高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：7 5 正態(tài)分布(人教A版)

7．5正態(tài)分布課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.2.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.通過(guò)了解正態(tài)分布的特征，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉，德國(guó)的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達(dá)了一個(gè)信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對(duì)人類(lèi)文明影響最大的是“正態(tài)分布”．問(wèn)題正態(tài)分布有哪些應(yīng)用？提示正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布．1．正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱(chēng)軸的位置，曲線的形狀沒(méi)有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．顯然對(duì)于任意x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1．我們稱(chēng)f(x)為_(kāi)_____________，稱(chēng)它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)__________．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～

N(μ，σ2)，特別地，當(dāng)μ＝0，________時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．正態(tài)密度函數(shù)正態(tài)曲線σ＝12．由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn) (1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對(duì)稱(chēng)； (2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值____________； (3)當(dāng)

無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．3．正態(tài)分布的期望與方差

若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝

____，D(X)＝______．x＝μμσ24．正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________．

在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3σ原則.0.68270.95450.9973×提示函數(shù)中σ的意義為標(biāo)準(zhǔn)差．2．正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．

(

)

提示正態(tài)曲線與x軸圍成的面積為定值1.3．正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．

(

)×√答案C答案C2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),則c等于(

) A．0 B．σ

C．－μ D．μ

解析由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c為對(duì)稱(chēng)軸，又由 X～N(μ，σ2)知對(duì)稱(chēng)軸為x＝μ，故c＝μ.

答案D∴σ＝10.題型一正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用【例1】如圖所示是一個(gè)正態(tài)分布的圖象，試根據(jù)該圖象寫(xiě)出正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量總體的均值和方差．解由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即μ＝0，題型二利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求概率【例2】設(shè)X～N(1，22)，試求： (1)P(－1≤X≤3)； (2)P(3≤X≤5)．

解∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)

＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827. (2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，【遷移1】

(變換所求)例2條件不變，求P(X≥5)．【遷移2】

(變換條件)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，則P(0＜X＜2)＝(

) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

解析∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，對(duì)稱(chēng)軸是x＝2. ∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2， ∴P(0＜X＜4)＝0.6. ∴P(0＜X＜2)＝0.3.故選C.

答案C規(guī)律方法利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對(duì)稱(chēng)法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．【訓(xùn)練2】設(shè)X～N(1，1)，試求： (1)P(0<X≤2)； (2)P(2<X≤3)； (3)P(X≥3)．

解∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1. (1)P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1)

＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)，(3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，題型三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例3】某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4，0.52)．質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查1件，測(cè)得它的外直徑為5.7cm，試問(wèn)：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？解由于外直徑X～N(4，0.52)，則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內(nèi)取值的概率為0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5，5.5]，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的．規(guī)律方法解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格．【訓(xùn)練3】在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80，52)，現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0～85分的有17人，該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人？

解∵成績(jī)服從正態(tài)分布N(80，52)， ∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成績(jī)?cè)赱75，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.27%，成績(jī)?cè)赱80，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.135%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x·34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績(jī)?cè)赱70，90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.45%，成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成績(jī)?cè)?0分以上的僅有1人.一、素養(yǎng)落地1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．在正態(tài)分布N(μ，σ2)中，參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，即總體隨機(jī)變量的均值，它可以用樣本的均值去估計(jì)，其取值是任意的實(shí)數(shù)．參數(shù)σ是反映隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，即總體隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)，其取值范圍是正數(shù)，即σ>0.3．正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法： (1)熟記P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間的面積為1.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．正態(tài)分布N(0，1)在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分別為P1，P2，則二者的大小關(guān)系為(

) A．P1＝P2 B．P1＜P2 C．P1＞P2 D．不確定

解析根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱(chēng)，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．

答案A2．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間[3，6]內(nèi)的概率為(

) (附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.45%) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%答案B3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c等于__________．

解析∵X～N(2，9)，

又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，4．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0，2)內(nèi)取值的概率為_(kāi)_________．

解析如圖，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.答案0.85．在某省組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60，100)，已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有135人． (1)求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？ (2)若計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前2275名的學(xué)生，問(wèn)受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？解(1)設(shè)學(xué)生的成績(jī)?yōu)閄分，共有n人參加競(jìng)賽，因?yàn)閄～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10，(2)設(shè)受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線為x0，因?yàn)?.02275<0.5，所以x0>60.所以P(120－x0<X<x0)＝1－2P(X≥x0)＝95.45%，所以x0＝60＋20＝80.故受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是80分.備用工具&資料5．在某省組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60，100)，已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有135人． (1)求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？ (2)若計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前2275名的學(xué)生，問(wèn)受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？解