2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第14講 拋物線（學(xué)生版）

第第頁(yè)第14講拋物線【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：拋物線的綜合問(wèn)題題型四：軌跡方程題型五：拋物線的幾何性質(zhì)題型六：拋物線中的范圍與最值問(wèn)題題型七：焦半徑問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0和一條定直線SKIPIF1<0(SKIPIF1<0不經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)SKIPIF1<0叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線SKIPIF1<0叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識(shí)點(diǎn)詮釋:(1)上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值(2)定義中的隱含條件：焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線SKIPIF1<0上，若F在SKIPIF1<0上，拋物線變?yōu)檫^(guò)F且垂直與SKIPIF1<0的一條直線.(3)拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.知識(shí)點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0。知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開(kāi)口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線SKIPIF1<0的一次項(xiàng)為SKIPIF1<0，故其焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，且開(kāi)口向負(fù)方向(向下)③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型(一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開(kāi)口方向定型)，然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論.⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫(xiě)出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)，不要遺漏某一種情況。知識(shí)點(diǎn)三：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程SKIPIF1<0的幾何性質(zhì)范圍：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，拋物線y2=2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。拋物線是無(wú)界曲線。對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱拋物線y2=2px(p＞0)關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對(duì)稱軸。頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線y2=2px(p＞0)和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對(duì)比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p＞0)y2=－2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=－2py(p＞0)頂點(diǎn)O(0，0)范圍x≥0，SKIPIF1<0x≤0，SKIPIF1<0y≥0，SKIPIF1<0y≤0，SKIPIF1<0對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0離心率e=1準(zhǔn)線方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0焦半徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸，一條準(zhǔn)線；(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；p＞0恰恰說(shuō)明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線SKIPIF1<0上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【典例例題】題型一：拋物線的定義例1．若P為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為()A．相交 B．相離C．相切 D．不確定例2．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，SKIPIF1<0是C上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．1 B．2 C．3 D．4題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．若拋物線SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0到其準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例4．已知拋物線的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：拋物線的綜合問(wèn)題例5．(多選題)已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的(

)A．點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0B．若直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0D．若直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0題型四：軌跡方程例6．已知圓的方程為SKIPIF1<0，若拋物線過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，則線段FP的中點(diǎn)Q的軌跡方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型五：拋物線的幾何性質(zhì)例8．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，線段SKIPIF1<0中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.例9．拋物線SKIPIF1<0在第一象限上一點(diǎn)SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為該拋物線的焦點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0的斜率為_(kāi)_____.題型六：拋物線中的范圍與最值問(wèn)題例10．已知點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最小值是__________．例11．已知點(diǎn)SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離與點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離之和最小值為_(kāi)_________.題型七：焦半徑問(wèn)題例12．過(guò)拋物線M：SKIPIF1<0焦點(diǎn)的直線交拋物線M于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)P到M的準(zhǔn)線的距離等于9，則SKIPIF1<0__________．例13．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____________________.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．過(guò)拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0作直線，交拋物線于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．1 B．2 C．3 D．42．已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交該拋物線于SKIPIF1<0兩點(diǎn)．若線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0斜率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．過(guò)拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)F作傾斜角為SKIPIF1<0的弦AB，則SKIPIF1<0的值為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題4．拋物線SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0到焦點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______.5．拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作斜率為SKIPIF1<0的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是____.6．已知點(diǎn)F為拋物線S