備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第一章集合常用邏輯用語(yǔ)與不等式第2講常用邏輯用語(yǔ)

第2講常用邏輯用語(yǔ)課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)料1.理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.4.理解全稱量詞與存在量詞的意義.5.能正確運(yùn)用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定，能正確運(yùn)用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.充分條件與必要條件2024新高考卷ⅠT7；2024全國(guó)卷甲T7；2024北京T6；2024浙江T4；2024天津T2；2024全國(guó)卷甲T7；2024北京T3；2024浙江T3；2024天津T2；2024北京T9；2024浙江T6；2024天津T2；2024北京T7；2024浙江T5；2024天津T3本講主要以其他學(xué)問(wèn)為情境考查充分條件、必要條件的推斷及簡(jiǎn)潔應(yīng)用，全稱量詞命題與存在量詞命題的真假推斷及含有一個(gè)量詞的命題的否定，對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)要求較高.題型以選擇題為主，難度中等偏易.預(yù)料2025年高考命題點(diǎn)變更不大，平常訓(xùn)練中應(yīng)留意不同學(xué)問(wèn)之間的綜合.全稱量詞與存在量詞2024全國(guó)卷乙T31.充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的①充分條件，q是p的②必要條件p是q的③充分不必要條件p?q且p?qp是q的④必要不充分條件p?q且p?qp是q的⑤充要條件p?qp是q的⑥既不充分也不必要條件p?q且q?p常用結(jié)論充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.（1）若p是q的充分條件，則A?B；若p是q的必要條件，則A?B.（2）若p是q的充分不必要條件，則A?B；若p是q的必要不充分條件，則A?B.（3）若p是q的充要條件，則A＝B.2.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見(jiàn)的量詞表示符號(hào)全稱量詞全部的、一切、隨意一個(gè)、每一個(gè)、任給等⑦?存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有的、有些、對(duì)某些等⑧?（2）全稱量詞命題與存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中隨意一個(gè)x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立簡(jiǎn)記⑨?x∈M，p（x）⑩?x∈M，p（x）否定?x∈M，?p（x）??x∈M，?p（x）留意1.?p（x）表示p（x）不成立.2.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是：改寫量詞，否定結(jié)論.對(duì)于省略了量詞的命題，則須要依據(jù)命題的含義加上量詞，再改寫.3.命題p與?p（p的否定）真假相反.1.下列說(shuō)法不正確的是（D）A.p是q的充分不必要條件等價(jià)于q是p的必要不充分條件B.“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝BD.命題“?x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12.“x是整數(shù)”是“2x＋1是整數(shù)”的（A）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若x是整數(shù)，則2x＋1是整數(shù)；當(dāng)x＝12時(shí)，2x＋1是整數(shù)，但x不是整數(shù)，所以“x是整數(shù)”是“2x＋1是整數(shù)”的充分不必要條件.故選3.已知命題p：全部的三角函數(shù)都是周期函數(shù)，則?p為有些三角函數(shù)不是周期函數(shù).研透高考明確方向命題點(diǎn)1充分條件與必要條件角度1充分條件與必要條件的推斷例1（1）[2024天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（B）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件解析因?yàn)椤癮2＝b2”?“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”?“a＝b”，所以本題可以轉(zhuǎn)化為推斷“a＝－b或a＝b”與“a＝b”的關(guān)系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.故選B.（2）[2024全國(guó)卷甲]設(shè)甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則（B）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析甲等價(jià)于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價(jià)于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推導(dǎo)出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，兩邊同時(shí)平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導(dǎo)出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.角度2充分條件、必要條件中的含參問(wèn)題例2（1）若x＞0，則x＋2025x≥a恒成立的一個(gè)充分條件是（BA.a＞80 B.a＜80 C.a＞100 D.a＜100解析當(dāng)x＞0時(shí)，x＋2025x≥22025，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2025時(shí)，“＝”成立，因?yàn)閤＋2025x≥a（x＞0）恒成立，所以a≤22025，80＜22025＜100，結(jié)合各選項(xiàng)知x＋2025x≥a恒成立的一個(gè)充分條件為a＜80.（留意區(qū)分“p是q的充分條件”與“p的充分條件是故選B.（2）已知p：｜1－x－13｜≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋解析由｜1－x－13｜≤2，得－2≤x≤10，故p對(duì)應(yīng)的集合為N＝{x｜－2≤x≤10}.由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），得1－m≤x≤1＋m，故q對(duì)應(yīng)的集合為M＝{x｜1－m≤x≤1＋m，m＞因?yàn)閝是p的必要不充分條件，所以N?M，所以m>0，1－m≤－2，1+m≥10，（1－解得m≥9，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞）.方法技巧1.充分條件與必要條件的推斷方法（1）定義法：依據(jù)“若p，則q”及“若q，則p”的真假進(jìn)行推斷，適用于定義、定理等推斷性問(wèn)題.（2）集合法：依據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行推斷.2.已知充分、必要條件求參數(shù)取值范圍的方法把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式（組）求解.留意（1）條件的等價(jià)變形；（2）區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).訓(xùn)練1（1）[2024湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]設(shè)m∈R，a＝（m，1），b＝（4，m），c＝（1，－2），則b⊥c是a∥b的（A）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若b⊥c，則4－2m＝0，得m＝2，即b⊥c?m＝2；若a∥b，則m2＝4，得m＝±2，即a∥b?m＝±2.因?yàn)閙＝2是m＝±2的充分不必要條件，所以b⊥c是a∥b的充分不必要條件，故選A.（2）[多選/2024沈陽(yáng)市三檢]已知空間中的兩條直線m，n和兩個(gè)平面α，β，則α⊥β的充分條件是（ACD）A.m⊥α，m∥β B.m?α，n?β，m⊥nC.m?α，m∥n，n⊥β D.m⊥n，m⊥α，n⊥β解析對(duì)A，因?yàn)閙∥β，所以在平面β內(nèi)存在直線l，使得m∥l，又m⊥α，所以l⊥α，又l?β，所以α⊥β，所以選項(xiàng)A符合題意；對(duì)B，若m?α，n?β，m⊥n，則平面α，β不愿定垂直，例如在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB?平面ABCD，B1C1?平面A1B1C1D1，且AB⊥B1C1，但平面ABCD與平面A1B1C1D1不垂直，所以選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)C，因?yàn)閙∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m?α，所以α⊥β，所以選項(xiàng)C符合題意；對(duì)D，因?yàn)閙⊥α，n⊥β，所以直線m，n對(duì)應(yīng)的方向向量分別為平面α，β的法向量，又m⊥n，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以選項(xiàng)D符合題意.綜上，選ACD.命題點(diǎn)2全稱量詞與存在量詞角度1全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及真假推斷例3（1）[2024遼寧名校聯(lián)考]已知命題p：?x＜－1，2x－x－1＜0，則?p為（B）A.?x≥－1，2x－x－1≥0 B.?x＜－1，2x－x－1≥0C.?x＜－1，2x－x－1≥0 D.?x≥－1，2x－x－1≥0解析因?yàn)槊}p：?x＜－1，2x－x－1＜0，則?p：?x＜－1，2x－x－1≥0.故選B.（2）[2024湖北模擬]下列命題為真命題的是（C）A.?x∈R，x2－｜x｜＋1≤0 B.?x∈R，－1≤1cosC.?x∈R，（lnx）2≤0 D.?x∈R，sinx＝3解析因?yàn)閤2－｜x｜＋1＝（｜x｜－12）2＋34＞0恒成立，所以?x∈R，x2－｜x｜＋1≤0是假命題；當(dāng)x＝π3時(shí)，1cosx＝2，所以?x∈R，－1≤1cosx≤1是假命題；當(dāng)x＝1時(shí)，lnx＝0，所以?x∈R，（lnx）2≤0是真命題；因?yàn)椋?≤sinx≤1，所以?x∈R，sin角度2已知全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍例4（1）若命題“?x＞0，lnx－12x2－a＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（DA.（－∞，e] B.（－∞，1]C.（－∞，12] D.（－∞，－1解析命題“?x＞0，lnx－12x2－a＜0”為假命題，則命題“?x＞0，lnx－12x2－a≥0”為真命題.由lnx－12x2－a≥0，得a≤lnx－12x2.設(shè)g（x）＝lnx－12x2，則原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為a≤g（x）max，g'（x）＝1x－x＝1－x2x.令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，從而g（x）≤g（1）（2）[2024江蘇南通學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)]設(shè)命題p：?x∈R，ax2－x＋1≤0.寫出一個(gè)實(shí)數(shù)a＝0（答案不唯一），使得p為真命題.解析當(dāng)a＝0時(shí)，－x＋1≤0有解；當(dāng)a≠0時(shí)，a>0，Δ≥0或a＜0，所以a∈（0，（－∞，0）.綜上，a≤14，即a≤14方法技巧1.判定全稱量詞命題是真命題，需證明全部對(duì)象使命題成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)對(duì)象使命題成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先推斷其否定的真假.2.由命題真假求參數(shù)的范圍，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式（組），再通過(guò)解方程或不等式（組）求解.訓(xùn)練2（1）[2024河北省鹽山中學(xué)三模]已知命題p：?x≥0，ln（x＋1）≥0且tanx＜1，則?p為（C）A.?x＜0，ln（x＋1）＜0且tanx≥1B.?x＜0，ln（x＋1）＜0或tanx≥1C.?x≥0，ln（x＋1）＜0或tanx≥1D.?x≥0，ln（x＋1）＜0且tanx≥1解析由含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律易知C正確.（2）若命題“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（C）A.[－1，4] B.[0，53C.[－1，0]∪[53，4] D.[－1，0）∪（53，解析命題“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”為假命題，則其否定為真命題，（命題與命題的否定真假相反）即“?a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”為真命題.令g（a）＝ax2－（2a－1）x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3，a∈[－1，3]，則g（a）≥0恒成立，所以g（－1）≥0，g（3）≥0，即－x2+3x+4≥0，3x（3）[多選/2024重慶市合川區(qū)模擬]已知命題p：?x∈R，x2＋1＜2x；命題q：若mx2－mx－1≠0恒成立，則－4＜m＜0.則