《相似》全章復習與鞏固- 知識講解（基礎）

【學習目標】1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應角相等、對應邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實際問題；3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位似變換后點的坐標的變化；4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力，以及綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、相似圖形及比例線段1．相似圖形：在數(shù)學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等；2.相似多邊形如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形.要點詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì).（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.3.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.要點詮釋：（1）若a:b=c:d，則ad=bcd也叫第四比例項）（2）若a:b=b:c，則b2=ac（b稱為a、c的比例中項）.要點二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.要點詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.判定方法（四如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.要點詮釋：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.2.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.（2）相似多邊形的周長比等于相似比.（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方.要點三、位似1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；（2)位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應線段平行.要點詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.（2）位似變換中對應點的坐標變化規(guī)律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.【典型例題】類型一、相似圖形及比例線段1.如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和點D、E、FAC=14；（1）求AB、BC的長；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的長.【思路點撥】（1）由平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)得出，即可求出AB的長，得出BC的長；（2）過點A作AG∥DF交BE于點H，交CF于點G，得出AD=HE=GF=7，由平行線分線段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出結(jié)果.【答案與解析】解1）∵AD∥BE∥CF，（2）過點A作AG∥DF交BE于點H，交CF于點G，如圖所示：又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∵∵BE∥CF，∴BE=2+7=9.【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例，通過作輔助線運用平行線分線段成比例求出BH是解決問題的關(guān)鍵.舉一反三【變式】如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2這與三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、【答案】C.類型二、相似三角形2.如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.(1)∠ABC=(1)∠ABC=，BC=；(2)判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由.【答案與解析】(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).因為所以.又因為∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°,所以△ABC∽△DEF.【總結(jié)升華】根據(jù)正方形的性質(zhì)和格點三角形的特點，從邊角方面去探究兩三角形有關(guān)角的度數(shù)和邊的長度，利用兩邊對應成比例且夾角相等證明兩三角形相似.舉一反三：【變式】下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是.C.D.【答案】B.相似專題復習“一線三等角”問題3.在正方形ABCD中，P是BC上的點，BP=3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP.【答案與解析】∵BP=3PC，Q是CD的中點，∴△ADQ∽△QCP.【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形對應角相等的性質(zhì)，以及相似三角形的判定..4.如圖所示，在△ABC和△DBE中，若.(1)△ABC與△DBE的周長差為10cm，求△ABC的周長；(2)△ABC與△DBE的面積之和為170cm2，求△DBE的面積.【答案與解析】∴,設△ABC的周長為5kcm，△DBE的周設ssc=25tcma2，.【總結(jié)升華】相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.舉一反三【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點，DE：EC=2：3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則S△DEF：S△EBF：S△ABF=()A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【答案】D.5.如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°,點E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上(點E與點A，D不重合)，且∠BEF=120°,設，DF=Y.(1)求y與x的函數(shù)解析式；(2)當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【答案與解析】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.所以∠ABE=∠DEF.所以△ABE∽△DEF，所以.所以y與x的函數(shù)解析式是.所以當時，y有最大值，最大值為.【總結(jié)升華】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問題.舉一反三【變式】如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=8，AC=6．若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作DE∥BC交AC于點E，設動點D運動的時間為x秒，AE的長為y.(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少?【答案】(1)因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以.又因為AB=8，AC=6，AI=8-2X所以，即，自變量x的取值范圍為..所以當x=2時，S有最大值，且最大值為6.類型三、位似6.將下圖中的△ABC作下列變換，畫出相應的圖形，指出三個頂點的坐標所發(fā)生的變化.(1)沿y軸負方向平移1個單位；(2)關(guān)于x軸對稱；(3)以C點為位似中心，放大到1.5倍.【答案與解析】變換后的圖形如下圖所示.(1)將△ABC沿y軸負方向平移1個單位后得到△A1B1C1，即橫坐標不變，縱坐標減小.(2)將△ABC關(guān)于x軸對稱后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0).即橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).(3)將