備考2025屆高考數(shù)學一輪復習強化訓練第二章函數(shù)第7講函數(shù)的零點與方程的解復合函數(shù)的零點問題

復合函數(shù)的零點問題角度1推斷復合函數(shù)的零點個數(shù)例6已知函數(shù)f（x）＝ex，x<0，6x3－9x2+1，x≥0，則g（x）＝2[fA.2 B.3 C.4 D.5解析由2[f（x）]2－3f（x）－2＝0，解得f（x）＝－12或f（x）＝當x≥0時，f（x）＝6x3－9x2＋1，則f'（x）＝18x2－18x＝18x（x－1）.當x∈（0，1）時，f'（x）＜0；當x∈（1，＋∞）時，f'（x）＞0.因此函數(shù)f（x）＝6x3－9x2＋1在（0，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，且f（0）＝1，f（1）＝－2，當x→＋∞時，f（x）→＋∞，作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖中的實線所示.結合圖象可知，直線y＝－12，直線y＝2與f（x）的圖象共有3個不同的交點所以g（x）的零點個數(shù)為3，故選B.方法技巧復合函數(shù)的零點個數(shù)問題的求解關鍵：一是留意視察圖象特征；二是將外層函數(shù)的定義域和內層函數(shù)的值域精確對接.訓練4[多選/2024云南省下關第一中學模擬]函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）在[－2，2]上的圖象分別如圖1，2所示.則以下四個說法正確的是（ACD）A.方程f（g（x））＝0有且僅有6個根B.方程g（f（x））＝0有且僅有3個根C.方程f（f（x））＝0有且僅有5個根D.方程g（g（x））＝0有且僅有4個根解析易得函數(shù)f（x）有3個零點，分別設為m1，m2，m3，令m1＜m2＜m3，則有m1∈（－2，－1），m2＝0，m3∈（1，2）.函數(shù)g（x）有2個零點，分別設為n1，n2，令n1＜n2，則有n1∈（－2，－1），n2∈（0，1）.對于A，方程f（g（x））＝0的根的個數(shù)即g（x）的圖象與直線y＝m1，y＝0，y＝m3的交點個數(shù)之和，如圖1，易得總共有6個交點，故A正確.對于B，方程g（f（x））＝0的根的個數(shù)即f（x）的圖象與直線y＝n1，y＝n2的交點個數(shù)之和，如圖2，易得總共有4個交點，故B錯誤. 圖1 圖2對于C，方程f（f（x））＝0的根的個數(shù)即f（x）的圖象與直線y＝m1，y＝0，y＝m3的交點的個數(shù)之和，如圖3，易得總共有5個交點，故C正確.對于D，方程g（g（x））＝0的根的個數(shù)即g（x）的圖象與直線y＝n1，y＝n2的交點個數(shù)之和，如圖4，易得總共有4個交點，故D正確.故選ACD. 圖3 圖4角度2已知復合函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)例7[2024廣西示范性中學聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝2x－1，x<1，x2－6x+6，x≥1，若函數(shù)F（x）＝[f（x）]2－2af（x解析作出f（x）圖象如圖所示，F(xiàn)（x）有5個零點等價于[f（x）]2－2af（x）＋3a－1＝0有5個不等實根.設f（x）＝t，則t2－2at＋3a－1＝0有兩個不等實根，∴Δ＝4a2－4（3a－1）＞0，即a＜3－52或a＞3+52.記t2－2at＋3a－1＝0的兩根為t1，t2，則t1=1，0<t2<1或－3<t1≤0，0<t2<1.當t1＝1時，1－2a＋3a－1＝0，解得a＝0，此時t2＝－1，不滿意0＜方法技巧已知復合函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題的解題關鍵：一是會轉化，會把函數(shù)的零點轉化為方程的根；二是會構造，通過換元法，把復合方程的根的問題轉化為更簡潔的方程根的問題；三是會作圖，明晰“草圖不草”；四是會用圖，通過視察圖象特征，求得參數(shù)的取值范圍.訓練5[2024云南大理模擬]若函數(shù)F（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c有5個零點，則實數(shù)b的取值范圍是（0，解析函數(shù)F（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c有5個零點，等價于關于x的方程｜（12）｜x令f（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＝t（t＞0），則有t＋bt＋c＝0，即t2＋ct＋b＝0（t＞畫出f（x）＝｜（12）｜x｜－12數(shù)形結合可知，若｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c＝0有5個不同的根，則t2＋ct＋b＝則14＋12c＋b＝0，且－c2＜12，02＋c×0＋b＞