2025八年級上冊數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)14.1.4第1課時(shí) 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、多項(xiàng)式相乘2

2025八年級上冊數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)14.1.4第1課時(shí)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、多項(xiàng)式相乘214.1.4整式的乘法第1課時(shí)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、多項(xiàng)式相乘教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能理解整式運(yùn)算的算理，會(huì)進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算．2．過程與方法經(jīng)歷探索單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的過程，體會(huì)乘法結(jié)合律的作用和轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生推理能力、計(jì)算能力，通過小組合作與交流，增強(qiáng)協(xié)作精神．重、難點(diǎn)與關(guān)鍵1．重點(diǎn)：單項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則的推導(dǎo)與應(yīng)用．2．難點(diǎn)：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則．3．關(guān)鍵：通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，推導(dǎo)出單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，可以采用循序漸進(jìn)的方法突破難點(diǎn)．教學(xué)方法采用“情境──探究”的教學(xué)方法，讓學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的情境之中自然地領(lǐng)悟知識．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，操作導(dǎo)入【手工比賽】讓學(xué)生在課前準(zhǔn)備一張自己最滿意的照片，自己制作一個(gè)美麗的像框．上課之后，首先來做游戲，“才藝大獻(xiàn)”，把自己的照片加一個(gè)美麗的像框，看誰在10分鐘之內(nèi)，可以裝飾出美麗的照片，誰的最好，老師就送他個(gè)好禮物．【教師活動(dòng)】組織學(xué)生參加“才藝比賽”．【學(xué)生活動(dòng)】完成上述手工制作，與同伴交流．【教師引導(dǎo)】在學(xué)生完成之后，教師拿出一張美麗的風(fēng)景照片，提出問題：你們看這幅美麗的風(fēng)景圖片，如何裝飾它會(huì)更漂亮？【學(xué)生回答】加一個(gè)美麗的像框．【引入課題】假如要加一個(gè)美麗的像框，需要知道這幅圖片的大小，現(xiàn)在告訴你，圖片的長為mx，寬為x，你能計(jì)算出圖片的面積嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】動(dòng)手列式，圖片的面積為mx·x=？【教師提問】對于mx·x=？的問題，前面我們已學(xué)習(xí)了乘法的運(yùn)算律以及冪的運(yùn)算法則，現(xiàn)在請你運(yùn)用已學(xué)知識推導(dǎo)出它的結(jié)果．【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，再與同伴交流．實(shí)際上mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2．【拓展延伸】請同學(xué)們繼續(xù)計(jì)算mx·x=？【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立完成，再與同伴交流，踴躍上臺演示．mx·x=m·x·x=m·x2=mx2．【教師活動(dòng)】請部分學(xué)生上臺演示，然后大家共同討論．【繼續(xù)探究】計(jì)算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c．【學(xué)生活動(dòng)】獨(dú)立完成，再與同學(xué)交流．【教師活動(dòng)】總結(jié)新知：我們根據(jù)自己做的題目的原則，得到單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，放在積的因式中．二、范例學(xué)習(xí)，應(yīng)用所學(xué)【例1】計(jì)算．（1）3x2y·（－2xy3）（2）（－5a2b3）·（－4b2c）【思路點(diǎn)撥】例1的兩個(gè)小題，可先利用乘法交換律、結(jié)合律變形成數(shù)與數(shù)相乘，同底數(shù)冪與同底數(shù)冪相乘的形式，單獨(dú)一個(gè)字母照抄．【例2】衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的速度（即第一宇宙速度）約為7.9×103米/秒，則衛(wèi)星運(yùn)行3×102秒所走的路程約是多少？【教師活動(dòng)】：引導(dǎo)學(xué)生參與到例1，例2的解決之中．【學(xué)生活動(dòng)】參與到教師的講例之中，鞏固新知．三、問題討論，加深理解【例1】計(jì)算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）．解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3）=－6a3b2+10a3b3【例2】化簡：－3x2·（xy－y2）－10x·（x2y－xy2）解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2=－11x3y+13x2y2【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3）40x－8x2=19－8x2+6x40x－6x=1934x=19x=引導(dǎo)學(xué)生在不同的代數(shù)式呈現(xiàn)中，找到規(guī)律：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．四、隨堂練習(xí)，鞏固深化計(jì)算：（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－16x（x2－3y）（3）－2a2（ab2+b4）（4）（x2y3－16xy）·xy2五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則：2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．3．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，應(yīng)注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符號”．六、布置作業(yè)，專題突破課本習(xí)題．板書設(shè)計(jì)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式1、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的乘法法則例：練習(xí)：單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式2、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的乘法法則例：練習(xí)：14.2乘法公式14.2.1平方差公式教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并且懂得運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡單計(jì)算．2．過程與方法經(jīng)歷探索特殊形式的多項(xiàng)式乘法的過程，發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力，使學(xué)生逐漸掌握平方差公式．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過合作學(xué)習(xí)，體會(huì)在解決具體問題過程中與他人合作的重合性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性．重、難點(diǎn)與關(guān)鍵1．重點(diǎn)：平方差公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，以及對平方差公式的幾何背景的了解．2．難點(diǎn)：平方差公式的應(yīng)用．3．關(guān)鍵：對于平方差公式的推導(dǎo)，我們可以通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、總結(jié)、猜想，然后得出結(jié)論來突破；抓住平方差公式的本質(zhì)特征，是正確應(yīng)用公式來計(jì)算的關(guān)鍵．教學(xué)方法采用“情境──探究”的教學(xué)方法，讓學(xué)生在觀察、猜想中總結(jié)出平方差公式．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，故事引入【情境設(shè)置】教師請一位學(xué)生講一講《狗熊掰棒子》的故事【學(xué)生活動(dòng)】1位學(xué)生有聲有色地講述著《狗熊掰棒子》的故事，其他學(xué)生認(rèn)真聽著，不時(shí)補(bǔ)充．【教師歸納】聽了這則故事之后，同學(xué)們應(yīng)該懂得這么一個(gè)道理，學(xué)習(xí)千萬不能像狗熊掰棒子一樣，前面學(xué)，后面忘，那么，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么呢？還記得嗎？【學(xué)生回答】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式．【教師激發(fā)】大家是不是已經(jīng)掌握呢？還是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同樣的錯(cuò)誤呢？下面我們就來做這幾道題，看看你是否掌握了以前的知識．【問題牽引】計(jì)算：（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）；（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．做完之后，觀察以上算式及運(yùn)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩個(gè)例子驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)．【學(xué)生活動(dòng)】分四人小組，合作學(xué)習(xí)，獲得以下結(jié)果：（1）（x+2）（x－2）=x2－4；（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．【教師活動(dòng)】請一位學(xué)生上臺演示，然后引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果，尋找規(guī)律．【學(xué)生活動(dòng)】討論【教師引導(dǎo)】剛才同學(xué)們從上述算式中找到了這一組整式乘法的結(jié)果的規(guī)律，這些是一類特殊的多項(xiàng)式相乘，那么如何用字母來表現(xiàn)剛才同學(xué)們所歸納出來的特殊多項(xiàng)式相乘的規(guī)律呢？【學(xué)生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左邊，那么右邊就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．用語言描述就是：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．【教師活動(dòng)】表揚(yáng)學(xué)生的探索精神，引出課題──平方差，并說明這是一個(gè)平方差公式和公式中的字母含義．二、范例學(xué)習(xí)，應(yīng)用所學(xué)【教師講述】平方差公式的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確尋找公式中的a和b，只有正確找到a和b，一切就變得容易了．現(xiàn)在大家來看看下面幾個(gè)例子，從中得到啟發(fā)．【例1】運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）（2x+3）（2x－3）；（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．填表：(a+b)(a－b)aba2－b2結(jié)果(2x+3)(2x－3)2x(2x)2－32(b+3a)(3a－b)(－m+n)(－m－n)【例2】計(jì)算：（1）103×97（2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）通過做題，應(yīng)該總結(jié)出：在兩個(gè)因式中，符號相同的一項(xiàng)作a，符號不同的一項(xiàng)作b．三、隨堂練習(xí)，鞏固新知課本練習(xí)四、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃鼙竟?jié)課的內(nèi)容是兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，公式指出了具有特殊關(guān)系的兩個(gè)二項(xiàng)式積的性質(zhì)．運(yùn)用平方差公式應(yīng)滿足兩點(diǎn)：一是找出公式中的第一個(gè)數(shù)a，第二個(gè)數(shù)b；二是兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差，這也是判斷能否運(yùn)用平方差公式的方法．五、布置作業(yè)，專題突破課本習(xí)題．板書設(shè)計(jì)14.2.1平方差公式1、平方差公式例：（a+b）（a－b）=a2－b2練習(xí)：14．2乘法公式14．2.1平方差公式1．掌握平方差公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，以及對平方差公式的幾何背景的理解．(重點(diǎn))2．掌握平方差公式的應(yīng)用．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入1．教師引導(dǎo)學(xué)生回憶多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則．學(xué)生積極舉手回答．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．2．教師肯定學(xué)生的表現(xiàn)，并講解一種特殊形式的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘——平方差公式．二、合作探究探究點(diǎn)：平方差公式【類型一】判斷能否應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算下列運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是()A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)解析：A中含x、y的項(xiàng)符號相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的項(xiàng)符號相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的項(xiàng)符號相同，含y的項(xiàng)符號相反，能用平方差公式計(jì)算，正確；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的項(xiàng)符號相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；故選C.方法總結(jié)：對于平方差公式，注意兩個(gè)多項(xiàng)式均為二項(xiàng)式且兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．【類型二】直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算利用平方差公式計(jì)算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.方法總結(jié)：應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．【類型三】平方差公式的連續(xù)使用求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．解析：根據(jù)平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根據(jù)平方差公式即可算出結(jié)果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.方法總結(jié)：連續(xù)使用平方差公式，直到不能使用為止．【類型四】應(yīng)用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算利用平方差公式簡算：(1)20eq\f(1,3)×19eq\f(2,3)；(2)13.2×12.8.解析：(1)把20eq\f(1,3)×19eq\f(2,3)寫成(20＋eq\f(1,3))×(20－eq\f(1,3))，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；(2)把13.2×12.8寫成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．解：(1)20eq\f(1,3)×19eq\f(2,3)＝(20＋eq\f(1,3))×(20－eq\f(1,3))＝400－eq\f(1,9)＝399eq\f(8,9)；(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.方法總結(jié)：熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)并構(gòu)造出公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．【類型五】化簡求值先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解析：利用平方差公式展開并合并同類項(xiàng)，然后把x、y的值代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，原式＝5×12－5×22＝－15.方法總結(jié)：利用平方差公式先化簡再求值，切忌代入數(shù)值直接計(jì)算．【類型六】利用平方差公式探究整式的整除性問題對于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍數(shù)嗎？解析：利用平方差公式對代數(shù)式化簡，再判斷是否是10的倍數(shù)．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n為正整數(shù)，∴(n－1)(n＋1)為整數(shù)，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍數(shù)．方法總結(jié)：對于平方差中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，在探究整除性或倍數(shù)問題時(shí)