高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：8 2 2 第二課時(shí) 非線性回歸模型及其應(yīng)用 (1)(人教A版)

第二課時(shí)非線性回歸模型及其應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，會(huì)用相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件.2.了解非線性回歸模型.3.會(huì)通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.通過學(xué)習(xí)回歸模型的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究在實(shí)際問題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要運(yùn)用散點(diǎn)圖選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，然后通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，從而確定未知參數(shù)，建立相應(yīng)的線性回歸方程．提示不一定；越小越好．1．殘差的概念2．刻畫回歸效果的方式 (1)殘差圖法

作圖時(shí)________為殘差，________可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好． (2)殘差平方和法縱坐標(biāo)橫坐標(biāo)(3)利用R2刻畫回歸效果決定系數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報(bào)變量的能力．×√拓展深化[微判斷]1．殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好．

(

)2．在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，

響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上．

(

)

提示在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，

響應(yīng)變量在y軸上，解釋變量在x軸上．3．R2越小，

線性回歸模型的擬合效果越好．

(

)

提示

R2越大，

線性回歸模型的擬合效果越好．×[微訓(xùn)練]1．在殘差分析中，

殘差圖的縱坐標(biāo)為__________．

答案殘差2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：

甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？解R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好，故甲同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好．[微訓(xùn)練]1．在殘差分析中，

殘差圖的縱坐標(biāo)為__________．

答案殘差2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：

甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？解R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好，故甲同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好．[微思考]

在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意哪些問題？

提示

(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；(2)所建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性；(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)．一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果好，超出這個(gè)范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)的效果越差；(4)不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值.題型一線性回歸分析【例1】已知某種商品的價(jià)格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753列出殘差表：00.3－0.4－0.10.24.62.6－0.4－2.4－4.4規(guī)律方法

(1)解答線性回歸問題，應(yīng)通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析．(2)刻畫回歸效果的三種方法①殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．【訓(xùn)練1】某地區(qū)2011年到2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2011201220132014201520162017年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(2)利用(1)中的回歸方程，分析2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為解

（1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得題型二殘差分析與相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用

【例2】假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)56.7預(yù)報(bào)有效穗；(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；(4)求R2，并說明(2)中求出的回歸模型的擬合程度．解(1)散點(diǎn)圖如下．【訓(xùn)練2】為研究質(zhì)量x(單位：g)對(duì)彈簧長度y(單位：cm)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求回歸直線方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進(jìn)行殘差分析．解(1)散點(diǎn)圖如圖所示．樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正錯(cuò)誤，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系．題型三非線性回歸分析【例3】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？規(guī)律方法求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程．(4)分析擬合效果：通過計(jì)算決定系數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果．(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．【訓(xùn)練3】下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325解(1)作出散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)．(2)對(duì)y＝c1ec2x兩邊取對(duì)數(shù)，得lny＝lnc1＋c2x，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差yi7112124661153256.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．當(dāng)根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖并不是分布在一條直線附近時(shí)，就不能直接求其回歸直線方程了，這時(shí)可根據(jù)得到的散點(diǎn)圖，選擇一種擬合得最好的函數(shù)，常見的函數(shù)有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，然后進(jìn)行變量置換，將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(

) A．角度和它的余弦值 B．正方形的邊長和面積 C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和 D．人的年齡和身高

解析函數(shù)關(guān)系就是變量之間的一種確定性關(guān)系．A，B，C三項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，分別為f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D選項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于年齡確定的人群，仍可以有不同的身高，故選D.

答案D2．(多選題)關(guān)于殘差圖的描述正確的是(

) A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào) B．殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或預(yù)報(bào)變量 C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小 D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小解析殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時(shí)，R2的值越大，故描述錯(cuò)誤的是C.答案ABD3．某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：x16171819y50344131答案C4．在研究硝酸鈉的溶解度時(shí)，觀察它在不同溫度(x)的水中溶解度(y)的結(jié)果如下表：溫度x010205070溶解度y66.776.085.0112.3128.0由此得到回歸直線的斜率是__________．答案0.88095．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，t4210.50.25y1612521由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.0625∑7.753694.2521.3125備用工具&資料由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.0625∑7.753694.2521.31255．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521題型一線性回歸分析【例1】已知某種商品的價(jià)格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y12107532．刻畫回歸效果的方式 (1)殘差圖法

作圖時(shí)________為殘差，________可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合