2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊 直線與平面平行作業(yè)2

2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊直線與平面平行

作業(yè)

一、選擇題

1、在正方體ABCO-ABCIO中，E為棱CD上一點(diǎn),且CE=2DE,/為棱人4

的中點(diǎn)，且平面8防與°鼻交于點(diǎn)G,則與G與平面A6CO所成角的正切值為

（）

72V2572572

A.12B.6c.12D.6

2、如圖，各棱長均為。的正三棱柱AB。-4旦￡,加、N分別為線段48、B、C

上的動點(diǎn)，且MN〃平面ACG4,M,N中點(diǎn)S軌跡長度為6,則正三棱柱

ABC-A4cl的體積為（）

A.6B.C.3D.26

3、已知“，b,c分別表示三條直線，a表示平面，給出下列四個命題

①若a〃a,blla,貝；］〃//%②若bua,a!Ih9貝

③若aJ_c,b±cf貝fja//》；④若a_La,b±at則a//。.

其中正確命題的個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

4、已知m,n是兩條不重合的直線，a,P是不重合的平面，下面四個命題中正確

的是（）

A.若mua,n//a,則m//n

B.若m_Ln,mJ-P,則

C.若ac0=n,m//n,則m//a且m//0

D.若m，a,mlP,則

5、如圖，記長方體被平行于棱BIG的平面EFG”截去右上部分

后剩下的幾何體為Q,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.EH//FG

B.四邊形瓦GH是平行四邊形

c.Q是棱柱

D.Q是棱臺

6、下列說法正確的有（）

A.正三棱錐的三個側(cè)面重心所確定的平面與底面平行

B.設(shè)m為圓錐的一條母線，則在該圓錐底面圓中，有且只有一條直徑與m垂直

C.對于任意一個正棱柱，都存在一個球，使得該正棱柱的所有頂點(diǎn)都在此球面上

D.設(shè)AB,CD分別為圓柱上？下底面的弦，則直線AB,CD間距離等于該圓柱母線

長

7、正方體4BO。一點(diǎn)石，尸分別是'4，4G的中點(diǎn)，則所與所成

角的余弦值為（）

_LJ.

A.0B.5c.4D.3

8、在長方體AgCQ中，A8=8C=1,A4,=色E>F,p,Q分別為棱

AB,AO,DR,網(wǎng)的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ACIBPB.平面EFPQ

也

C.8C"/平面EFPQD.直線4°和AC所成角的余弦值為4

9、已知四棱錐S-舫。所有的棱都相等，過8□與SC平行的平面與SA交于點(diǎn)E,

則座與8所成角的大小是（）

A.30。B.45。&60。D.90。

10、如圖，在正方體AB。?！?，M,N,尸分別是的中點(diǎn)，

有下列四個結(jié)論：

①AP與CM是異面直線；

②AP,CN,皿相交于一點(diǎn)；

③MNIIBD、.

④MN//平面BBRD.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①④B.②④C.①④D.②③④

11、如果直線皿直線n,且m〃平面a,那么n與a的位置關(guān)系是（）

A.相交B.n//aC.nuaD.n//a或nca

12、如圖直三棱柱ABC-4gG中，點(diǎn)M,N分別為48和的中點(diǎn)，則三棱

錐A-MNC體積與三棱柱ABC-A4G體積之比為（）

A.1：4B.1：5c.i：6D.1：7

二、填空題

13、正四棱柱ABCO-AgGD中，AB^AD^l,E為四中點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足

—>—>

AP^APD,且BP〃平面AER,則4=.

14、在長方體ABC°-A4G3中，E,尸分別為棱CG,42的中點(diǎn)，平面跳萬

AG

與側(cè)棱A4的交點(diǎn)為G,則4G.

15、如圖，在矩形ABCO中，BC=2AB=2,N為BC的中點(diǎn)，將AABN沿AN

翻折成（片紀(jì)平面AB8）,M為線段的中點(diǎn)，則在AABN翻折過

程中給出以下四個結(jié)論：

①與平面片AN垂直的直線必與直線CM垂直；

為

②線段CM的長為2.

好

③異面直線CM與'與所成角的正切值為3.

④當(dāng)三棱錐。一AN片的體積最大時，三棱錐D-ANB,外接球的表面積是4萬.

其中正確結(jié)論的序號是.（請寫出所有正確結(jié)論的序號）

16、已知棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E,F,M分別是線段AB、AD、AA的

中點(diǎn)，又P、Q分別在線段AB、AD上，且AP=AQ=x（0<x<l）.設(shè)平面MEFCI平面

MPQ

=1,現(xiàn)有下列結(jié)論：

①1〃平面ABCD；

②1_LAC；

③直線1與平面BCCB不垂直；

④當(dāng)x變化時，1不是定直線.

其中不成立的結(jié)論是.（寫出所有不成立結(jié)論的序號）

三、解答題

17、（本小題滿分10分）如圖，PA，矩形ABCD所在平面，M,N分別是AB,PC的中

點(diǎn).

（1）求證:MN〃平面PAD.

（2）若PD與平面ABCD所成的角為45",求證：MN1平面PCD.

18、（本小題滿分12分）如圖直三棱柱ABC-A4c中AC=2A4,,ACLBC,D、

￡分別為AC、AB的中點(diǎn).

求證：（1）AD_L平面BCD；

（2）4"〃平面8CO.

19、（本小題滿分12分）如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP'PCACJ.BC,M為

AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△外仍為正三角形.

（1）求證：平面APC；

（2）若BC=4,AB=10,求三棱錐D-BCM的體積.

參考答案

1、答案C

解析根據(jù)平面.CD//平面4耳G。，可知所求角為假設(shè)正方體棱長為6,

求解出D'G和g2,從而得到結(jié)果.

詳解

因?yàn)槠矫鍭BCD〃平面4片GQ

所以gG與平面ABCO所成角即為用G與平面A5GA所成角

可知BG與平面所成角為NO4G.

設(shè)AB=6,則AF=3,DE-2

平面BEFC面=GE且8產(chǎn)〃面CDD￡,可知BF//GE

AFDG3DG

則ABDE，即62nDG=1,2G=5

一D。_5_572

teallnLZ/-DJL/IURIGV/-

在放BR6>/2

MAG中，12

5」

故用G與平面ABC。所成角的正切值為12

本題正確選項(xiàng)：c

點(diǎn)睛

本題考查立體幾何中的直線與平面所成角問題，關(guān)鍵是能夠通過位置關(guān)系確定所成角，

再利用直角三角形求得結(jié)果.

2、答案D

解析設(shè)AA，86],CG的中點(diǎn)分別為。,E,",判斷出MN中點(diǎn)S的軌跡是等邊三角形

。所的高，由此計(jì)算出正三棱柱的邊長，進(jìn)而計(jì)算出正三棱柱的體積.

詳解

設(shè)AA，54，CC|的中點(diǎn)分別為O,E,F,連接。由于MN//平面

ACGA,所以A“=CN.當(dāng)A"=CN=°時，MN中點(diǎn)S為平面ACG4的中心，

即的中點(diǎn)（設(shè)為G點(diǎn)）處.當(dāng)4"=CN=缶時，此時MN的中點(diǎn)S為84的中

點(diǎn).所以S點(diǎn)的軌跡是三角形。所的高EG.由于三角形。即是等邊三角形，而

EG=Ji,所以”=2.故正三棱柱的體積為4~.

故選：D

點(diǎn)睛

本小題主要考查線面平行的有關(guān)性質(zhì)，考查棱柱的體積計(jì)算，考查空間想象能力，考查

分析與解決問題的能力，屬于中檔題.

3、答案B

解析根據(jù)線線平行、線面平行有關(guān)知識對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數(shù).

詳解

①，平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，所以①錯誤.

②，直線a可能在平面a內(nèi)，故②錯誤.

③，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，故③錯誤.

④，垂直于同一平面的兩條直線平行，故④正確.

所以正確的命題個數(shù)有1個.

故選：B

點(diǎn)睛

本小題主要考查線線平行，線面平行有關(guān)命題的真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4、答案D

解析根據(jù)空間中線線、線面以及面面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.

詳解

由m,n是兩條不重合的直線，a,P是不重合的平面，知：

在A中，若mua,n//a,則m與n平行或異面，故A錯誤；

在B中，若m，n,m_L￡則n//p或nup,故B錯誤；

在C中，若acB=n,m//n,則m//a且m/犀或m//a且mup或mua且m/不，

故C錯誤；

在D中，若111_101,mJ-P,則由面面平行的判定定理得a/單，故D正確.

故選：D.

點(diǎn)睛

本題主要考查空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系，熟記相關(guān)的定理和概念即可，屬于?？碱}型.

5、答案D

解析詳解：：，Bq//AR,EH//B]J.又...BC//平面EFGH,

4Gu平面始BCC],平面EFGHPl平面B￡//FG,...EHIIFG，

故A對；又???,???四邊形是平行四邊形，EH=同理

BC=FG,故EH=FG.故四邊形EFG”是平行四邊形.故B對；把平面角母法4，

平面DCGHA看做底面，其余各面是平行四邊形，故Q是棱柱，故C對，D錯.

考點(diǎn)：1.直線與平面平行的性質(zhì)定理；2.空間中直線與直線的位置關(guān)系.

6、答案ABC

詳解：解：對于A選項(xiàng)，正三棱錐的底面是正三角形，三個側(cè)面是全等的等腰三角形（三

線合一），根據(jù)重心的性質(zhì)可得三個側(cè)面的重心將此正三棱錐三個側(cè)面等腰三角形的中

AGAHAI2

線分為2：1的比例，如圖1,即：GE~HF~IJ~,所以GH//EF,又EFu平

面BCD,平面BC￡>,故G"http://平面3CO,同理得印〃平面BCD,由于

GHp\HI=Ht所以平面G4///平面BCD；故選項(xiàng)A正確；

對于B選項(xiàng)，如圖2,PC為母線"J2°為圓錐的高，連接CO,即CO是PC在底面

的射影，過。作℃,至，根據(jù)平面的性質(zhì)得，過。作℃的垂線有且只有一條，故

B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)，由于正棱柱的中心到正棱柱的各個頂點(diǎn)的距離相等，故滿足球心到球面上

的任意點(diǎn)的距離相等且等于半徑，故正棱柱的中心就是其外接球的球心，故C選項(xiàng)正確;

對于D選項(xiàng)，如圖3,A?；?c均不是圓柱的母線，故D選項(xiàng)錯誤.

故選：ABC

點(diǎn)睛

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與點(diǎn)線面的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握各簡單

幾何的結(jié)構(gòu)特征，并在解題的過程中，注意數(shù)形結(jié)合，做出相應(yīng)的圖象或者反例的圖象,

即可得答案.

7、答案A

BC

解析連接叫i,證明EFHBG,//CB1,再根據(jù)因1CBt，可得所-J-

即可得到EF與所成角的余弦值.

詳解

解：連接BG

A8C￡）-A4G。1是正方體，

???DA,//CB1nBC、±CB,

因?yàn)辄c(diǎn)后，尸分別是8片，用G的中點(diǎn)

即E尸與成直角，

則Eb與％所成角的余弦值為°

故選：A

點(diǎn)睛

本題考查異面直線所成的角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

8、答案ACD

解析A.根據(jù)線面垂直作出判斷；B.假設(shè)結(jié)論成立，然后通過條件驗(yàn)證假設(shè)；C.通過面面

平行來證明線面平行；D.將直線平移至同一平面內(nèi)，然后根據(jù)長度計(jì)算異面直線所成角

的余弦值.

詳解

A.如圖所示，

因?yàn)锳B=BC=1,所以四邊形A5CD是正方形，所以ACJ.BD,

又因?yàn)閹缀误w為長方體，所以。平面ABCD,所以

又因?yàn)樗訟C_L平面8叩，

又因?yàn)锽Pu平面所以AC_L3P,故結(jié)論正確；

B.如圖所示，

假設(shè)8”平面由。，因?yàn)椤窺u平面由Q,所以片DIP。，

顯然BQ,P°不成立，故假設(shè)錯誤，所以結(jié)論錯誤；

c.如圖所示，

連接見嗎由條件可知即〃即，尸尸〃明明〃陰,所以FPig,

又因?yàn)間n即=89NP=5，所以平面明。//平面EFPQ,

又因?yàn)?C|U平面8CQ,所以BC"/平面EFPQ,故結(jié)論正確；

D.如圖所示，

連接C4，叫，因?yàn)镈A,//%所以4。和AC所成角即為N4C4或其補(bǔ)角，

_4+2_4_V2

A

由條件可知：40=2,蝴=2,40=下，所以c°sN4c2-2.A/24,故結(jié)論正

確.

故選：ABD.

點(diǎn)睛

本題考查空間中的平行垂直關(guān)系的證明以及異面直線所成角的余弦值的計(jì)算，屬于立體

幾何的綜合小題，難度一般.其解異面直線所成角的三角函數(shù)值時，可先通過將直線平

移至同一平面內(nèi)，此時兩條直線所形成的夾角即為異面直線所成角或其補(bǔ)角.

9、答案A

解析要求異面直線BE與8所成角，又AB//CD,根據(jù)異面直線所成的角的定義可知

N4BE就是BE與CD所成角，而SC//平面8DE,由線面平行的性質(zhì)定理可得

SCHOE,再結(jié)合°是的中點(diǎn)，可得E是SA的中點(diǎn)，在正△&山中即可求出N4BE

的大小.

詳解：設(shè)ACClBO=O,連接0E,

由SC//平面8￡）石，SCu平面SAC,平面SACD平面8DE=OE,

所以SC//OE,由。是BD的中點(diǎn)，得E是斜的中點(diǎn)，

因?yàn)锳B//C0,所以乙鉆石就是仍與8所成角，

因?yàn)锳SAB為正三角形，所以NABE=30°.

故選：A.

點(diǎn)睛

本題主要考查求異面直線所成的角，同時考查線面平行的性質(zhì)定理，屬于中檔題.

10、答案B

解析利用異面直線的概念，以及線面平行的判定定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

詳解：-----------?

-.MP//AC,MP^AC二ARCM是相交直線，設(shè)APcCW=G,

則Ge平面A。％且Ge平面GCDD1,又平面AO'Ac平面C{CDD]=DDX,

所以AP,CM,DR相交于一點(diǎn)，故①不正確，②正確；

設(shè)ACC|BD=O,連ON,OD\,則有°N//D]M,ON=D]M,所以四邊形為

平行四邊形，則加“//°A,所以③不正確；

又W平面陰°Ru平面期OQ,所以MN//平面BBQQ,則④正確.

故選：B

點(diǎn)睛

本題主要考查了空間中的點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力與

邏輯推理能力.

11、答案D

解析利用直線與平面平行的判定定理和直線與平面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

詳解：?,直線m〃直線n,且m//平面/

?'1當(dāng)n不在平面a內(nèi)時，平面a內(nèi)存在直線m〃m=n//m，，

符合線面平行的判定定理可得n〃平面a,

當(dāng)n在平面a內(nèi)時，也符合條件，

n與a的位置關(guān)系是n//a或nu%故選D.

點(diǎn)睛

本題主要考查線面平行的判定定理以及線面平行的性質(zhì)，意在考查對基本定理掌握的熟

練程度，屬于基礎(chǔ)題.

12、答案C

解析根據(jù)中點(diǎn)以及直三棱柱的特點(diǎn)將三棱錐A一MN。的體積等價(jià)轉(zhuǎn)換為容易計(jì)算的

三棱錐的體積，從而可得兩幾何體的體積之比.

詳解

11

-=-以

一—匕「MN。=V—AMN~2A咖2-

因?yàn)椤笆堑闹悬c(diǎn)，所以A

又因?yàn)槟恪逼矫?℃片，所以9-CBN=%-CBN,

一一，RC//一一A~,匕一CBN=%-A8C=%-A8C=彳匕冏G-A8C

又因?yàn)槠矫鍭3C,所以3111,

1

7匕

r=

V/-

,VA,-MNC6

所以所以體積比為1：6.

故選：C.

點(diǎn)睛

本題考查空間幾何體體積的計(jì)算與幾何體體積之間的關(guān)系，難度一般求解幾何體體積

之比時，注意轉(zhuǎn)換幾何體的頂點(diǎn)簡化計(jì)算.

13、答案:

解析先猜想點(diǎn)P為A。的中點(diǎn)，取A2的中點(diǎn)尸，連接即、PF,再證明BP//平面

AED'.結(jié)合正四棱柱和中位線的性質(zhì)可推出四邊形6。戶￡為平行四邊形，從而

BP//EF,然后由線面平行的判定定理可證得3尸//平面AE%

詳解：如圖所示，分別取A2、A。的中點(diǎn)尸、P,連接防、PF,此點(diǎn)P即為所求.

證明如下：

??F、P分別為A2、A。的中點(diǎn)，

FP=DD

:.FP//D]D2'

?.?E為B耳中點(diǎn)，

BE=-BB.

2,

▽D、D//BB、

:.FP//BE,FP=BE,

，四邊形BFFE為平行四邊形，

:.BPHEF9

???BP①平面AEDI,所u平面BPFE,

.?.族//平面4E。.

由于P為A￡＞的中點(diǎn)，

2=-

所以2.

故答案為：2.

點(diǎn)睛

本題考主要查空間中線與面的平行關(guān)系，對于找點(diǎn)問題，一般可采用先猜后證的思想，

熟練掌握線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力，

屬于中檔題.

14、答案3

解析如圖，分別取棱。鼻，AA的中點(diǎn)N,M,連接AN,根據(jù)線面平行的性

質(zhì)可得

BEHFG,可判斷G是"A的三等分點(diǎn).

詳解：如圖，分別取棱。。，A4的中點(diǎn)N,M,連接AN.2用，

則D,M//AN//BE,所以RM//BE

-.-BE//平面A。。A,則BE//FG.

AG

---=3o

因?yàn)槭瑸槔釧A的中點(diǎn)，所以6為4加的中點(diǎn)，所以4G.

故答案為：3.

點(diǎn)睛

本題考查線面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15、答案①②④

解析①CM〃平面片AN,則可判斷；②通過線段相等CM=NE,可求出線段NK的

長；②異面直線CM與N與所成角為NENA,求出其正切值即可；④找出球心，求出

半徑即可判斷其真假.從而得到正確結(jié)論的序號.

詳解：如圖，取A4的中點(diǎn)為E,A。的中點(diǎn)為產(chǎn)，連接EN,EM,FN,男產(chǎn)，

則四邊形CNEM為平行四邊形，直線CM〃平面所以①正確；

CM=NE=1+—=—

'SI2,所以②正確；

因?yàn)镃MHEN,異面直線CM與'片的所成角為NEN",

tan/EA"=-

2,所以③錯誤；

當(dāng)三棱錐口-4Vq的體積最大時，平面B]AN與底面ABCO垂直，

可計(jì)算出4°=但A8|=i,Ak+qo'A,所以乙3。=90。，

同理NAND=90°,

所以三棱錐。一4V耳外接球的球心為廠，半徑為1,外接球的表面積是4萬，④正確.

故答案為：①②④.

點(diǎn)睛

本題考查翻折過程中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，注意翻折過程中不變的量，考查了相關(guān)角度,

長度，體積的計(jì)算，考查直觀想象，運(yùn)算能力，屬于較難題目.

16、答案④

解析詳解：連接BD,BD,：AF=A,Q=x,；.PQ〃BD〃BD〃EF,則PQ〃平面MEF,

又平面MEFC1平面MPQ=1,，PQ〃1,I//EF,

...1〃平面ABCD,故①成立；

又EFJ_AC,AllAC,故②成立；

?.T〃EF〃BD,故直線1與平面BCCB不垂直，故③成立；

當(dāng)X變化時，1是過點(diǎn)M且與直線EF平行的定直線，故④不成立.

即不成立的結(jié)論是④.

17、答案（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

（2）首先利用線面垂直的判定定理證明平面PCD,再根據(jù)MN//AE即可證出.

詳解：（1）取PD的中點(diǎn)E，連接EN,

vM,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，

.?.AM//C。且AM=-CD,

2

EN//CD^EN=、CD,

2

:.AM//EN且AM=EN,

四邊形AMNE為平行四邊形，

AEJ/MN,

又：A￡u平面PAD,肱Vz平面PAD,

.?.MN//平面PAD.

（2）若PD與平面ABCD所成的角為45°,

PA1矩形ABCD所在平面，可得PA1AD

則以=4）,所以AE_L尸D,

又ABCD為矩形，則CD_LA。，

由PA1平面ABCD,則Q4_LCD,

ADC\PA=A,

\CD八平面尸4）,

???AEu平面？AD,

:.CDA.AE,

PDC\AD^D,

.?.AE，平面PCD,

???AE//MN，,MN1平面PCD.

點(diǎn)睛

本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理以及線面垂直的性質(zhì)定理，考查

了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

解析

18、答案（1）見解析；（2）見解析.

（D由判斷定理,BC1AD,CD1AD,則ADJ_平面BCD.

（2）AiE//0D,而ODCBCDAAiE//5??BCD

試題解析：

（1）?.?直三棱柱ABC-ABG中CC」平面ABC,又BCU平面ABC

ACCilBC,XVAC1BC,ACACC1=C,AC,CCC平面AACC

...BC_L平面AACC,而ADU平面AACC.,BCLAD①

1TC

又該直三棱柱中AA」AC,CC-AC由已知AA產(chǎn)式AC=AD,則NAiDA="y

24

兀7t

同理NGDC=—,則NADC=—,即CD_LAD