2024遼寧中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 4.5 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 (課件)

第五節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

遼寧近年中考真題精選1

考點(diǎn)精講2遼寧近年中考真題精選直角三角形的邊角關(guān)系A(chǔ).B.4C.D.1命題點(diǎn)1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，則BC的長(zhǎng)是(

)D第1題圖2.今年，我國(guó)海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動(dòng)，堅(jiān)決把“洋垃圾”拒于國(guó)門之外．如圖，某天我國(guó)一艘海監(jiān)船巡航到A港口正西方的B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)在B的北偏東60°方向，相距150海里處的C點(diǎn)有一可疑船只正沿CA方向行駛，C點(diǎn)在A港口的北偏東30°方向上，海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(撫本鐵遼葫近5年連續(xù)考查)2命題點(diǎn)

類型一“母子型”及拓展第2題圖從A港口沿AC方向駛出，在D處成功攔截住可疑船只，此時(shí)D點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為75海里．(1)求B點(diǎn)到直線CA的距離；解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)B

作BH⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，第2題圖H∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°，∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×＝75海里．答：B點(diǎn)到直線CA的距離為75海里；第2題圖H(2)執(zhí)法船從A到D航行了多少海里？(結(jié)果保留根號(hào))(2)∵BD＝75，BH＝75，∴DH＝＝75.∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝＝，∴AH＝25.∴AD＝DH－AH＝(75－25)海里．答：執(zhí)法船從A到D航行了(75－25)海里．第2題圖H3.如圖，學(xué)校教學(xué)樓上懸掛一塊長(zhǎng)為3米的標(biāo)語(yǔ)牌，即CD＝3米，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明和小紅要測(cè)量標(biāo)語(yǔ)牌的底部D點(diǎn)到地面的距離．測(cè)角儀支架高AE＝BF＝1.2米，小明在E處測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌底部D點(diǎn)的仰角為31°，小紅在F處測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌頂部C點(diǎn)的仰角為45°，AB＝5米，依據(jù)他們測(cè)量的數(shù)據(jù)能否求出標(biāo)語(yǔ)牌底部D點(diǎn)到地面的距離DH的長(zhǎng)？若能，請(qǐng)計(jì)算；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由(圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)，H在同一平面內(nèi))．(參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)第3題圖解：能．如解圖，延長(zhǎng)EF交CH于點(diǎn)N，第3題圖N∵∠CFN＝45°，∠DEN＝31°，∠CNF＝90°，∴∠FCN＝90°－45°＝45°.∴CN＝FN.設(shè)DN＝x，則FN＝CN＝x＋3，∴EN＝FN＋EF＝x＋3＋5＝x＋8.在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，第3題圖N∴DN＝EN·tan31°≈0.6EN，∴x≈0.6(x＋8)，解得x≈12.∴DH＝DN＋NH≈12＋1.2＝13.2米．答：標(biāo)語(yǔ)牌底部D點(diǎn)到地面的距離DH的長(zhǎng)約為13.2米．第4題圖4.如圖為某景區(qū)五個(gè)景點(diǎn)A、B、C、D、E的平面示意圖，B、A在C的正東方向，D在C的正北方向，D、E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C、D相距1000m，E在BD的中點(diǎn)處．(1)求景點(diǎn)B、E之間的距離；解：(1)由題意知∠DCB＝90°，∠D＝30°，CD＝1000，∴BD＝＝2000.又∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE＝BD＝1000m.答：景點(diǎn)B、E之間的距離是1000m；第4題圖(2)求景點(diǎn)B、A之間的距離．(結(jié)果保留根號(hào))(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，第4題圖F∵E是BD的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線．∴EF＝CD＝500.∵在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，∴AF＝EF＝500.∵在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，∴BF＝＝500，∴AB＝AF－BF＝(500－500)m.答：景點(diǎn)B、A之間的距離是(500－500)m.類型二“背對(duì)背型”及拓展類型(撫順、遼陽(yáng)3考；本溪2考；鐵嶺近5年連續(xù)考查，葫蘆島4考)5如圖，河的兩岸a，b互相平行，點(diǎn)A，B，C是河岸b上的三點(diǎn)，點(diǎn)P是河岸a上的一個(gè)建筑物，某人在河岸b上的A處測(cè)得∠PAB＝30°，在B處測(cè)得∠PBC＝75°，若AB＝80米，則河兩岸之間的距離約為_(kāi)_____米．(參考數(shù)據(jù)：

≈1.73，結(jié)果精確到0.1米)第5題圖54.66.景區(qū)A，B兩個(gè)景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A去景點(diǎn)B必須經(jīng)過(guò)C才能到達(dá)．現(xiàn)測(cè)得景點(diǎn)B在景點(diǎn)A的北偏東30°方向，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行600米到達(dá)C處，測(cè)得景點(diǎn)B在C處的北偏東75°方向．(1)求景點(diǎn)B和C處之間的距離；(結(jié)果保留根號(hào))第6題圖解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，D在Rt△ACD中，AC＝600，∠A＝30°，∴CD＝AC＝300，則∠ADC＝∠BDC＝90°，由題意知∠B＝75°－30°＝45°，∴BC＝米，答：景點(diǎn)B和C處之間的距離為

米；第6題圖D(2)當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，計(jì)劃修建一條從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B的筆直的跨湖大橋，大橋修建后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來(lái)少走多少米？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)(2)在Rt△ACD中，AC＝600，∠A＝30°，∴AD＝600×cos30°＝300，在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝300，∴AB＝AD＋BD＝300＋300，第6題圖D∴AC＋BC－AB＝600＋300－(300＋300)＝300＋300－300≈300＋424.2－519.6≈205米，答：從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B比原來(lái)少走約205米．第6題圖D第7題圖7.如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得大橋主架頂端A的仰角為30°，測(cè)得大橋主架與水面交匯點(diǎn)B的俯角為14°，觀測(cè)點(diǎn)與大橋主架的水平距離CM為60米，且AB垂直于橋面．(點(diǎn)A，B，C，M在同一平面內(nèi))(1)求大橋主架在橋面以上的高度AM；(結(jié)果保留根號(hào))解：(1)∵AB垂直于橋面，∴∠AMC＝∠BMC＝90°，在Rt△AMC中，CM＝60米，∠ACM＝30°，tan∠ACM＝，∴AM＝CM·tan30°＝60×＝20米．答：大橋主架在橋面以上的高度AM為20米；第7題圖(2)求大橋主架在水面以上的高度AB.(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73)(2)在Rt△BMC中，CM＝60米，∠BCM＝14°，tan∠BCM＝，∴MB＝CM·tan14°≈60×0.25＝15米，∵AB＝AM＋MB，∴AB＝20＋15≈50米．答：大橋主架在水面以上的高度AB約為50米．第7題圖8.如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問(wèn)題，計(jì)劃打通一條東西方向的隧道AB，無(wú)人機(jī)從點(diǎn)A的正上方點(diǎn)C，沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達(dá)點(diǎn)E，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為37°.(1)求無(wú)人機(jī)的高度AC(結(jié)果保留根號(hào))；第8題圖

解：(1)根據(jù)題意得CD＝8×15＝120，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD·tan∠ADC＝120×tan60°＝120m.答：無(wú)人機(jī)的高度AC為120m；第8題圖(2)求AB的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到1m)．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，第8題圖F則四邊形ABFC是矩形，∴BF＝AC＝120，CF＝AB，∵在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，∴EF＝∵CE＝8×(15＋50)＝520m，∴AB＝CF＝CE－EF≈520－276.8≈243m.答：隧道AB的長(zhǎng)度約為243m.F第8題圖9.如圖，某地質(zhì)公園中有兩座相鄰小山．游客需從左側(cè)小山山腳E處乘坐豎直觀光電梯上行100米到達(dá)山頂C處，然后既可以沿水平觀光橋步行到景點(diǎn)P處，也可以通過(guò)滑行索道到達(dá)景點(diǎn)Q處．在山頂C處觀測(cè)坡底A的俯角為75°，觀測(cè)Q處的俯角為30°，已知右側(cè)小山的坡角為30°.(圖中的點(diǎn)C，E，A，B，P，Q均在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A，Q，P在同一直線上)(1)求∠CAP的度數(shù)及CP的長(zhǎng)度；第9題圖解：(1)∵CP∥AB，∠ACP＝75°，∴∠EAC＝∠ACP＝75°.∵∠PAB＝30°，∴∠CAP＝180°－∠EAC－∠PAB＝75°.如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CP于點(diǎn)D，第9題圖D∵CP∥AB，∴AD＝CE＝100，∠APD＝∠PAB＝30°，∴AP＝2AD＝200.∵∠PCA＝∠PAC＝75°，∴CP＝AP＝200米．答：∠CAP的度數(shù)為75°，CP的長(zhǎng)度為200米；(2)求P，Q兩點(diǎn)之間的距離．(結(jié)果保留根號(hào))(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥CP于點(diǎn)F，第9題圖F∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，∴CQ＝PQ，PF＝PC＝100.∴PQ＝米．答：P，Q兩點(diǎn)之間的距離為米．10.如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量建筑物AB的高度，他們借助測(cè)角儀和皮尺進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下表．測(cè)量項(xiàng)目測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)角儀到地面的距離CD＝1.6m點(diǎn)D到建筑物的距離BD＝4m從C處觀測(cè)建筑物頂部A的仰角∠ACE＝67°從C處觀測(cè)建筑物底部B的俯角∠BCE＝22°第10題圖請(qǐng)根據(jù)需要，從上面表格中選擇3個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)，并利用你選擇的數(shù)據(jù)計(jì)算出建筑物AB的高度．(結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)(選擇一種方法解答即可)

解：選擇CD＝1.6m，BD＝4m，∠ACE＝67°，這3個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)．根據(jù)題意，四邊形BDCE為矩形，∴CE＝BD＝4m，BE＝CD＝1.6m，第10題圖在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE·tan∠ACE＝4×tan67°≈4×2.36＝9.44m，∴AB＝AE＋BE＝9.44＋1.6＝11.04≈11.0m，答：建筑物AB的高度約為11.0m.第10題圖類型三實(shí)物模型(本溪2考)11.小李要外出參加“建國(guó)70周年”慶?；顒?dòng)，需網(wǎng)購(gòu)一個(gè)拉桿箱，圖①，②分別是她上網(wǎng)時(shí)看到的某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE，箱長(zhǎng)BC，拉桿AB的長(zhǎng)度都相等，B，F(xiàn)在AC上，C在DE上，支桿DF＝30cm，CE∶CD＝1∶3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題：(1)求AC的長(zhǎng)度；(結(jié)果保留根號(hào))第11題圖解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，第11題圖G∴∠FGD＝∠FGC＝90°.在Rt△DGF中，∠CDF＝30°，∴FG＝FD·sin30°＝30×＝15，∴DG＝FD·cos30°＝30×＝15.在Rt△CGF中，∠DCF＝45°，∴CG＝FG＝15，∴CD＝CG＋DG＝15＋15.∵CE∶CD＝1∶3，∴CE＝CD＝×(15＋15)＝5＋5，∴DE＝EC＋CD＝5＋5＋15＋15＝20＋20.∵DE＝BC＝AB，∴AC＝AB＋BC＝2DE＝2(20＋20)＝(40＋40)cm.答：AC的長(zhǎng)度是(40＋40)cm；第11題圖G(2)求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離．(結(jié)果保留根號(hào))(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥ED交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，第11題圖H在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，∴AH＝AC·sin45°＝(40＋40)×＝(20＋20)cm.答：拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離是(20＋20)cm.定義特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形的常用關(guān)系三邊關(guān)系面積關(guān)系兩銳角關(guān)系邊與角關(guān)系銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用仰角、俯角近似數(shù)坡度(坡比)、坡角方向角銳角三角函數(shù)考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】北師：九下第一章P1～P27；人教：七上第一章P45～P48，九下第二十八章P60～P85.定義：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，則有：∠A的正弦：sinA＝

；∠A的余弦：cosA＝

；∠A的正切：tanA＝

,圖1α30°45°60°

sinα

_____

cosα

_____

tanα

_____三角函數(shù)三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值α0°，45°，6