同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》-第03章中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)案

...wd......wd......wd...第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。知道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達(dá)法則。教學(xué)難點(diǎn)：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用；2、極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪；4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用?！?1中值定理一、羅爾定理費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義并且在x0處可導(dǎo)如果對(duì)任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))那么f(x0)0羅爾定理如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且有f(a)f(b)那么在(a,b)內(nèi)至少在一點(diǎn)使得f()0簡(jiǎn)要證明(1)如果f(x)是常函數(shù)則f(x)0定理的結(jié)論顯然成立(2)如果f(x)不是常函數(shù)則f(x)在(ab)內(nèi)至少有一個(gè)最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)(ab)于是所以f(x)=0.羅爾定理的幾何意義二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)那么在(ab)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a<<b)使得等式f(b)f(a)f()(ba)成立拉格朗日中值定理的幾何意義f()定理的證明引進(jìn)輔函數(shù)令(x)f(x)f(a)(xa)容易驗(yàn)證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件(a)(b)0(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)且(x)f(x)根據(jù)羅爾定理可知在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)至少有一點(diǎn)使()0即f()0由此得f()即f(b)f(a)f()(ba)定理證畢f(xié)(b)f(a)f()(ba)叫做拉格朗日中值公式這個(gè)公式對(duì)于b<a也成立拉格朗日中值公式的其它形式設(shè)x為區(qū)間[ab]內(nèi)一點(diǎn)xx為這區(qū)間內(nèi)的另一點(diǎn)(x>0或x<0)則在[xxx](x>0)或[xxx](x<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式得f(xx)f(x)f(xx)x(0<<1)如果記f(x)為y則上式又可寫(xiě)為yf(xx)x(0<<1)試與微分dyf(x)x對(duì)比dyf(x)x是函數(shù)增量y的近似表達(dá)式而f(xx)x是函數(shù)增量y的準(zhǔn)確表達(dá)式作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用我們證明如下定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)證在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1x2(x1<x2)應(yīng)用拉格朗日中值定理就得f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2)由假定f()0所以f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)因?yàn)閤1x2是I上任意兩點(diǎn)所以上面的等式說(shuō)明f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的這就是說(shuō)f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)例2證明當(dāng)x0時(shí)證設(shè)f(x)ln(1x)顯然f(x)在區(qū)間[0x]上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件根據(jù)定理就有f(x)f(0)f()(x0)0<<x。由于f(0)0因此上式即為又由0x有三、柯西中值定理設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程(axb)表示其中x為參數(shù)如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線那么在曲線C上必有一點(diǎn)x使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB曲線C上點(diǎn)x處的切線的斜率為弦AB的斜率為于是柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)且F(x)在(ab)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零那么在(ab)內(nèi)至少有一點(diǎn)使等式成立顯然如果取F(x)x那么F(b)F(a)baF(x)1因而柯西中值公式就可以寫(xiě)成f(b)f(a)f()(ba)(a<<b)這樣就變成了拉格朗日中值公式了§3.3泰勒公式對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)為了便于研究往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù)只要對(duì)自變量進(jìn)展有限次加、減、乘三種運(yùn)算便能求出它的函數(shù)值因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道當(dāng)|x|很小時(shí)有如下的近似等式ex1xln(1x)x這些都是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)的例子但是這種近似表達(dá)式還存在著缺乏之處首先是準(zhǔn)確度不高這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無(wú)窮小其次是用它來(lái)作近似計(jì)算時(shí)不能具體估算出誤差大小因此對(duì)于準(zhǔn)確度要求較高且需要估計(jì)誤差時(shí)候就必須用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)同時(shí)給出誤差公式設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到(n1)階導(dǎo)數(shù)現(xiàn)在我們希望做的是找出一個(gè)關(guān)于(xx0)的n次多項(xiàng)式pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n來(lái)近似表達(dá)f(x)要求pn(x)與f(x)之差是比(xx0)n高階的無(wú)窮小并給出誤差|f(x)pn(x)|的具體表達(dá)式我們自然希望pn(x)與f(x)在x0的各階導(dǎo)數(shù)(直到(n1)階導(dǎo)數(shù))相等這樣就有pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)npn(x)a12a2(xx0)nan(xx0)n1pn(x)2a232a3(xx0)n(n1)an(xx0)n2pn(x)3!a3432a4(xx0)n(n1)(n2)an(xx0)n3pn(n)(x)n!an于是pn(x0)a0pn(x0)a1pn(x0)2!a2pn(x)3!a3pn(n)(x)n!an按要求有f(x0)pn(x0)a0f(x0)pn(x0)a1f(x0)pn(x0)2!a2f(x0)pn(x0)3!a3f(n)(x0)pn(n)(x0)n!an從而有a0f(x0)a1f(x0)(k012n)于是就有pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2(xx0)n泰勒中值定理如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)具有直到(n1)的階導(dǎo)數(shù)則當(dāng)x在(ab)內(nèi)時(shí)f(x)可以表示為(xx0)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和其中(介于x0與x之間)這里多項(xiàng)式稱(chēng)為函數(shù)f(x)按(xx0)的冪展開(kāi)的n次近似多項(xiàng)式公式稱(chēng)為f(x)按(xx0)的冪展開(kāi)的n階泰勒公式而Rn(x)的表達(dá)式其中(介于x與x0之間)稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng)當(dāng)n0時(shí)泰勒公式變成拉格朗日中值公式f(x)f(x0)f()(xx0)(在x0與x之間)因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣如果對(duì)于某個(gè)固定的n當(dāng)x在區(qū)間(ab)內(nèi)變動(dòng)時(shí)|f(n1)(x)|總不超過(guò)一個(gè)常數(shù)M則有估計(jì)式及可見(jiàn)妝xx0時(shí)誤差|Rn(x)|是比(xx0)n高階的無(wú)窮小即Rn(x)o[(xx0)n]在不需要余項(xiàng)的準(zhǔn)確表達(dá)式時(shí)n階泰勒公式也可寫(xiě)成當(dāng)x00時(shí)的泰勒公式稱(chēng)為麥克勞林公式就是或其中由此得近似公式誤差估計(jì)式變?yōu)槔?．寫(xiě)出函數(shù)f(x)ex的n階麥克勞林公式解因?yàn)閒(x)f(x)f(x)f(n)(x)ex所以f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1于是(0<)并有這時(shí)所產(chǎn)性的誤差為|Rn(x)||xn1|<|x|n1當(dāng)x1時(shí)可得e的近似式其誤差為|Rn|<例2．求f(x)sinx的n階麥克勞林公式解因?yàn)閒(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(0)0f(0)1f(0)0f(0)1f(4)(0)0于是當(dāng)m1、2、3時(shí)有近似公式sinxx§34函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法如果函數(shù)yf(x)在[ab]上單調(diào)增加〔單調(diào)減少〕那么它的圖形是一條沿x軸正向上升〔下降〕的曲線這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的〔是非正的〕即yf(x)0(yf(x)0)由此可見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系反過(guò)來(lái)能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性呢定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)yf(x)在[ab]上連續(xù)在(ab)內(nèi)可導(dǎo)(1)如果在(ab)內(nèi)f(x)0那么函數(shù)yf(x)在[ab]上單調(diào)增加(2)如果在(ab)內(nèi)f(x)0那么函數(shù)yf(x)在[ab]上單調(diào)減少證明只證(1)在[ab]上任取兩點(diǎn)x1x2(x1x2)應(yīng)用拉格朗日中值定理得到f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1x2)由于在上式中x2x10因此如果在(ab)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f(x)保持正號(hào)即f(x)0那么也有f()0于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)0即f(x1)f(x2)這函數(shù)yf(x)在[ab]上單調(diào)增加注判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間例1判定函數(shù)yxsinx在[02]上的單調(diào)性解因?yàn)樵?02)內(nèi)y1cosx0所以由判定法可知函數(shù)yxcosx在[02]上的單調(diào)增加例2討論函數(shù)yexx1的單調(diào)性〔沒(méi)指明在什么區(qū)間若何辦)解yex1函數(shù)yexx1的定義域?yàn)?)因?yàn)樵?0)內(nèi)y0所以函數(shù)yexx1在(0]上單調(diào)減少因?yàn)樵?0)內(nèi)y0所以函數(shù)yexx1在[0)上單調(diào)增加例3討論函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)的定義域?yàn)?)當(dāng)時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(x0)函數(shù)在x0處不可導(dǎo)當(dāng)x0時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在因?yàn)閤0時(shí)y0所以函數(shù)在(,0]上單調(diào)減少因?yàn)閤0時(shí)y0所以函數(shù)在[0,)上單調(diào)增加如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)那么只要用方程f(x)0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間就能保證f(x)在各個(gè)局部區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào)因而函數(shù)f(x)在每個(gè)局部區(qū)間上單調(diào)例4確定函數(shù)f(x)2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間解這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?()函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f(x)6x218x126(x1)(x2)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè)x11、x22列表分析(1][12][2)f(x)f(x)↗↘↗函數(shù)f(x)在區(qū)間(1]和[2)內(nèi)單調(diào)增加在區(qū)間[12]上單調(diào)減少例5討論函數(shù)yx3的單調(diào)性解函數(shù)的定義域?yàn)?)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y3x2除當(dāng)x0時(shí)y0外在其余各點(diǎn)處均有y0因此函數(shù)yx3在區(qū)間(0]及[0)內(nèi)都是單調(diào)增加的從而在整個(gè)定義域()內(nèi)是單調(diào)增加的在x0處曲線有一水平切線一般地如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零在其余各點(diǎn)處均為正〔或負(fù)〕時(shí)那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加〔或單調(diào)減少〕的例6證明當(dāng)x1時(shí)證明令則因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)f(x)0因此f(x)在[1,)上f(x)單調(diào)增加從而當(dāng)x1時(shí)f(x)f(1)由于f(1)0故f(x)f(1)0即也就是(x1)二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)凹凸性的概念x1x1x2yxOf(x2)f(x1)x1x2yxOf(x2)f(x1)定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1x2恒有那么稱(chēng)f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)如果恒有那么稱(chēng)f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)定義設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間I上連續(xù)如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱(chēng)該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱(chēng)該曲線在區(qū)間I上是凸的凹凸性的判定定理設(shè)f(x)在[ab]上連續(xù)在(ab)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)那么(1)假設(shè)在(ab)內(nèi)f(x)>0則f(x)在[ab]上的圖形是凹的(2)假設(shè)在(ab)內(nèi)f(x)<0則f(x)在[ab]上的圖形是凸的簡(jiǎn)要證明只證(1)設(shè)x1x2[ab]且x1x2記由拉格朗日中值公式得兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得即所以f(x)在[ab]上的圖形是凹的拐點(diǎn)連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為這曲線的拐點(diǎn)確定曲線yf(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域(2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f`(x)(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(4)判斷或列表判斷確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)注根據(jù)具體情況〔1〕〔3〕步有時(shí)省略例1判斷曲線ylnx的凹凸性解因?yàn)樵诤瘮?shù)ylnx的定義域(0)內(nèi)y<0所以曲線ylnx是凸的例2判斷曲線yx3的凹凸性解y3x2y6x由y0得x0因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)y<0所以曲線在(0]內(nèi)為凸的因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)y>0所以曲線在[0)內(nèi)為凹的例3求曲線y2x33x22x14的拐點(diǎn)解y6x26x12令y0得因?yàn)楫?dāng)時(shí)y0當(dāng)時(shí)y0所以點(diǎn)()是曲線的拐點(diǎn)例4求曲線y3x44x31的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間解(1)函數(shù)y3x44x31的定義域?yàn)?)(2)(3)解方程y0得(4)列表判斷(0)0(02/3)2/3(2/3)f(x)00f(x)111/27在區(qū)間(0]和[2/3)上曲線是凹的在區(qū)間[02/3]上曲線是凸的點(diǎn)(01)和(2/311/27)是曲線的拐點(diǎn)例5問(wèn)曲線yx4是否有拐點(diǎn)解y4x3y12x2當(dāng)x0時(shí)y>0在區(qū)間()內(nèi)曲線是凹的因此曲線無(wú)拐點(diǎn)例6求曲線的拐點(diǎn)解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?)(2)(3)無(wú)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x0(4)判斷當(dāng)x<0當(dāng)y>0當(dāng)x>0時(shí)y<0因此點(diǎn)(00)曲線的拐點(diǎn)§35函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義x0(a,b)如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)f(x0)則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)f(x0)則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(或極小值)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值那只是就x0附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō)f(x0)是f(x)的一個(gè)最大值如果就f(x)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)f(x0)不一定是最大值關(guān)于極小值也類(lèi)似極值與水平切線的關(guān)系在函數(shù)取得極值處曲線上的切線是水平的但曲線上有水平切線的地方函數(shù)不一定取得極值定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且在x0處取得極值那么這函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)為零即f(x0)0證為確定起見(jiàn)假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類(lèi)似地證明)根據(jù)極大值的定義在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)對(duì)于任何點(diǎn)xf(x)f(x0)均成立于是當(dāng)xx0時(shí)因此f(x0)當(dāng)xx0時(shí)因此從而得到f(x0)0簡(jiǎn)要證明假定f(x0)是極大值根據(jù)極大值的定義在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有f(x)f(x0)于是同時(shí)從而得到f(x0)0駐點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f(x)0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)定理１就是說(shuō)可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn)但的過(guò)來(lái)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)考察函數(shù)f(x)x3在x0處的情況定理２(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo)(1)如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f(x)0在x0的某一右鄰域內(nèi)f(x)0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(2)如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f(x)0在x0的某一右鄰域內(nèi)f(x)0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值(3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f(x)不改變符號(hào)那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值定理２(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)在(a,x0)及(x0,b)內(nèi)可導(dǎo)(1)如果在(a,x0)內(nèi)f(x)0在(x0,b)內(nèi)f(x)0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(2)如果在(a,x0)內(nèi)f(x)0在(x0,b)內(nèi)f(x)0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值(3)如果在(a,x0)及(x0,b)內(nèi)f(x)的符號(hào)一樣那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù)且在x0的某去心鄰域(x0x0)(x0x0)內(nèi)可導(dǎo)(1)如果在(x0x0)內(nèi)f(x)0在(x0x0)內(nèi)f(x)0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(2)如果在(x0x0)內(nèi)f(x)0在(x0x0)內(nèi)f(x)0那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值(3)如果在(x0x0)及(x0x0)內(nèi)f(x)的符號(hào)一樣那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值定理2也可簡(jiǎn)單地這樣說(shuō)當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí)如果f(x)的符號(hào)由負(fù)變正那么f(x)在x0處取得極大值如果f(x)的符號(hào)由正變負(fù)那么f(x)在x0處取得極小值如果f(x)的符號(hào)并不改變那么f(x)在x0處沒(méi)有極值(注定理的表達(dá)與教材有所不同)確定極值點(diǎn)和極值的步驟(1)求出導(dǎo)數(shù)f(x)(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(3)列表判斷(考察f(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)如果是極值點(diǎn)還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值)(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值例1求函數(shù)的極值解(1)f(x)在()內(nèi)連續(xù)除x1外處處可導(dǎo)且(2)令f(x)0得駐點(diǎn)x1x1為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)(3)列表判斷x(1)1(11)1(1)f(x)不可導(dǎo)0f(x)↗0↘↗(4)極大值為f(1)0極小值為定理3(第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)0f(x0)0那么(1)當(dāng)f(x0)0時(shí)函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(1)當(dāng)f(x0)0時(shí)函數(shù)f(x)在x0處取得極小值證明在情形(1)由于f(x0)0按二階導(dǎo)數(shù)的定義有根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性當(dāng)x在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí)但f(x0)0所以上式即從而知道對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的x來(lái)說(shuō)f(x)與xx0符號(hào)相反因此當(dāng)xx00即xx0時(shí)f(x)0當(dāng)xx00即xx0時(shí)f(x)0根據(jù)定理2f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值類(lèi)似地可以證明情形(2)簡(jiǎn)要證明在情形(1)由于f(x0)0f(x0)0按二階導(dǎo)數(shù)的定義有根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性在x0的某一去心鄰域內(nèi)有從而在該鄰域內(nèi)當(dāng)xx0時(shí)f(x)0當(dāng)xx0時(shí)f(x)0根據(jù)定理2f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值定理3說(shuō)明如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二導(dǎo)數(shù)f(x0)0那么該點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn)并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f(x0)的符來(lái)判定f(x0)是極大值還是極小值但如果f(x0)0定理3就不能應(yīng)用討論函數(shù)f(x)x4g(x)x3在點(diǎn)x0是否有極值提示f(x)4x3f(0)0f(x)12x2f(0)0但當(dāng)x0時(shí)f(x)0當(dāng)x0時(shí)f(x)0所以f(0)為極小值g(x)3x2g(0)0g(x)6xg(0)0但g(0)不是極值．例2求函數(shù)f(x)(x21)31的極值解(1)f(x)6x(x21)2(2)令f(x)0求得駐點(diǎn)x11x20x31(3)f(x)6(x21)(5x21)(4)因f(0)60所以f(x)在x0處取得極小值極小值為f(0)0(5)因f(1)f(1)0用定理3無(wú)法判別因?yàn)樵?的左右鄰域內(nèi)f(x)0所以f(x)在1處沒(méi)有極值同理f(x)在1處也沒(méi)有極值二、最大值最小值問(wèn)題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中常常會(huì)遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題在一定條件下若何使“產(chǎn)品最多〞、“用料最省〞、“成本最低〞、“效率最高〞等問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)〔通常稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)〕的最大值或最小值問(wèn)題極值與最值的關(guān)系設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)則函數(shù)的最大值和最小值一定存在函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得則必在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)取得在這種情況下最大值一定是函數(shù)的極大值因此函數(shù)在閉區(qū)間[ab]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者同理函數(shù)在閉區(qū)間[ab]上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者最大值和最小值的求法設(shè)f(x)在(ab)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為x1x2xn則對(duì)比f(wàn)(a)f(x1)f(xn)f(b)的大小其中最大的便是函數(shù)f(x)在[ab]上的最大值最小的便是函數(shù)f(x)在[ab]上的最小值例3求函數(shù)f(x)|x23x2|在[34]上的最大值與最小值解在(34)內(nèi)f(x)的駐點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)為x1和x2由于f(3)20f(1)0f(2)0f(4)6對(duì)比可得f(x)在x3處取得它在[34]上的最大值20在x1和x2處取它在[34]上的最小值0例4工廠鐵路線上AB段的距離為100km工廠C距A處為20kmAC垂直于AB為了運(yùn)輸需要要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5為了使貨物從供給站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處解設(shè)ADx(km)則DB100x設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y那么y5kCD3kDB(k是某個(gè)正數(shù))即3k(100x)(0x100)現(xiàn)在問(wèn)題就歸結(jié)為x在[0100]內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)y的值最小先求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)解方程y0得x15(km)由于y|x0400ky|x15380k其中以y|x15380k為最小因此當(dāng)ADx15km時(shí)總運(yùn)費(fèi)為最省例2工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km,A點(diǎn)到火車(chē)站B的距離為100km.欲修一條從工廠到鐵路的公路CD.鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使火車(chē)站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處解設(shè)ADx(km)B與C間的運(yùn)費(fèi)為y則y5kCD3kDB(0x100)其中k是某一正數(shù)由0得x15由于y|x0400ky|x15380k其中以y|x15380k為最小因此當(dāng)ADx15km時(shí)總運(yùn)費(fèi)為最省注意f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限開(kāi)或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0并且這個(gè)駐點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)那么當(dāng)f(x0)是極大值時(shí)f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值當(dāng)f(x0)是極小值時(shí)f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值f(f(x0)Oax0bxyf(x)yf(x0)Oax0bxyf(x)y應(yīng)當(dāng)指出實(shí)際問(wèn)題中往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0那么不必討論f(x0)是否是極值就可以斷定f(x0)是最大值或最小值dhb例6把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁?jiǎn)柧匦谓孛娴母遠(yuǎn)和寬b應(yīng)若何選擇才能使梁的抗彎截面模量W()dhb解b與h有下面的關(guān)系h2d2b2因而(0<b<d)這樣W就是自變量b的函數(shù)b的變化范圍是(0d)現(xiàn)在問(wèn)題化為b等于多少時(shí)目標(biāo)函數(shù)W取最大值為此求W對(duì)b的導(dǎo)數(shù)解方程W0得駐點(diǎn)由于梁的最大抗彎截面模量一定存在而且在(0d)內(nèi)部取得現(xiàn)在函數(shù)在(0d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)所以當(dāng)時(shí)W的值最大這時(shí)即解把W表示成b的函數(shù)(0<b<d)由得駐點(diǎn)由于梁的最大抗彎截面模量一定存在而且在(0d)內(nèi)部取得現(xiàn)在函數(shù)W在(0d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)所以當(dāng)時(shí)抗彎截面模量W最大這時(shí)§38函數(shù)圖形的描繪描繪函數(shù)圖形的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)(2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(3)列表分析確定曲線的單調(diào)性和凹凸性(4)確定曲線的漸近性(5)確定并描出曲線上極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它點(diǎn)(6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)的圖形例1畫(huà)出函數(shù)yx3x2x1的圖形解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?)(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1)f(x)6x22(3x1)f(x)0的根為x1/31f(x)0的根為x1/3(3)列表分析x(1/3)1/3(1/31/3)1/3(1/31)1(1)f(x)00f(x)0f(x)↗極大↘拐點(diǎn)↘極小↗(4)當(dāng)x時(shí)y當(dāng)x時(shí)y(5)計(jì)算特殊點(diǎn)f(1/3)32/27f(1/3)16/27f(1)0f(0)1f(1)0f(3/2)5/8(6)描點(diǎn)聯(lián)線畫(huà)出圖形例2作函數(shù)的圖形解(1)函數(shù)為偶函數(shù)定義域?yàn)?,)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)(2)令f(x)0得x0令f(x)0得x1和x1(3)列表x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)f(x)＋＋0－－f(x)＋0－－0＋yf(x)↗拐點(diǎn)↗極大值↘拐點(diǎn)↘(4)曲線有水平漸近線y0(5)先作出區(qū)間(0,)內(nèi)的圖形然后利用對(duì)稱(chēng)性作出區(qū)間(,0)內(nèi)的圖形例3作函數(shù)的圖形解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?3)(3)(2)令f(x)0得x3令f(x)0得x6(3)列表分析x(3)(33)3(36)6(6)f(x)0f(x)0f(x)↘↗4極大↘11/3拐點(diǎn)↘(4)x3是曲線的鉛直漸近線y1是曲線的水平漸近線(5)計(jì)算特殊點(diǎn)的函數(shù)值f(0)=1f(1)8f(9)8f(15)11/4(6)作圖§39曲率一、弧微分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(ab)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在曲線yf(x)上取固定點(diǎn)M0(x0y0)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn)并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向?qū)η€上任一點(diǎn)M(xy)規(guī)定有向弧段的值s〔簡(jiǎn)稱(chēng)為弧s〕如下s的絕