高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測試專題8.4直線、平面平行的判定及性質(zhì)(真題測試)(原卷版+解析)

專題8.4直線、平面平行的判定及性質(zhì)（真題測試）一、單選題1．（山東·高考真題（文））在空間，下列命題正確的是（）A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行2.（2023·山東·高考真題）已知，表示平面，，表示直線，以下命題中正確的選項(xiàng)是（）A．假設(shè)，，那么B．假設(shè)，，，那么C．假設(shè)，，那么D．假設(shè)，，，，那么3.（2023·全國高考真題（理））設(shè)，β為兩個(gè)平面，則∥β的充要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．，β平行于同一條直線D．，β垂直于同一平面4.(2023·北京高考真題（理））設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線且．“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．(2023·山東省萊西市第一中學(xué)高一期中）已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中，正確的為（

）A．若，，，則B．若，，且，，則C．若，，則D．若，，，則6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線不平行于平面的是（）A． B．C． D．7．(2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)正方體中，、、為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面平面的是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．(2023·湖南省臨澧縣第一中學(xué)二模）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，則下列條件中，能使直線平面的有（

）A．F為的中點(diǎn) B．F為的中點(diǎn) C．F為的中點(diǎn) D．F為的中點(diǎn)10.（2023·全國·高三專題練習(xí)）下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中正確的關(guān)系有（

）A． B．DE∥平面ABFGC．平面BDE∥平面AFH D．BE∥平面DGC11．(2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，β為兩個(gè)平面，下列選項(xiàng)中是“”的充分條件的是（）A．異面直線a，b滿足∥，∥B．α內(nèi)有兩條相交直線與平面β均無交點(diǎn)C．α，β與直線l都垂直D．α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到β的距離相等12．(2023·遼寧錦州·一模）如圖，在直四棱柱中，，，，，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，若A，P，Q，R四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．任意點(diǎn)P，都有B．存在點(diǎn)P，使得四邊形APQR為平行四邊形C．存在點(diǎn)P，使得平面APQRD．存在點(diǎn)P，使得△APR為等腰直角三角形三、填空題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，過BC中點(diǎn)E的截面與AB，CD都平行，則截面的周長為______．14．（2023·河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））已知，是兩條直線，、、是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，且，，則；④若，為異面直線，且，，，，則．其中正確命題的序號(hào)是______．15．(2023·山西長治·模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱錐中，平面平行于對(duì)棱，截面面積的最大值是______.16．(2023·陜西·西安中學(xué)三模（文））在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E、F分別是棱BC，的中點(diǎn)，P是側(cè)面四邊形內(nèi)(不含邊界)一點(diǎn)，若平面AEF，則線段長度的取值范圍是________.四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AF上的動(dòng)點(diǎn)．確定點(diǎn)G的位置，使得平面平面，并給予證明18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．19．（2023·全國·高考真題（文））如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．20．(2023·全國·高考真題（文））如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長交AB于點(diǎn)G.（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．21．(2023·全國·高考真題（文））如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（I）證明平面；（II）求四面體的體積.22．(2023·全國·高考真題（文））小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．專題8.4直線、平面平行的判定及性質(zhì)（真題測試）一、單選題1．（山東·高考真題（文））在空間，下列命題正確的是（）A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行答案：D【解析】【詳解】試題分析：A選項(xiàng)直線可能平行；B選項(xiàng)平面可能相交；C選項(xiàng)兩個(gè)平面可能相交；D選項(xiàng)正確.2.（2023·山東·高考真題）已知，表示平面，，表示直線，以下命題中正確的選項(xiàng)是（）A．假設(shè)，，那么B．假設(shè)，，，那么C．假設(shè)，，那么D．假設(shè)，，，，那么答案：C分析：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可判斷A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可判斷B、C；根據(jù)面面平行的判定定理，可判定D【詳解】選項(xiàng)A：假設(shè)，，那么或在內(nèi)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：假設(shè)，，，那么或與異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：假設(shè)，，，，且、相交才能判定，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：依照兩平面平行的性質(zhì)可知C正確．故選：C3.（2023·全國高考真題（理））設(shè)，β為兩個(gè)平面，則∥β的充要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．，β平行于同一條直線D．，β垂直于同一平面答案：B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．4.(2023·北京高考真題（理））設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線且．“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】，得不到，因?yàn)榭赡芟嘟?，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點(diǎn)，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B．5．(2023·山東省萊西市第一中學(xué)高一期中）已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中，正確的為（

）A．若，，，則B．若，，且，，則C．若，，則D．若，，，則答案：D【解析】分析：根據(jù)線面垂直與面面垂直的性質(zhì)和判斷定理逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：若，，,與可能平行，也可能異面故，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B：若，，且，，當(dāng)時(shí)，平面與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：若，，直線與平面可能平行，可能相交，也可能，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：若，，，則，故D正確.故選：D.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線不平行于平面的是（）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：利用線面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面；?duì)于B選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面；?duì)于C選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面；?duì)于D選項(xiàng)，連接、交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，設(shè)，連接，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，若平面，平面，平面平面，則，在平面內(nèi)，過該平面內(nèi)的點(diǎn)作直線的平行線，有且只有一條，與題設(shè)矛盾.假設(shè)不成立，故D選項(xiàng)中的直線與平面不平行.故選：D.7．(2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)正方體中，、、為所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面平面的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用面面平行的判定和性質(zhì)定理、結(jié)合反證法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若平面平面，平面，則平面，由圖可知與平面相交，故平面與平面不平行，A不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示，連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，，平面，平面，平面，同理可證平面，，因此，平面平面，B滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：在正方體中，若平面平面，且平面平面，則平面平面，但這與平面與平面相交矛盾，因此，平面與平面不平行，C不滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，在正方體中，連接、、，如下圖所示：因?yàn)榍?，則四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，若平面平面，則平面平面，這與平面與平面相交矛盾，故平面與平面不平行，D不滿足條件.故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：過作平面與平面平行，則在平面與平面的交線上，即可求出.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，所以，正方體中，易得，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫妫云矫?，又為正方形?nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以在線段上，可得,則當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，當(dāng)在兩端時(shí)，取得最大值為，所以長度的取值范圍是.故選：D.二、多選題9．(2023·湖南省臨澧縣第一中學(xué)二模）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，則下列條件中，能使直線平面的有（

）A．F為的中點(diǎn) B．F為的中點(diǎn) C．F為的中點(diǎn) D．F為的中點(diǎn)答案：ACD【解析】分析：取棱的中點(diǎn)，說明與共面，證明平面平面，即可得．【詳解】如圖，分別是棱的中點(diǎn)，易證與共面，由，平面，平面，則平面，同理平面，而是平面內(nèi)相交直線，則得平面平面，平面，則平面，觀察各選項(xiàng)，ACD滿足，故選：ACD．10.（2023·全國·高三專題練習(xí)）下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中正確的關(guān)系有（

）A． B．DE∥平面ABFGC．平面BDE∥平面AFH D．BE∥平面DGC答案：BC【解析】分析：還原為原正方體如圖，結(jié)合異面直線的定義判斷A；利用線面平行的判定定理判斷B、D；利用面面平行的判定定理判斷C.【詳解】還原為原正方體如圖所示，由圖可知，與異面，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，平面，所以平面，故B正確；因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面，而，平面，所以平面平面，故C正確；因?yàn)?，與平面相交，所以與平面相交，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．(2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，β為兩個(gè)平面，下列選項(xiàng)中是“”的充分條件的是（）A．異面直線a，b滿足∥，∥B．α內(nèi)有兩條相交直線與平面β均無交點(diǎn)C．α，β與直線l都垂直D．α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到β的距離相等答案：BC【解析】分析：AD選項(xiàng)可舉出反例，BC選項(xiàng)可以通過，面面平行的判定及線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】A選項(xiàng)，如圖，直線BC為a，直線EF為b，平面ADHE為，平面CDHG為β，滿足∥，∥，而，β為相交平面，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)α內(nèi)兩條相交直線為均與平面β無交點(diǎn)，即∥β，n∥β，又，且為相交直線，故α∥β，B正確；C選項(xiàng)，α，β與直線l都垂直，不妨設(shè)l與α內(nèi)有兩條相交直線均垂直，則在平面β內(nèi)存在相交直線與l都垂直，且m∥a，n∥b，因?yàn)棣?，所以m∥α，同理可知n∥α，由于為相交直線，故可知α∥β，C正確；D選項(xiàng)，α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到β的距離相等，這無數(shù)個(gè)點(diǎn)可能來自于同一條直線，此時(shí)不能推導(dǎo)出α∥β，D錯(cuò)誤.故選：BC12．(2023·遼寧錦州·一模）如圖，在直四棱柱中，，，，，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，若A，P，Q，R四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．任意點(diǎn)P，都有B．存在點(diǎn)P，使得四邊形APQR為平行四邊形C．存在點(diǎn)P，使得平面APQRD．存在點(diǎn)P，使得△APR為等腰直角三角形答案：AC【解析】分析：根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合假設(shè)法逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：由直四棱柱，，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，故A正確；對(duì)于B：若四邊形為平行四邊形，則，而與不平行，即平面與平面不平行，所以平面平面，平面平面，直線與直線不平行，與矛盾，所以四邊形不可能是平行四邊形，故B不正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，為時(shí)，滿足平面，故C正確.對(duì)于D：假設(shè)存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，令，過點(diǎn)作，則，在線段上取一點(diǎn)使得，連接，則四邊形為矩形，所以，則，，顯然，若由，則且四邊形為平行四邊，所以，無解，故D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，過BC中點(diǎn)E的截面與AB，CD都平行，則截面的周長為______．答案：4【解析】分析：根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，根據(jù)三角形中位線定理，可得：，，所以有，因此四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理平面，因此平行四邊形的周長為，故答案為：14．（2023·河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））已知，是兩條直線，、、是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，且，，則；④若，為異面直線，且，，，，則．其中正確命題的序號(hào)是______．答案：②④【解析】分析：作出一個(gè)正方體，進(jìn)而根據(jù)各個(gè)面的位置關(guān)系并結(jié)合條件可以判斷①；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可以判斷②；根據(jù)面面平行的判定定理可以判斷③④.【詳解】如圖1，記平面為平面，平面，平面，顯然，，但.所以①錯(cuò)誤；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.所以②正確；一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.所以③錯(cuò)誤；如圖2，因?yàn)?，過m作平面，使得，所以，易知，所以，又異面，則相交，設(shè)交點(diǎn)為M，又，，所以.所以④正確.故答案為：②④.15．(2023·山西長治·模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱錐中，平面平行于對(duì)棱，截面面積的最大值是______.答案：【解析】分析：由線面平行的性質(zhì)可得、且、，易得為平行四邊形，結(jié)合有為矩形，進(jìn)而設(shè)，由已知求、關(guān)于的表達(dá)式，即可得面積關(guān)于的函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳解】由題設(shè)，面，又面，面面，所以，同理可證，故，又面，又面，面面，所以，同理可證，故，故為平行四邊形，又，即，則為矩形，若，則，又，所以，，又面積為，所以，故當(dāng)時(shí).故答案為：.16．(2023·陜西·西安中學(xué)三模（文））在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E、F分別是棱BC，的中點(diǎn)，P是側(cè)面四邊形內(nèi)(不含邊界)一點(diǎn)，若平面AEF，則線段長度的取值范圍是________.答案：【解析】分析：作出過點(diǎn)平行于平面的平面與平面的交線，確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，再借助三角形計(jì)算作答.【詳解】在正方體中，取的中點(diǎn)M，N，連，如圖，因點(diǎn)E、F分別是棱BC，的中點(diǎn)，則，平面，平面，則有平面，顯然為矩形，有，，即有為平行四邊形，則，而平面，平面，有平面，，平面，因此，平面平面，因平面AEF，則有平面，又點(diǎn)P在平面，平面平面，從而得點(diǎn)P在線段MN上（不含端點(diǎn)），在中，，，等腰底邊MN上高，于是得，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AF上的動(dòng)點(diǎn)．確定點(diǎn)G的位置，使得平面平面，并給予證明答案：G為的重心（或G為線段AF靠近F的三等分點(diǎn)等）時(shí)，平面平面，證明見解析【解析】分析：根據(jù)平行四邊形可可得線線平行，由線線平行可證明線面平行，進(jìn)而可證明面面平行.確定點(diǎn)的位置.【詳解】證明：如圖所示：取AB中點(diǎn)D，連接CD交AF于G，即G為的重心（或G為線段AF靠近F的三等分點(diǎn)等）時(shí)，平面平面．證明：連接DE．因?yàn)樵谌庵校珼，E分別為AB，的中點(diǎn)，所以，且，則四邊形是平行四邊形，故．又平面，平面所以平面．因?yàn)樵谌庵校珼，E分別是AB，的中點(diǎn)，則且，四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面，，所以平面平面．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．答案：(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】分析：（1）連接交于點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.（1）證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面.（2）證明：因?yàn)榍遥瑸榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，因?yàn)?，因此，平面平?19．（2023·全國·高考真題（文））如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得，根據(jù)長方體性質(zhì)得,進(jìn)而可證平面,即得結(jié)果；（2）只需證明即可，在上取點(diǎn)使得,再通過平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)殚L方體,所以平面,因?yàn)殚L方體,所以四邊形為正方形因?yàn)槠矫?因此平面,因?yàn)槠矫?所以；（2）在上取點(diǎn)使得,連,因?yàn)?所以所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)樗运狞c(diǎn)共面，所以四邊形為平行四邊形，，所以四點(diǎn)共面，因此在平面內(nèi)20．(2023·全國·高考真題（文））如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長交AB于點(diǎn)G.（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）作圖見解析，體積為.【解析】【詳解】試題分析：證明由可得是的中點(diǎn).（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，即為在平面內(nèi)的正投影.根據(jù)正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面體的體積試題解析：（Ⅰ）因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以所以平面，故又由已知可得，，從而是的中點(diǎn).（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，即為在平面內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即點(diǎn)為在平面內(nèi)的正投影.連結(jié)，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.由（Ⅰ）知，是的中點(diǎn)，所以在上，故由題設(shè)可得平面，平面，所以，因此由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得所以四面體的體積21．(2023·全國·高考真題（文））如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)