人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)18課時(shí)練習(xí)含答案

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(十八)1．已知x∈(0，1)，求證：x2－1x證明：要證x2－1x＜lnxex，只需證e又易證ex＞x＋1(0＜x＜1)，所以只需證明lnx＋(x＋1)1x-即證lnx＋1－x3＋1x－x2＞又當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x3＜x，x2＜x，所以只需證lnx＋1－2x＋1x＞令g(x)＝lnx＋1－2x＋1x(0＜x＜則g′(x)＝1x－2－1x2＝－2x2-x+1x2所以g′(x)＜0恒成立，所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)＞g(1)＝0，即lnx＋1－2x＋1x＞故x2－1x2．(2024·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋lnx.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；解：因?yàn)閒(x)＝x2＋lnx，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，則f′(x)＝2x＋1x(x＞0)，所以f(1)＝1，f′(1)＝所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)證明：f(x)＜ex＋x2－2.證明：要證f(x)＜ex＋x2－2，即證ex＞lnx＋2.先證明ex＞x＋1.令g(x)＝ex－x－1，x＞0，則g′(x)＝ex－1＞0，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則g(x)＞g(0)＝0，即ex＞x＋1.接下來(lái)證明lnx≤x－1.令h(x)＝x－lnx－1，x＞0，則h′(x)＝1－1x＝x-1由h′(x)＜0，得0＜x＜1，由h′(x)＞0，得x＞1，所以函數(shù)h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)≥h(1)＝0，即lnx≤x－1.故ex＞x＋1＝(x－1)＋2≥lnx＋2，即ex＞lnx＋2，原不等式得證．3．已知函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx，a∈R.(1)判斷f(x)的單調(diào)性；解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1＋a＋lnx，令f′(x)＝0，得x＝e－a-1.當(dāng)0＜x＜e－a-1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞e－a-1，f′(x)＞0，故f(x)在(0，e－a-1)上單調(diào)遞減，在(e－a-1，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)若a＝1，0＜x≤1，求證：ex＋1－f(x)≤e，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．證明：令g(x)＝ex＋1－f(x)＝ex－x－xlnx＋1，則g′(x)＝ex－lnx－2.令h(x)＝g′(x)，則h′(x)＝ex－1x，顯然h′(x)在(0，＋∞又h′(1)＝e－1＞0，h′12＝e－2＜0，故存在唯一的x0∈12，1，使得h′(x從而g′(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g′(x)≥g′(x0)．又因?yàn)閔′(x0)＝ex0－1x0＝0，所以ex0＝1x0，兩邊取自然對(duì)數(shù)得x0＝－lnx0，故g′(x0)＝ex0－lnx所以g′(x)≥g′(x0)＞0，故g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，所以g(x)≤g(1)＝e，故原不等式得證．4．已知函數(shù)f(x)＝aex-1－lnx－1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；解：當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex-1－lnx－1，f′(x)＝ex-1－1x(x＞0)，k＝f′(1)＝又f(1)＝0，即切點(diǎn)為(1，0)，所以切線方程為y－0＝0(x－1)，即y＝0.(2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)≥0.證明：因?yàn)閍≥1，所以aex-1≥ex-1，所以f(x)≥ex-1－lnx－1.(方法一)令φ(x)＝ex-1－lnx－1，所以φ′(x)＝ex-1－1x(x＞令h(x)＝ex-1－1x，所以h′(x)＝ex-1＋1x所以φ′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又φ′(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以φ(x)min＝φ(1)＝0，所以φ(x)≥0，所以f(x)≥φ(x)≥0.故f(x)≥0得證．(方法二)令g(x)＝ex－x－1，所以g′(x)＝ex－1.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(0)＝0，故ex≥x＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取“＝”．同理可證lnx≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”．由ex≥x＋1，得ex-1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”)，由x－1