人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊(cè))學(xué)案：第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

『數(shù)學(xué)文化』一了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用

柯西與柯西不等式

在歷史上，有一位數(shù)學(xué)家叫歐拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒

弟的徒弟叫柯西.這個(gè)徒弟的徒弟雖然比不上他，但是還是寫(xiě)了

些東西，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有很

高的建樹(shù)和造詣，很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來(lái)稱呼,

如柯西不等式、柯西積分公式，他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底

是相當(dāng)深厚的，在數(shù)學(xué)寫(xiě)作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一

共著作了789篇論文和幾本書(shū).

『讀圖探新』——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識(shí)

1.在日常生活中，購(gòu)買火車票有一項(xiàng)規(guī)定：隨同成人旅行，身高超過(guò)1.2m(含1.2

m)而不超過(guò)1.5m的兒童，享受半價(jià)客票、加快票和空調(diào)票(簡(jiǎn)稱兒童票)，超1.5

m時(shí)應(yīng)買全價(jià)票.每一成人旅客可免費(fèi)攜帶一名身高不足1.2米的兒童，超過(guò)一名

時(shí)，超過(guò)的人數(shù)應(yīng)買兒童票.

圖1

2.汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還需繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，

我們稱這段距離為“剎車距離”，“剎車距離”是分析事故的重要因素.在一個(gè)限

速為40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但最

后還是碰了，事后現(xiàn)場(chǎng)勘查發(fā)現(xiàn)甲的剎車距離超過(guò)12m,乙的剎車距離超過(guò)10m,

又知甲乙兩種車型的剎車距離S(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系:S甲=0.1x

+0.01%2,S乙=0.05x+0.005f.

圖2

3.某金店有一座天平，由于左右兩臂長(zhǎng)略有不等，所以直接稱重不準(zhǔn)確.有一個(gè)顧

客要買一串金項(xiàng)鏈，店主分別把項(xiàng)鏈放于左右兩盤各稱一次，得到兩個(gè)不同的重

量。和。，然后就把兩次稱得的重量的算術(shù)平均數(shù)等作為項(xiàng)鏈的重量來(lái)計(jì)算.顧

客對(duì)這個(gè)重量的真實(shí)性提出了質(zhì)疑.

圖3

問(wèn)題1：在圖1中，從數(shù)學(xué)的角度應(yīng)如何理解和表示“不超過(guò)”“超過(guò)”呢？

問(wèn)題2：在圖2中，如何檢驗(yàn)甲乙兩車有無(wú)超速現(xiàn)象？

問(wèn)題3：在圖3中，這樣計(jì)算的重量相對(duì)于原來(lái)的真實(shí)重量到底是大了還是小了

呢？

鏈接：相等關(guān)系和不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，我們可以利用相等關(guān)系

或不等關(guān)系構(gòu)建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符號(hào)來(lái)表示，如不超過(guò)

即為小于等于，超過(guò)則為大于.剎車距離與速度有著密切的關(guān)系，通過(guò)本章學(xué)習(xí)，

我們可以迅速的判斷汽車是否超速及項(xiàng)鏈重量的真實(shí)性問(wèn)題.

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第一課時(shí)不等關(guān)系與不等式

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.能用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題的不等關(guān)通過(guò)運(yùn)用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題

系.的不等關(guān)系及比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小

2.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究

新知探究

A情境引入

(1)如圖，某城市的高樓有高、有矮，有的高度相同.

(2)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有三種關(guān)系：a>b,a=b,a<b.

(3)同號(hào)兩數(shù)的積為正值.

問(wèn)題通過(guò)以上三例我們可以發(fā)現(xiàn)在客觀世界中，量與量之間的關(guān)系有哪些？

提示量與量之間有相等關(guān)系與不等關(guān)系.

A知識(shí)梳理

1.在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系.

2.關(guān)于實(shí)數(shù)a,6大小的比較，有以下基本事實(shí)：

如果。一5是正數(shù)，那么a>b；如果a—b等于0,那么a=b；

如果a—6是負(fù)數(shù)，那么也，反過(guò)來(lái)也對(duì).

這個(gè)基本事實(shí)可以表示為

a>b=a-b>0

a=b=a—1=0

a<b=a—b<0

3.一般地，Va,bCR,有9十廿三2a0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

拓展深化

『微判斷』

l.a不小于b可以表示為a>b.(X)

提示a不小于6應(yīng)表示為。三。

2.若x—y>0,我們就說(shuō)x大于y.(J)

3.代數(shù)式f+l一定大于代數(shù)式2x.(X)

提示Vj?+l-2x=(x—1)2^0,.*.X2+1^2X,故錯(cuò)誤.

『微訓(xùn)練』

1.下面列出的不等式中，正確的是()

A.a不是負(fù)數(shù)，可表示成a>0

B.x不大于3,可表示成x<3

C.機(jī)與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成機(jī)一4<0

D.x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x+2>0

『解析』a不是負(fù)數(shù)，可表示成a>0；x不大于3可表示成xW3；機(jī)與4的差

是負(fù)數(shù)，可表示成機(jī)一4<0；x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x+2>0.

『答案』C

2.某高速公路對(duì)行駛的各種車輛的速度。的最大限速為120km/h,行駛過(guò)程中，

同一車道上的車間距d不得小于10m.用不等式(組)表示為()

A.oWl20km/hB.dNlOm

"oW120km/h,

(2.0?120100/11或1三10111D.1

[d^Wm

『解析』兩個(gè)條件同時(shí)成立，需用不等式組表示.

『答案』D

『微思考』

1.當(dāng)x=3時(shí)，x》3成立嗎？

提示當(dāng)x=3時(shí)，成立，實(shí)際上，工三3的含義是%>3或x=3中有一個(gè)成立

時(shí)，xN3成立.

2.不等關(guān)系與不等式有什么區(qū)別？

提示不等關(guān)系是量與量之間的關(guān)系，而不等式是表示不等關(guān)系的式子.

課堂互動(dòng)題型剖析

題型一用不等式（組）表示不等關(guān)系

『例1』某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.

按照生產(chǎn)的要求600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管數(shù)量的3倍，寫(xiě)出滿

足所有上述不等關(guān)系的不等式（組）.

解設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.

「500x+600yW4000,

根據(jù)題意得:

xNO且x@N,

且y￡N.

規(guī)律方法1.將不等關(guān)系表示成不等式（組）的思路

（1）讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.

（2）用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.

（3）多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.

2.常見(jiàn)的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換

大于，高于，小于，低于，大于等于，至小于等于，至

文字語(yǔ)言

超過(guò)少于少，不低于多，不超過(guò)

符號(hào)語(yǔ)言><

『訓(xùn)練1J某汽車公司因發(fā)展需要，需購(gòu)進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過(guò)1000

萬(wàn)元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為40萬(wàn)元、90萬(wàn)元的A型汽車和B型汽車,根據(jù)需要，

A型汽車至少買5輛，3型汽車至少買6輛，寫(xiě)出滿足上述所有不等關(guān)系的不等

式（組）.

解設(shè)購(gòu)買A型汽車和3型汽車分別為x輛、y輛，則

'40x+90yWl000,

x25,

<

聲6,

<x,yGN*.

題型二實(shí)數(shù)(式)的比較大小

『例2』已知a>0,試比較a與(的大小.

.(a—1)(a+1),1

所以當(dāng)a>l時(shí)，----------------->0,有tz>-；

.(。-1)(a+1),1

當(dāng)a=時(shí)，-----------------有a=~；

1a=0,a

.(a—1)(a+1),1

當(dāng)0<a<l時(shí)，~<0,有a<~.

綜上，當(dāng)a>l時(shí)，a〉%

當(dāng)時(shí)，a=~；

<7=1a

當(dāng)0<tz<l時(shí)，a<：.

規(guī)律方法作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟

第一步：作差并變形，其目標(biāo)是應(yīng)容易判斷差的符號(hào).

變形有兩種情形：

①將差式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因式相乘.

②將差式通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和，然后判斷.

第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系.

第三步：得出結(jié)論.

『訓(xùn)練2』已知x<l,試比較x3—1與2X2—2x的大小.

解?；(%3—1)—(2f—2%)=好一2f+2x—1

=(j?—x2)—(x2—2x+l)=x2(x—1)—(x-I)2

=(x—IX%2—x+l)=(x—1)+|，

(1Y3

Vlx—2I+^>0,x—1<0,

-2

.*.(%—1)(%一習(xí)+(<0,.'.X3~1<2X2—2X.

題型三不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用

『例3』為打造“書(shū)香校園”，某學(xué)校計(jì)劃用不超過(guò)1900本科技類書(shū)籍和1620

本人文類書(shū)籍，組建中、小型兩類圖書(shū)角共30個(gè).已知組建一個(gè)中型圖書(shū)角需科

技類書(shū)籍80本，人文類書(shū)籍50本；組建一個(gè)小型圖書(shū)角需科技類書(shū)籍30本，人

文類書(shū)籍60本.設(shè)組建中型圖書(shū)角x個(gè)，用不等式組將題目中的不等關(guān)系表示出

來(lái)，并求有哪些符合題意的組建方案.

解因?yàn)榻M建中型圖書(shū)角x個(gè)，所以組建小型圖書(shū)角為(30—x)個(gè)，

ro<x<3o,xGN*,

則180x+30(30—x)W1900,

box+60(30—x)620.

解這個(gè)不等式組得18<x<20.

由于x只能取正整數(shù)，

??.X的取值是18,19,20.

當(dāng)%=18時(shí)，30-%=12；

當(dāng)x=19時(shí)，30-%=11；

當(dāng)x=20時(shí)，30—尤=10.

故有三種組建方案：方案一，組建中型圖書(shū)角18個(gè)，小型圖書(shū)角12個(gè)；方案二，

組建中型圖書(shū)角19個(gè)，小型圖書(shū)角11個(gè)；方案三，組建中型圖書(shū)角20個(gè)，小型

圖書(shū)角10個(gè).

規(guī)律方法1.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列不等式(組)的關(guān)鍵是通過(guò)分析找出問(wèn)題中的不等關(guān)

系，并確定不等號(hào)，然后寫(xiě)出不等號(hào)兩邊的代數(shù)式.

2.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出不等式(組)，應(yīng)從是否符合實(shí)際意義出發(fā)，而不能拘于某一種

形式.

『訓(xùn)練3』在例3的方案中，哪種方案用書(shū)籍最少？共用多少本？

解比較3種方案可知當(dāng)x=18時(shí)用書(shū)籍最少.共用書(shū)籍130X18+90X12=3

420(本).

素養(yǎng)達(dá)成逐步落實(shí)

一、素養(yǎng)落地

1.通過(guò)用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題的不等關(guān)系，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，通過(guò)作差法比

較兩實(shí)數(shù)的大小，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考查它們的差就可以了.作差法比較實(shí)數(shù)的大小一般

步驟是作差一恒等變形一判斷差的符號(hào)一下結(jié)論.作差后變形是比較大小的關(guān)鍵

一步，變形的方向是化成幾個(gè)完全平方數(shù)和的形式或一些易判斷符號(hào)的因式積的

形式.

二'素養(yǎng)訓(xùn)練

1.實(shí)數(shù)x大于回，用不等式表示為（）

A.x<y/1QB.XWA/15

C.x>V10D.G瓜

『答案』C

2.在開(kāi)山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒3厘米，人跑開(kāi)的速度是每秒

4米，為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時(shí)跑到100米以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的

長(zhǎng)度x（厘米）應(yīng)該滿足的不等式為（）

A.4X2x^l00B.4X2x<100

C.4X2x>100