3.4曲線的凹凸及拐點

高等數(shù)學主講人

宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術學院復習定理2（極值判定定理一）

②當x<x0時，

，而x>x0時，

，①當x<x0時，

，而x>x0時，

，③在x0兩側，

不變號，則f(x0)不是函數(shù)的可導，且如果

設函數(shù)f(x)在點x0近旁

則f(x0)是函數(shù)的極大值；

則f(x0)是函數(shù)的極小值；

極值?？赡艿臉O值點x0

：駐點不可導點判定函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：

①求定義域；②求出一階導，找到可能的極值點；③列表討論:用極值的判定定理一,判定子區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，檢查可能的極值點兩側單調(diào)性的變化：如果由增變減，則是極大值；如果由減變增，則是極小值。如果兩側單調(diào)性不變，則不是極值。本講概要曲線凹凸的定義曲線凹凸的判定定理曲線的凹凸及拐點的求法極值判定定理二3.4曲線的凹凸及拐點問題:凸凹一.曲線凹凸的定義問題:曲線的彎曲方向?曲線在其上任意點切線的上方曲線在其上任意點切線的下方凸凹定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果曲線位于其任意一點處的切線的上方，那么曲線在(a,b)內(nèi)是凹的；如果曲線位于其任意一點的切線的下方，那么曲線在(a,b)內(nèi)是凸的。當自變量x

增大時如圖所示，凹形的弧段切線斜率是遞增的切線傾斜角變大導數(shù)遞增導數(shù)的導數(shù)>0二階導數(shù)>0二.曲線凹凸的判定定理設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)，①如果(a,b)在內(nèi)，

，則曲線y=f(x)在(a,b)定理

②如果在(a,b)內(nèi)，

，則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的；內(nèi)是凸的。雨水法則例1解注意三.曲線的凹凸及拐點的求法定義可能的拐點(x

,

y)

：連續(xù)曲線上的凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點。判定曲線的凹凸及拐點的步驟：

①求定義域；②求出一階、二階導數(shù)，找到可能的拐點；③列表討論:用“雨水法則”判定子區(qū)間內(nèi)的凹凸，檢查可能的拐點左右近旁的符號：如果變號，則是曲線的拐點；如果不變號，則不是曲線的拐點。例2求曲線

的凹凸區(qū)間和拐點。定義域為(-∞,+∞)解∩∪拐點（2，-1）練習求曲線

的凹凸區(qū)間和拐點。定義域為(-∞,+∞)解∩∪拐點（-1,0）∪拐點（1,0）例3判定曲線

的凹凸性。定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)解定理3（極值判定定理二）①如果，則f(x0)是函數(shù)的極小值；若，定理3不能判定f(x0)是否為設函數(shù)f(x)在點x0處存②如果，則f(x0)是函數(shù)的極大值；注意：在二階導數(shù)，且，但：極值，需要用定理2判定。四.極值判定定理二例3

求函數(shù)在內(nèi)的極值。解

由，即，在內(nèi)的駐點則極大值為則極小值為練習

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸性及拐點。小結作業(yè)

習題3.