2023-2024學年上海市普陀區(qū)曹楊二中高一（下）期末數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年上海市普陀區(qū)曹楊二中高一（下）期末數學試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數z滿足1?z1+z=i(i為虛數單位)，則z=(

)A.i B.?i C.1+i D.1?i2.在△ABC中，AB?AC=λBAA.若λμ>0，則△ABC是銳角三角形 B.若λμ>0，則△ABC是鈍角三角形

C.若λμ<0，則△ABC是銳角三角形 D.若λμ<0，則△ABC是鈍角三角形3.設{an}是公比為q(q≠?1)的無窮等比數列，Sn為其前n項和.若a1>0，則“q>0A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分又非必要條件4.已知平面向量a,b滿足|a|=1,?b,A.2 B.2+1 C.3二、填空題：本題共12小題，共54分。5.函數y=cos(?2x)的最小正周期為______．6.設t∈R，向量a=(2,3)，b=(1?t,t).若a⊥b，則t=7.若復數z是方程x2+2x+3=0的一個根，則|z|=______．8.計算：n=1+∞(139.設λ∈R，a、b是夾角為120°的兩個單位向量，若a+λb在a方向上的投影為2a，則λ=10.函數y=sin(2x?π6)11.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若22b是a、c的等比中項，則角B12.已知cos(α+β)=34，cos(α?β)=1413.已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，M是△ABC的內切圓上一動點，則AB?AM的最大值為______．14.若0<α<π，且3sinα=1+cosα，則tanα=______．15.設ω>0，0≤φ<π，f(x)=2sin(ωx+φ).如圖所示，函數y=f(x)的圖像與坐標軸依次交于A、B、C三點，直線BC交函數y=f(x)的圖像于點D.若A(?2,0)，且坐標原點O為△ABD的重心，則tan∠ABD=______．

16.已知各項均為正整數的數列a1，a2，…，a8滿足：對任意正整數n(2≤n≤7)，均存在i(1≤i≤n?1)，使得an+1=2三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

在△ABC中，設角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，已知3c=3bcosA+asinB．

(1)求角B的大??；

(2)當a=22，b=2318.(本小題14分)

已知z為虛數，且z+1z為實數．

(1)求證：|z|=1；

(2)若z2?zz?19.(本小題14分)

設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1=1，且2Snn+n=2an+1．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若{b20.(本小題18分)

設0≤φ<π，f(x)=sin(x+φ).已知函數y=f(x)的圖像關于直線x=π2成軸對稱．

(1)求函數y=f(x)的表達式；

(2)若tanθ=2，且θ為銳角，求f(4θ)；

(3)設α≥0，g(x)=[f(x)]2+af(x)?21.(本小題18分)

設n(n≥3)是給定的正整數.對于數列a1，a2，…，an，令集合S={ai+aj|1≤i≤j≤n}．

(1)對于數列?2，0，1，直接寫出集合S；(用列舉法表示)

(2)設常數d>0.若a1，a2，…，an是以a1為首項，d為公差的等差數列，求證：集合S的元素個數為2n?1；

(3)若a1，a2答案解析1.【答案】B

【解析】解：若復數z滿足1?z1+z=i，

則z=1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=【解析】解：在△ABC中，設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

則由AB?AC=λBA?BC=μCA?CB，

可得bccosA=λaccosB=μabcosC，

即bcosA=λacosBccosA=μacosC，

當λ>0，μ>0時，A，B，C均為銳角；

當λ<0，μ<0時，A為鈍角，B，C為銳角；

當λ>0，μ<0時，C為鈍角，A，B為銳角；

當λ<0，μ>0時，B為鈍角，A，C為銳角；

綜上，選項【解析】解：根據題意，無窮等比數列{an}中，a1>0，

若q>0，則an=a1qn?1>0，必有Sn+1>Sn，所以Sn存在最小值是S1，

則“q>0”是“Sn存在最小值”的充分條件，

反之，當a1=1，q=?12時，Sn【解析】解：設a=OA,b=OB,a+b=OC，如圖，

由題意，即在平行四邊形OACB中，OA=1,∠OCA=π6，

延長OA至OD，使OA=AD，則CD=AB，

由正弦定理，O，A，C三點所在外接圓的直徑2R=OAsin∠OCA=2，

所以R=1，設圓心為G，如圖，

所以可知∠GOD=π5.【答案】π

【解析】解：y=cos2x，T=2π2=π．

故答案為：π．

6.【解析】解：向量a=(2,3)，b=(1?t,t)．a⊥b，

則2(1?t)+3t=0，解得t=?2．

故答案為：?2．

【解析】解：因為復數z是方程x2+2x+3=0的一個根，

所以z=?2±22i2=?1±2i，

則【解析】解：n=1+∞(13)2n?1可看作以13為首項，19為公比的等比數列的所有項的和，

即有i=1n(13)2i?1【解析】解：由題知，a+λb在向量a方向上的投影向量為(a+λb)?a|a|2a=2a，

則(a+λb)?a|a|2=2【解析】解：令?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ，k∈Z，

則?π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，【解析】解：由題意得，12b2=ac，即b2=2ac，

則cosB=a2+c2?b22ac=a2+c【解析】解：因為cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ=34，cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ=14，

所以cosαcosβ=12，sinαsinβ=?14，

則tanαtanβ=【解析】解：以BC的中點D為坐標原點，BC所在直線為x軸，BC的中垂線AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，

因為等邊△ABC的邊長為6，

所以△ABC的內切圓圓心O在AD上，半徑r=6×6×326+6+6=3，

則B(?3,0)，C(3,0)，A(0,33)，O(0,3)，M(3cosα,3+3sinα)，14.【答案】34【解析】解：因為3sinα=1+cosα，

兩邊平方，可得9sin2α=1+cos2α+2cosα，

所以可得5cos2α+cosα?4=0，

解得cosα=45或?1，

又0<α<π，

所以cosα=45，sinα=1+cosα【解析】解：因為O為△ABD的重心，且A(?2,0)，

所以|OA|=23|AC|=2，解得|AC|=3，

所以C(1,0)，12T=3，

所以T=6，ω=π3，f(x)=2sin(πx3+φ)，

由f(2)=0，即sin(2π3+φ)=0，可得φ=kπ?2π3，k∈Z，

又0<φ<π，

所以φ=π3，f(x)=2sin(πx3+【解析】解：∵a2m=2m(1≤m≤4)，∴a2=2，a4=4，a6=8，a8=16；

當n=2時，i=1，a3=2a2?a1，即a1+a3=2a2，∴a1，a2，a3成等差數列，

又an∈N?，∴a1=1，a3=3或a1=3，a3=1；

當n=3時，a4=2a3?a1或a4=2a3?a2，

當a1=1a3=3時，a4=5(舍)或a4=4；

當a1=3a3=1時，a4=?1(舍)或a4=0(舍)

∴a1=1，a2=2，a3=3，a4=4；

當n=4時，a5=2a4?a1或a5=2a4?a2或a5=2a4?a3，

∴a5=7或a5=6或a5=5；

當n=5時，∵a6=8，

∴a5=a6+ai2=8+ai2(1≤i≤4)，

當a5=7時，ai=6(舍)；當|a5=6時，ai=4，則i=4；當a5=5時，ai=2，則|i=2；

∴a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=6，a6=8；

或a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=8；

當n=6時，a7=2a6【解析】(1)借助正弦定理將邊化為角，結合C=π?(A+B)及兩角和的正弦公式計算化簡即可得；

(2)根據正弦定理即可計算出A，結合B可求出C，用正弦定理即可得到c，再使用面積公式即可得到面積．

18.【答案】(1)證明：設z=a+bi(a,b∈R且b≠0)，

于是z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a?bia2+b2=a+aa2+b2+(b?ba2+b2)i，

因為z+1z∈R，

所以b?ba2+【解析】(1)由已知結合復數的四則運算對z+1z進行化簡，結合基本概念及模長公式即可證明；

(2)結合復數的四則運算對z2?zz?z?進行化簡，結合復數的基本概念即可求解．

19.【答案】解：(1)a1=1，且2Snn+n=2an+1，

即2Sn+n2=2nan+n，

當n≥2時，2Sn?1+(n?1)2=2(n?1)an?1+n?1，

兩式相減可得2an+2n?1=2nan?2(n?1)an?1+1，

化為an?an?1=1，

即有數列{an}是首項和公差均為1的數列，

可得an=1+n?1=n；

(2)【解析】(1)由an和Sn的關系，結合等差數列的定義和通項公式，可得所求；

(2)由等差數列的通項公式和等比數列的中項性質，解方程可得首項b120.【答案】解：(1)由題意f(π2)=sin(π2+φ)=±1，

所以π2+φ=kπ+π2,k∈Z，故φ=kπ，k∈Z，又0≤φ<π，

所以φ=0，故f(x)=sinx．

(2)因為tanθ=2，且θ為銳角，

所以tan2θ=2tanθ1?tan2θ=2×21?2=?22，

故由(1)f(4θ)=sin4θ=2sin2θcos2θsin22θ+cos22θ=2tan2θtan22θ+1=2×(?22)(?22)2+1=?429．

(3)由(1)g(x)=[f(x)]2+af(x)?13=sin2x+asinx?1【解析】(1)根據正弦函數對稱軸方程x=kπ+π2,k∈Z即可求解；

(2)利用二倍角的正切公式求出tan2θ，再利用正弦形式的倍角公式、分母為“1”將f(4θ)變形后弦化切即可求解；

(3)根據零點定義令g(x)=0得sinx=±a24+13?a2，再數形結合根據函數y=sinx圖像性質可求解．

21.【答案】解：(1)∵S={ai+aj|1≤i≤j≤n}，ai，aj∈{?2,0,1}，∴S={?4,?2,?1,0,1,2}；

(2)證明：若a1，a2，…，an為等差數列，d>0，可得{an}為遞增數列，

由等差數列的性質am+an=ap+aq，可得集合S中的元素個數為n+n(n?1)2?(n?1)(n?2)2=2n?1；

(3)依題意可得an=2