相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；2、通過典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題（如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用相似形的性質(zhì)1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.3.相似三角形周長的比等于相似比∽∽由比例性質(zhì)可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.要點(diǎn)二、相似三角形的應(yīng)用1.測量高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例相等”的原理解決.相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用要點(diǎn)詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法2.測量距離測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。1．如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長.要點(diǎn)詮釋：1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;2．太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時(shí)刻，兩物體影之比等于其對(duì)應(yīng)高的比;3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角.【典型例題】類型一、相似三角形的性質(zhì)1.已知，如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE.（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE.【答案與解析】證明1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴BD?CE=CD?DE.【總結(jié)升華】本題綜合性較強(qiáng)，考查了相似三角形、直角三角形以及平行四邊形相關(guān)知識(shí)，而熟記定理是解題的關(guān)鍵.舉一反三【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為()【答案】B.提示：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：AB=3：4，故選：B.2.如圖，△ABC中，AC=6，AB=4，點(diǎn)D與點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，且∠ACD=∠ABC，CD=2，點(diǎn)E是線段BC延長線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DCE和△ABC相似時(shí)，線段CE的長為.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中的條件和三角形的相似，可以求得CE的長，本題得以解決.【答案】3或.【解析】解：∵△DCE∽△ABC，∠ACD=∠ABC，AC=6，AB=4，CD=2，解得，CE=3或CE=故答案為：3或.【總結(jié)升華】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形的相似解答.舉一反三：【變式】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.【答案】設(shè)原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且∴.類型二、相似三角形的應(yīng)用3.如圖，我們想要測量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，你有什么方法？【答案與解析】如上圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90°,沿CD方向再走17m到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC.∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m∴AB=85m即河寬為85m.【總結(jié)升華】這是一道測量河寬的實(shí)際問題，還可以借用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線段，測出了三條線段的長，必能求出第四條.4.如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影上前后移動(dòng)，直到他本身影的頂端正好與塔的影的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影長是2m.(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?(2)求古塔的高度.【思路點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，要注意的是小明和古塔都與地面垂直，是平行的.【答案與解析】(1)△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度為16m?！究偨Y(jié)升華】解決相似三角形的實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵是題中相似三角形的確定.舉一反三【變式】小明把一個(gè)排球打在離他2米遠(yuǎn)的地上，排球反彈后碰到墻上，如果他跳起來擊排球時(shí)的高度是1.8米，排球落地點(diǎn)離墻的距離是7米，假設(shè)排球一直沿直線運(yùn)動(dòng)，那么排球能碰到墻上離地多高的地方？【答案】如圖，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,根據(jù)物理學(xué)原理知∠BPQ=∠QPD,則∠APB=∠CPD，∠BAP=∠DCP=90°,