備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破5圓錐曲線的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)2圓錐曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用

命題點(diǎn)2圓錐曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用例3（1）[2024高三名校聯(lián)考（二）]如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后（A，F(xiàn)2，B三點(diǎn)共線），分別經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，且cos∠BAC＝－35，AB⊥BDA.52 B.173 C.102 解析如圖，連接AF1，BF1，設(shè)｜AF2｜＝m，｜BF2｜＝n，由雙曲線的定義可得｜AF1｜＝2a＋m，｜BF1｜＝2a＋n，由cos∠BAC＝－35，可得cos∠F1AF2＝35，在Rt△AF1B中，sin∠F1AF2＝2a＋n2a＋m＝45①，（2a＋n）2＋（m＋n）2＝（在△AF1F2中，可得4c2＝m2＋（2a＋m）2－2m（2a＋m）·35③由①②可得n＝23a，m＝43a，代入③可得9c2＝17（2）某學(xué)習(xí)小組探討一種衛(wèi)星接收天線（如圖1所示）時(shí)，發(fā)覺其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形態(tài)為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖2所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為5.2m，深度為1m，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝6.76x.解析如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上，｜AB｜＝5.2.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px（p＞0），由已知條件可得，點(diǎn)A（1，2.6）在拋物線上，所以2p＝2.62＝6.76，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝6.76x.訓(xùn)練2[2024上海模擬]“中山橋”是位于蘭州市中心、橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖1，橋上有五個(gè)拱形橋架緊密相連，每個(gè)橋架的內(nèi)部有一個(gè)水平橫梁和八個(gè)與橫梁垂直的立柱，氣概雄偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的拋物線MOF（部分）組成，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，已知｜AB｜＝44m，∠A＝45°，｜AC｜＝4m，｜CD｜＝5m，立柱｜DN｜＝5.55m.圖1 圖2（1）求立柱｜CM｜及橫梁｜MF｜；（2）求拋物線MOF的方程和橋梁的拱高｜OH｜.解析（1）由∠A＝45°，可知｜CM｜＝｜AC｜＝4m.因?yàn)樗倪呅蜛BFM是等腰梯形，由對稱性知：｜AC｜＝｜BE｜＝4m，所以｜MF｜＝｜CE｜＝｜AB｜－｜AC｜－｜EB｜＝44－4－4＝36（m）.（2）由（1）知｜CH｜＝｜AH｜－｜AC｜＝18，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為－18，則N的橫坐標(biāo)為－（18－5）＝－13.設(shè)點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，由圖形，知｜y1－y2｜＝｜5.55－4｜＝1.55.設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py（p＞0），將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)代入，得（－18）2＝－2py1，（－13）2＝－2py2，兩式相減，得2p（y2－y1）＝182－132＝155，解得2p＝100，故拋物線的方程為x因此，當(dāng)x＝－18時(shí)，y＝－1100x2＝－1100×324＝－故｜y1｜＝3.24，所以橋梁的拱高｜OH｜＝3.24＋4＝7.24（m）.強(qiáng)化訓(xùn)練1.[命題點(diǎn)2/2024北京市陳經(jīng)綸中學(xué)模擬]如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分，過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2.已知BC⊥F1F2，｜F1B｜＝163，｜F1F2｜＝4，則截口BAC所在橢圓的離心率為13解析以F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由BC⊥F1F2及橢圓性質(zhì)可得，BC為橢圓的通徑，所以｜F1B｜＝b2a＝163，｜F1F2｜＝2c＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝6，c＝2，b＝42，所以截口BAC2.[命題點(diǎn)2/2024東北三省四市聯(lián)考]早在一千多年之前，我國已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對橋身的沖擊，現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的四個(gè)溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個(gè)溢流孔輪廓線對應(yīng)的拋物線相同，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，依據(jù)圖上尺寸，拱橋輪廓線OAC所在拋物線的方程為x2=-80y，溢流孔與橋拱交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為解析設(shè)橋拱所在拋物線的方程為x2＝－2py（p＞0），由題圖可知，曲線經(jīng)過點(diǎn)C（20，－5），代入方程得202＝－2p×（－5），解得p＝40，所以橋拱所在拋物線的方程為x2＝－80y.因?yàn)樗膫€(gè)溢流孔輪廓線對應(yīng)的拋物線相同，所以從右往左看，設(shè)第一個(gè)拋物線C1：（x－14）2＝－2p'y，由題圖知拋物線C1經(jīng)過點(diǎn)C（20，－5），則（2