第10章 第2課時　用樣本估計總體-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習（解析版）

第2課時用樣本估計總體[考試要求]1．會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2．能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.3．掌握分層隨機抽樣的樣本方差．1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小矩形底邊中點的橫坐標中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標之和百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值對于數(shù)據(jù)組[a，b)，a以下的數(shù)據(jù)比例為m%，b以下的數(shù)據(jù)比例為n%，若m≤p<n，則第p百分位數(shù)為a＋(b－a)·p?mn?m2．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計算i＝n×p%；第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．四分位數(shù)(1)第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．(2)第25百分位數(shù)又稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)；第75百分位數(shù)又稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)．4．總體離散程度的估計(1)方差和標準差假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的方差，也可以寫成的形式；稱為這組數(shù)據(jù)的標準差．(2)總體方差和標準差①一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為Y，則總體方差S2＝．②加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差為S2＝．總體標準差：S＝S2.(3)樣本方差和標準差如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為y，則稱s2＝為樣本方差，s＝s2為樣本標準差．[常用結(jié)論]平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是mx＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢． ()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中． ()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高． ()(4)任何一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與中位數(shù)的值是相同的． ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊P206探究改編)平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在如圖兩種分布形態(tài)中，a，b，c，d分別對應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對應(yīng)關(guān)系是()A．a(chǎn)為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)B．a(chǎn)為平均數(shù)，b為中位數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)C．a(chǎn)為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)D．a(chǎn)為平均數(shù)，b為中位數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)A[在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積和相等，平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標乘以小矩形的面積之和近似代替，結(jié)合兩個頻率分布直方圖得：a為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)．故選A.]2．(人教A版必修第二冊P204練習T2改編)某車間12名工人一天生產(chǎn)某產(chǎn)品的質(zhì)量(單位：kg)分別為13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，則所給數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)分別是________．13.7，14.7，15.3[將12個數(shù)據(jù)按從小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.由i＝12×25%＝3，得所給數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)據(jù)與第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即13.6+13.8由i＝12×50%＝6，得所給數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)與第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即14.6+14.8由i＝12×75%＝9，得所給數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第9個數(shù)據(jù)和第10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即15.2+15.423．(人教A版必修第二冊P215練習T2改編)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________，方差是________．484[設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則新數(shù)據(jù)為x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x'，因為x＝x1+x2+…+x因為s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2所以s'2＝1n｛[x1＋20－(x＋20)]2＋[x2＋20－(x＋20)]2＋…＋[xn＋20－(x＋20)]2｝＝s2＝4.4．(人教A版必修第二冊P198練習T1改編)為了了解全民對足球的熱愛程度，組委會在某場比賽結(jié)束后，隨機抽取了1000名觀眾進行對足球“喜愛度”的調(diào)查評分，將得到的分數(shù)分成6段：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．圖中部分數(shù)據(jù)丟失，若已知這1000名觀眾評分的中位數(shù)估計值為87.5，則m＝________．0．02[由題可知，5(m＋0.025＋0.03)＋(87.5－85)×0.05＝0.5，解得m＝0.02．]考點一總體百分位數(shù)的估計[典例1](1)某中學(xué)高一年級10位女生的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)為148，155，157，159，162，163，164，165，170，172，則數(shù)據(jù)的第50，75百分位數(shù)分別為()A．162，165 B．162.5，164.5C．162，164.5 D．162.5，165(2)將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是________．(結(jié)果保留兩位小數(shù))(1)D(2)124.44[(1)由題意，該數(shù)據(jù)已經(jīng)從小到大排列，10×50%＝5，10×75%＝7.5，所以第50百分位數(shù)為162+1632＝162.5，第75百分位數(shù)為165.故(2)由頻率分布直方圖可知，分數(shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分數(shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位數(shù)一定位于[120，130)內(nèi)．因為120＋0.80?0.700.925?0.7所以此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44．]【教師備選資源】已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是()A．這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)C[因為100×75%＝75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項均不正確，故選C.]1．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟2．頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計算(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b)．(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa%，fb%，則第p百分位數(shù)為a＋p%?fa%f%?[跟進訓(xùn)練]1．(1)(2023·山東濱州二模)某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是(注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值近似代替)()A．x3<x1<x2 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x1<x2<x3(2)(2023·河北邯鄲一模)身體質(zhì)量指數(shù)，也就是BMI指數(shù)，簡稱體質(zhì)指數(shù)，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標準．某校為了解該校學(xué)生的身體健康情況，從某班隨機抽取20名學(xué)生進行調(diào)查，得到這20名學(xué)生的BMI指數(shù)分別是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，則這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是________．(1)A(2)20.7[(1)由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為2+32＝2.5，即x1＝2.5，平均數(shù)x2＝0.2×1.5＋0.24×2.5＋0.2×3.5＋0.16×4.5＋0.12×5.5＋0.04×6.5＋0.04×7.5＝3.5顯然第一四分位數(shù)位于[2，3)之間，則0.2＋(x3－2)×0.24＝0.25，解得x3≈2.208，所以x3<x1<x2.故選A.(2)因為20×0.65＝13，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是20.3+21.12考點二總體集中趨勢的估計[典例2]某社區(qū)組織了垃圾分類知識競賽活動，從所有參賽選手中隨機抽取20人，將他們的得分按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分組，繪成頻率分布直方圖(如圖)．(1)求x的值；(2)分別求出抽取的20人中得分落在[0，20)和[20，40)內(nèi)的人數(shù)；(3)估計所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．[解](1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：(0.0050＋0.0075＋x＋0.0125＋0.0150)×20＝1，解得x＝0.0100.(2)由頻率分布直方圖能求出：得分落在[0，20)內(nèi)的人數(shù)為20×0.0050×20＝2，得分落在[20，40)內(nèi)的人數(shù)為20×0.0075×20＝3.(3)所有參賽選手得分的平均數(shù)為：0．0050×20×10＋0.0075×20×30＋0.0150×20×50＋0.0125×20×70＋0.0100×20×90＝56.設(shè)所有參賽選手得分的中位數(shù)為a，則0.0050×20＋0.0075×20＋0.0150×(a－40)＝0.5，解得a＝1703所有參賽選手得分的眾數(shù)估計值為40+602＝5頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和．[跟進訓(xùn)練]2．(1)(2023·山東濟南二模)某射擊運動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整數(shù))形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()A．7.6 B．7.8C．8 D．8.2(2)有13位同學(xué)參加學(xué)校組織的才藝表演比賽，已知他們所得的分數(shù)互不相同，共設(shè)7個獲獎名額，某同學(xué)知道自己的比賽分數(shù)后，要判斷自己能否獲獎，在這13名同學(xué)成績的統(tǒng)計量中只需知道一個量，它是________．(填“眾數(shù)”“中位數(shù)”或“平均數(shù)”)(1)B(2)中位數(shù)[(1)依題意這組數(shù)據(jù)一共有5個數(shù)，中位數(shù)為8，則從小到大排列8的前面有2個數(shù)，后面也有2個數(shù)，又唯一的眾數(shù)為9，則有兩個9，其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次，則最大數(shù)字為9，又極差為3，所以最小數(shù)字為6，所以這組數(shù)據(jù)為6，7，8，9，9，所以平均數(shù)為6+7+8+9+95＝7.8.故(2)因為7位獲獎?wù)叩姆謹?shù)肯定是13名參賽選手中最高的，所以把13個不同的分數(shù)按從小到大排序，只要知道自己的分數(shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎．]【教師備選資源】一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差D＝x1如圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖：根據(jù)折線圖，可判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差D1，D2的大小關(guān)系是()A．D1<D2 B．D1＝D2C．D1>D2 D．無法確定C[由給定的平均差公式可知：數(shù)據(jù)越集中于平均值附近，平均差越小．甲、乙兩圖的縱坐標表示的為頻率/組距，反映了各組樣本數(shù)據(jù)的疏密程度，甲圖中，數(shù)據(jù)較為均勻的分布在各區(qū)間，而乙圖數(shù)據(jù)較為集中的分布在乙圖最高處值的區(qū)間，其他區(qū)間分布的比較少，故乙圖平均差比較?。蔬xC.]考點三總體離散程度的估計[典例3](2023·全國乙卷)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)，試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2.(1)求z，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高如果z≥[解](1)由題意，求出zi的值如表所示，試驗序號i12345678910zi968－8151119182012則z＝110×s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝6(2)因為2s210＝26.1＝24.4，z所以可認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．標準差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標準差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。甗跟進訓(xùn)練]3．(1)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均數(shù)是5，方差是9，則x1A．159 B．204C．231 D．636(2)已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2．現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則()A．x＝4，s2<2 B．x＝4，s2>2C．x>4，s2<2 D．x>4，s2>2(1)B(2)A[(1)根據(jù)題意，數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6中，平均數(shù)x＝5，方差s2＝9，則s2＝16x1所以x1(2)因為某7個數(shù)的平均數(shù)為4，所以這7個數(shù)的和為4×7＝28．因為加入一個新數(shù)據(jù)4，所以x＝28+48＝4．又因為這7個數(shù)的方差為2，且加入一個新數(shù)據(jù)4，所以這8個數(shù)的方差s2＝7×2+4?428＝【教師備選資源】1．(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的有()A．樣本x1，x2，…，xn的標準差B．樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C．樣本x1，x2，…，xn的極差D．樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)AC[中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，標準差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，極差是反映最大值與最小值之間的差距，平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標準差，極差．故選AC.]2．在一次數(shù)學(xué)測試中，高二某班40名學(xué)生成績的平均分為82，方差為10.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班數(shù)學(xué)成績的是()A．100 B．85C．65 D．55D[∵s2＝＝10.2，n＝40，∴若存在x＝55，則(x－x)2＝(55－82)2＝729>408＝，導(dǎo)致方差必然大于10.2，不符合題意．∴55不可能是該班數(shù)學(xué)成績．故選D.]課時分層作業(yè)(七十)用樣本估計總體一、單項選擇題1．下面是某城市某日在不同觀測點對細顆粒物(PM2.5)的觀測值：396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，下列數(shù)字特征沒有改變的是()A．極差 B．中位數(shù)C．眾數(shù) D．平均數(shù)C[根據(jù)題意，若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，即最大值變?yōu)?96＋25＝421，極差為最大值與最小值的差，會發(fā)生改變，加入數(shù)據(jù)前，中位數(shù)為173+1762＝174.52．(2023·臨沂一模)某工廠隨機抽取20名工人，對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如表，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是()件數(shù)7891011人數(shù)37541A．8.5 B．9C．9.5 D．10C[抽取的工人總數(shù)為20，20×75%＝15，那么第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第15項與第16項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第15項與第16項數(shù)據(jù)分別為9，10，所以第75百分位數(shù)是9+102＝故選C.]3．(2024·山西大同開學(xué)考試)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，3，5，6，m，10，12，13，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的58A．7.5 B．8C．9 D．9.5C[這組數(shù)據(jù)一共8個數(shù)，中位數(shù)是6+m2，極差為13－1＝12，所以6+m2＝12×58，解得m＝9，又8×60%＝4.84．(2024·天津模擬)為落實黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時進行了結(jié)業(yè)考試．如圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分布直方圖．則下列關(guān)于這次考試成績的估計錯誤的是()A．眾數(shù)為82.5B．中位數(shù)為85C．平均數(shù)為86D．有一半以上干部的成績在80～90分C[由頻率分布直方圖知，眾數(shù)為82.5，A正確；由(0.01＋0.03＋0.06)×5＝0.5，即中位數(shù)為85，B正確；由(0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.06×82.5＋0.05×87.5＋0.03×92.5＋0.02×97.5)×5＝85.5，C錯誤；由(0.06＋0.05)×5＝0.55>0.5，則有一半以上干部的成績在80～90分之間，D正確．故選C.]5．(2022·全國甲卷)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差B[講座前中位數(shù)為70%+75%2講座后問卷答題的正確率只有一個是80%，4個85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%，B正確；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，C錯誤；講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%>20%，D錯誤．故選B.]6．(2024·安徽合肥模擬)若一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為()A．17，54 B．17，48C．15，54 D．15，48A[由題意可知，數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為10，則＝10n，所以數(shù)據(jù)2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均數(shù)為x方差為×102＝＝102n，將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均數(shù)為x＝方差為＝＝12n(5×102n－860n＋458n)＝54.故二、多項選擇題7．(2023·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差BD[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標準差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標準差為223＝663，故A，C均不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x68．病毒研究所檢測甲、乙兩組實驗小白鼠的某醫(yī)學(xué)指標值，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖(如圖所示)，則下列結(jié)論正確的是()A．甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)B．甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)C．甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)D．乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)BCD[根據(jù)甲組的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知，甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，同理可得乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7，故甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，A錯誤；甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)，B正確；甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)，C正確；乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，D正確．故選BCD.]三、填空題9．(2023·遼寧葫蘆島二模)甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)绫?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙只有1人能入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________．甲[甲的平均數(shù)為x甲＝1乙的平均數(shù)為x乙＝1甲的方差為s甲2＝15[(10－9)2＋(8－9)2乙的方差為s乙2＝15[(10－9)2×2＋(7－9)2∵x甲＝x乙，∵s甲210．某校組織學(xué)生參與航天知識競答活動，某班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m(1≤m≤10)的值可以是________(寫出一個滿足條件的m值即可)．7或8或9或10(填上述4個數(shù)中任意一個均可)[7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：6，7，7，8，8，9，10，則7×0.25＝1.75，故第25百分位數(shù)為第二個數(shù)即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位數(shù)為7，而8×0.25＝2，所以7為第二個數(shù)與第三個數(shù)的平均數(shù)，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10．]四、解答題11．(2024·湖南永州模擬)某地旅游主管部門為了更好地為游客服務(wù)，在景區(qū)隨機發(fā)放評分調(diào)查問卷100份，并將問卷評分數(shù)據(jù)分成6組：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，繪制如圖所示頻率分布直方圖．(1)已知樣本中分數(shù)在[80，85)的游客為15人，求樣本中分數(shù)小于80的人數(shù)，并估計第75百分位數(shù)；(2)已知樣本中男游客與女游客比例為3∶2，男游客樣本的平均值為90，方差為10，女游客樣本的平均值為85，方差為12，由樣本估計總體，求總體的方差．[解](1)由頻率分布直方圖，可得分數(shù)在[85，100]內(nèi)的頻率為(0.06＋0.05＋0.04)×5＝0.75，所以分數(shù)在[85，100]內(nèi)的人數(shù)為100×0.75＝75，所以分數(shù)小于80分的人數(shù)為100－75－15＝10，由題意可設(shè)第75百分位數(shù)為x，其中x∈[90，95)，則1－(0.05×5＋0.04×5)＋(x－90)×0.05＝0.75，解得x＝94，故樣本中分數(shù)小于80的人數(shù)為10人，第75百分位數(shù)約為94.(2)由已知可得總樣本平均值為z＝nm+nx+mm+ny＝又由s2＝nn+msx2+＝32+3[10＋(88－90)2]＋22+3[12＋(88－85)2]＝425所以用樣本估計總體，總體的方差為84512．(2024·云南昆明雙基檢測)某濱海城市沙灘風景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游玩的旅客．某飲品店通過公開競標的方式獲得賣現(xiàn)制飲品的業(yè)務(wù)，為此先根據(jù)前一年沙灘開放的160天的進入沙灘的人數(shù)，做前期的市場調(diào)查來模擬飲品店開賣之后的利潤情況，考慮沙灘承受能力有限，超過1.4萬人即停止預(yù)約．以下表格是160天內(nèi)進入沙灘的每日人數(shù)(單位：萬人)的頻數(shù)分布表．人數(shù)/萬[0，0.2)[0.2，0.4)[0.4，0.6)[0.6，0.8)[0.8，1.0)[1.0，1.2)[1.2，1.4]頻數(shù)/天881624a4832(1)繪制160天內(nèi)進入沙灘的每日人數(shù)的頻率分布直方圖(用陰影表示)，并求出a的值和這組數(shù)據(jù)的65%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計，每10個進入沙灘的游客當中平均有1人會購買飲品，X(單位：個)為進入該沙灘的人數(shù)(X為10的整倍數(shù)．如有8006人，則X取8000)．每杯飲品的售價為15元，成本為5元，當日未出售飲品當垃圾處理．若該店每日準備1000杯飲品，記Y為該店每日的利潤(單位：元)，求Y和X的函數(shù)關(guān)系式；(3)以頻率估計概率，求該店在160天的