，所以為第二或第四象限的角，所以為第二或第四象限的角．故選：．變式2．已知是第二象限角，則與都不是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【解析】解：是第二象限角，，，，，是第一象限或第三象限角，，是第一象限或第四象限角，與都不是第二象限角．故選：．變式3．下列終邊相同的角是A．與， B．與， C．與， D．與，【解析】解：與都表示奇數(shù)，與，表示終邊相同的角．故選：．變式4．寫(xiě)出與下列各角終邊相同的角的集合，并在范圍內(nèi)找出與其終邊相同的角，判斷它是第幾象限角．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】解：在平面直角坐標(biāo)系中：由圖形可知：（4）是第三象限角，在范圍內(nèi)，是與其終邊相同的角；（2）是第四象限角，在范圍內(nèi)，是與其終邊相同的角；（3）是第一象限角，在范圍內(nèi)，是與其終邊相同的角；（4）是第三象限角，在范圍內(nèi)，是與其終邊相同的角；（5）是第二象限角，在范圍內(nèi)，是與其終邊相同的角．變式5．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在軸的非負(fù)半軸上，在范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角．（1）；（2）；（3）．【解析】解：（1）因?yàn)?，所以在范圍?nèi)，終邊與相同的角是，它是第一象限角；（2）因?yàn)?，所以在范圍?nèi)，終邊與相同的角是，它是第四象限角；（3）因?yàn)?，所以在范圍?nèi)，終邊與相同的角是，它是第三象限角．變式6．現(xiàn)在是8點(diǎn)5分，經(jīng)過(guò)2小時(shí)15分鐘后，鐘表上的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是多少？【解析】解：時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)了，即，則每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)了，而分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)了，即，故2小時(shí)15分鐘后，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了；分針轉(zhuǎn)過(guò)了，2小時(shí)15分鐘后為10點(diǎn)20分．此時(shí)如右圖所示，分針指向4，時(shí)針則由10轉(zhuǎn)過(guò)了．變式7．用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（包括邊界，如圖所示）．【解析】解：（1）圖（1）陰影部分內(nèi)的角的集合為，（2）圖（2）陰影部分內(nèi)的角的集合為，變式8．如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（不包括邊界）．【解析】解：圖1所表示的角的集合：，．圖2終邊落在陰影部分的角的集合．，或．題型二：扇形弧長(zhǎng)與面積例4．2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是A． B． C． D．【解析】解：內(nèi)接正邊形的邊長(zhǎng)為，故其周長(zhǎng)為，外切正邊形的邊長(zhǎng)為，故其周長(zhǎng)為，兩個(gè)周長(zhǎng)的算術(shù)平均數(shù)為，故．故選：．例5．弧長(zhǎng)為的扇形的圓心角為，則此扇形所在圓的半徑為12，此扇形的面積為．【解析】解：設(shè)圓的半徑為，扇形面積為，由弧長(zhǎng)，扇形的圓心角為，得，則；．故答案為：12；．例6．已知扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)它的半徑為和圓心角為弧度時(shí)，扇形的面積最大，這個(gè)最大面積是．【解析】解：扇形的周長(zhǎng)為，，即，當(dāng)半徑時(shí)，扇形的面積最大為，此時(shí)，，故答案為：，2，變式9．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以，為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是．【解析】解：如圖所示：，設(shè)的中點(diǎn)為，兩半圓交于點(diǎn)，連接，則，設(shè)扇形的半徑為，，，，，兩個(gè)圓的弧圍成的陰影部分的面積為，圖中陰影部分的面積為，此點(diǎn)取自陰影部分的概率是．故答案為：．變式10．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧和其所對(duì)弦圍成的圖形，若弧田的弧長(zhǎng)為，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦長(zhǎng)是，弧田的面積是．【解析】解：如圖，弧田的弧長(zhǎng)為，弧所在的圓的半徑為6，，可得，，，弧田的面積．故答案為：，．變式11．有一扇形其弧長(zhǎng)為6，半徑為3，則該扇形面積為9該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為．【解析】解：扇形其弧長(zhǎng)為6，半徑為3，扇形所對(duì)的圓心角，扇形面積．由余弦定理可得該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為：．故答案為：9，．變式12．有一扇形其弧長(zhǎng)為6，半徑為3，則該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為，扇形面積為．【解析】解：扇形其弧長(zhǎng)為6，半徑為3，扇形所對(duì)的圓心角，由余弦定理可得該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為：．扇形面積．故答案為：，9．變式13．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其中《方田》章給出了“弧田”，“弦”和“矢”的定義，“弧田”（如圖陰影部分所示）是由圓弧和弦圍成，“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，（1）當(dāng)圓心角為，矢為2時(shí)，求弧田（如圖陰影部分所示）的面積；（2）已知該扇形圓心角是，半徑為，扇形周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？【解析】解：（1）由題意，如下圖所示，，令圓弧的半徑為，為，，即，解得，弧田面積，，．（2）由題意知弧長(zhǎng)為，即該扇形周長(zhǎng)，扇形面積，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故為2弧度時(shí)，該扇形面積最大．變式14．已知一扇形的圓心角是，所在圓的半徑是．（1）若，，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？【解析】解：（1）設(shè)弧長(zhǎng)為，弓形面積為，，，．．（2）扇形周長(zhǎng)，，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，扇形面積最大．題型三：三角函數(shù)定義例7．點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【解析】解：點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，所以，所以，，所以．故選：．例8．點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【解析】解：點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，所以，所以，，所以．故選：．例9．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則A．8 B． C． D．【解析】解：角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，，，，，故選：．變式15．已知點(diǎn)在第二象限，則角的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】解：已知點(diǎn)在第二象限，，，則角的終邊在第三象限，故選：．變式16．若三角方程與的解集分別為，，則A． B． C． D．【解析】解：由題意，，由，得出，．故，，，可以得出，反之不成立，故是的真子集，符