高中數(shù)學(xué)選擇性必修三課件：7 4 2 第1課時(shí) 超幾何分布(人教A版)

第1課時(shí)超幾何分布第七章7.4.2超幾何分布1.理解超幾何分布的概念及特征.2.會(huì)用超幾何分布解決一些簡單的實(shí)際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)語為促進(jìn)各學(xué)校的共同發(fā)展，學(xué)校之間派部分老師相互交流.已知一學(xué)校派出16名一級教師，4名高級教師組成一隊(duì)伍去相互交流學(xué)習(xí)，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去甲學(xué)校，設(shè)X表示其中高級教師的人數(shù).則X的可能取值有哪些，你能求出當(dāng)X＝2時(shí)對應(yīng)的概率嗎？這里的X的概率分布有怎樣的規(guī)律？隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練內(nèi)容索引一、超幾何分布二、超幾何分布的概率三、超幾何分布的分布列一、超幾何分布問題已知在10件產(chǎn)品中有4件次品，分別采取有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取3件，設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，試寫出X的分布列.若采用不放回抽樣，“X＝k”，k＝0,1,2,3表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有k件次品”，這意味著，從4件次品中取出k件，知識梳理超幾何分布：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝_________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.注意點(diǎn)：(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n件”.(2)超幾何分布的特點(diǎn)：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實(shí)質(zhì)是古典概型.例1下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由.(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；解(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題.例1下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由.(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；解(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題.(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只，任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(4)某班級有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列；解(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布.(5)現(xiàn)有100臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列.解題中沒有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無法計(jì)算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問題.反思感悟判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布(1)總體是否可分為兩類明確的對象.(2)是否為不放回抽樣.(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB.從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出

女生的人數(shù)為XC.某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸

出黑球時(shí)的總次數(shù)√√√解析由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選ACD.(2)一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù).這四種變量中服從超幾何分布的是A.①② B.③④

C.①②④ D.①②③④√解析由超幾何分布的概念知③④符合，故選B.(2)一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù).這四種變量中服從超幾何分布的是A.①② B.③④

C.①②④ D.①②③④√解析由超幾何分布的概念知③④符合，故選B.二、超幾何分布的概率例2現(xiàn)有來自甲、乙兩班學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率為

.(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；解設(shè)甲班的學(xué)生人數(shù)為M，即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去).∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共有3人.(2)設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求ξ≥1的概率.解由題意可知，ξ服從超幾何分布.∴P(ξ

≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)反思感悟超幾何分布的概率計(jì)算公式給出了求解這類問題的方法，可以直接運(yùn)用公式求解，但是不能機(jī)械地記憶公式，要在理解公式意義的前提下進(jìn)行記憶.跟蹤訓(xùn)練2某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù).求至少有2名男生參加數(shù)學(xué)競賽的概率.解依題意，得隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且N＝10，M＝6，n＝4，方法一(直接法)方法二(間接法)由分布列的性質(zhì)，得P(X≥2)＝1－P(X<2)三、超幾何分布的分布列例3袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機(jī)抽取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球.(1)求得分X的分布列；解從袋中任取4個(gè)球的情況為1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8.故所求分布列為(2)求得分大于6分的概率.反思感悟求超幾何分布的分布列的步驟跟蹤訓(xùn)練3在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；解設(shè)“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”為事件M，(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.解由題意知，X的可能取值為0,1,2,3,4，則因此X的分布列為1.知識清單：(1)超幾何分布的概念及特征.(2)超幾何分布的概率及分布列.2.方法歸納：公式法.3.常見誤區(qū)：判斷隨機(jī)變量是不是超幾何分布.課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有A.在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到

的次品數(shù)為XB.從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中

甲型彩電的臺(tái)數(shù)C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的個(gè)

數(shù)為隨機(jī)變量XD.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動(dòng)，其中男生人數(shù)記為X1234√√√解析依據(jù)超幾何分布模型定義可知，ABD中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.12342.盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則恰好取出2個(gè)紅球的概率是1234√解析設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為X，易知X服從超幾何分布.1234√3.從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張是A的概率為解析設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)，4.某導(dǎo)游團(tuán)有外語導(dǎo)游10人，其中6人會(huì)說日語，現(xiàn)要選出4人去完成一項(xiàng)任務(wù)，則有2人會(huì)說日語的概率為_____.1234課時(shí)對點(diǎn)練1.(多選)關(guān)于超幾何分布，下列說法正確的是A.超幾何分布的模型是不放回抽樣B.超幾何分布的總體里可以有兩類或三類C.超幾何分布中的參數(shù)是N，M，nD.超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析由超幾何分布的定義易知A，C，D均正確，因?yàn)槌瑤缀畏植嫉目傮w里只有差異明顯的兩類，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.√√12345678910111213141516√2.在100張獎(jiǎng)券中，有4張能中獎(jiǎng)，從中任取2張，則2張都能中獎(jiǎng)的概率是3.設(shè)袋中有8個(gè)紅球，4個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中至多3個(gè)紅球的概率為12345678910111213141516√解析從袋中任取4個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)X服從參數(shù)為N＝12，M＝8，n＝4的超幾何分布，4.一個(gè)盒子里裝有大小相同的10個(gè)黑球，12個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X，則下列概率等于

的是A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)C.P(X＝1) D.P(X＝2)12345678910111213141516√解析本題相當(dāng)于求至多取出1個(gè)白球的概率，即取到1個(gè)白球或沒有取到白球的概率.5.盒中有10個(gè)螺絲釘，其中有3個(gè)是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，則概率是

的事件為A.恰有1個(gè)是壞的 B.4個(gè)全是好的C.恰有2個(gè)是好的 D.至多有2個(gè)是壞的12345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)“X＝k”表示“取出的螺絲釘恰有k個(gè)是好的”，6.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)課本共7本(其中語文課本不少于2本)，從中任取2本，至多有1本語文課本的概率是

，則語文課本有A.2本B.3本C.4本D.5本12345678910111213141516√解析設(shè)語文課本有n本，則數(shù)學(xué)課本有(7－n)本(n≥2)，所以n2－n－12＝0，所以n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.123456789101112131415167.某手機(jī)經(jīng)銷商從已購買某品牌手機(jī)的市民中抽取20人參加宣傳活動(dòng)，這20人中年齡低于30歲的有5人.現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部手機(jī)，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X＝1)＝_____.123456789101112131415168.有同一型號的電視機(jī)100臺(tái)，其中一級品97臺(tái)，二級品3臺(tái)，從中任取4臺(tái)，則二級品不多于1臺(tái)的概率為____________(用式子表示).解析二級品不多于1臺(tái)，即一級品有3臺(tái)或4臺(tái)，123456789101112131415169.老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；12345678910111213141516解設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，X的可能取值為0,1,2,3，且服從超幾何分布，所以X的分布列為12345678910111213141516(2)他能及格的概率.1234567891011121314151610.某高中為更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活情況，以便給學(xué)生提供必要的幫助，在高一、高二、高三這三個(gè)年級分別邀請了10,15,25名學(xué)生代表進(jìn)行調(diào)研.(1)從參加調(diào)研的學(xué)生代表中，隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生代表來自不同年級的概率；12345678910111213141516根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，記“2名學(xué)生代表來自不同年級”為事件M，12345678910111213141516(2)從參加調(diào)研的高一、高二年級學(xué)生代表中隨機(jī)抽取2名，且X表示抽到的高一年級學(xué)生代表人數(shù)，求X的分布列.12345678910111213141516解高一、高二年級分別有10,15名學(xué)生代表參加調(diào)研，從中抽取2名，抽到的高一年級的學(xué)生代表人數(shù)X的所有可能取值為0,1,2.所以X的分布列為綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.在某次學(xué)校的春游活動(dòng)中，高二(2)班設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)游戲：一個(gè)紙箱里放了5個(gè)紅球和5個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，若一次性從中摸出5個(gè)球，摸到4個(gè)或4個(gè)以上紅球即中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率是(精確到0.001)A.0.114B.0.112C.0.103D.0.121√12345678910111213141516解析設(shè)摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝5，n＝5，12345678910111213141516√12.在10個(gè)排球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品，從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為12345678910111213141516解析正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，13.(多選)10名同學(xué)中有a名女生，若從中抽取2個(gè)人作為學(xué)生代表，恰抽取1名女生的概率為

，則a等于A.1B.2C.4D.812345678910111213141516√整理，得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或8.√1234567891011121314151614.袋中裝有5個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從袋中任取4個(gè)球，取到1個(gè)紅球得3分，取到1個(gè)黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則X≥8的概率P(X≥8)＝____.拓廣探究1234567891011121314151615.50張彩票中只有2張中獎(jiǎng)票，今從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0.5，n至少為_____.151234567891011121314151616.在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)為X的分布列；12345678910111213141516那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為∴隨機(jī)變量X的分布列為12345678910111213141516(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率.12345678910111213141516解設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，12345678910111213141516∴取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為備用工具&資料12345678910111213141516解設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等