高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)第1課時函數(shù)的概念及其表示學(xué)案

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．常考點：函數(shù)的奇偶性、函數(shù)性質(zhì)的綜合．函數(shù)的性質(zhì)主要考查與抽象函數(shù)有關(guān)的問題(奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性等)．2．輪考點：函數(shù)的概念、圖象，函數(shù)的應(yīng)用．(1)函數(shù)的概念主要考查新定義問題、分段函數(shù)的求值等問題；(2)函數(shù)的圖象主要考查基本初等函數(shù)圖象的識別；(3)指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)主要考查代數(shù)值的大小比較，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用等問題；(4)函數(shù)的應(yīng)用主要考查函數(shù)零點問題、函數(shù)模型的應(yīng)用等．第1課時函數(shù)的概念及其表示[考試要求]1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域．2．在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．考點一函數(shù)的概念1．函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素定義域x的取值范圍A對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A值域與x的值相對應(yīng)的y值的集合{f(x)|x∈A}提醒：以下幾個特殊函數(shù)的定義域：(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實數(shù)集合．(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實數(shù)集合．(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合．(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}．(5)正切函數(shù)y＝tanx的定義域為x│x≠k(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范圍即為f(g(x))的定義域．(2)若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，就是f(x)的定義域．[典例1](1)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()ABCD(2)函數(shù)f(x)＝x+13x-2＋(A．23，+∞ B．23C．23，1∪(1，＋∞) (3)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－8，1]，則函數(shù)g(x)＝f2A．(－∞，－2)∪(－2，3]B．[－8，－2)∪(－2，1]C．[－15，－2)∪(－2，3]D．-92(1)B(2)C(3)D[(1)A中函數(shù)定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是[0，2]．故選B．(2)要使函數(shù)f(x)＝x+13x-2＋(則3x-2>0x-1≠0因此，函數(shù)f(x)的定義域為23，1∪(1，＋(3)由題意得－8≤2x＋1又x＋2≠0，解得x≠－2，故函數(shù)的定義域是-92本例(1)考查對函數(shù)概念的理解，注意集合A中任意一個數(shù)x在集合B中都有唯一確定的數(shù)y與之對應(yīng)；本例(2)特別注意(x－1)0中x－1≠0；本例(3)要注意f(x)中的“x”與f(2x＋1)中“2x＋1”的范圍一致．跟進訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)＝4-A．[－2，2] B．(－2，3)C．[－2，1)∪(1，2] D．(－2，1)∪(1，2)(2)已知函數(shù)f(x＋2)的定義域為(－2，0)，則函數(shù)f(2x－2)的定義域為()A．(0，2) B．-C．(1，2) D．-(3)若函數(shù)y＝mx-1mx2+A．0，34 C．0，34 (1)C(2)C(3)D[(1)要使函數(shù)有意義，則4-x2≥故函數(shù)f(x)的定義域為[－2，1)∪(1，2]．故選C．(2)對于函數(shù)f(x＋2)，－2<x<0，所以0<x＋2<2，即f(x)的定義域為(0，2)，對于函數(shù)f(2x－2)，0<2x－2<2，即1<x<2，故f(2x－2)的定義域是(1，2)．故選C．(3)∵函數(shù)y＝mx-1mx∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或m≠即m＝0或0<m<34∴實數(shù)m的取值范圍是0，3考點二同一個函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．[典例2]下列各組中的兩個函數(shù)為同一個函數(shù)的是()A．y1＝x2-16x-4，B．f(x)＝x－1，g(x)＝x2C．f(x)＝x2－2x＋1，g(t)＝t2－2t＋1D．f1(x)＝1，f2(x)＝x0C[A項：y1的定義域不包括x＝4，兩個函數(shù)的定義域不同，所以是不同函數(shù)；B項：g(x)＝x2－1＝|x|－1≠f(xC項：定義域都是實數(shù)集，對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一個函數(shù)；D項：f2(x)的定義域不包括x＝0，兩個函數(shù)的定義域不同，所以是不同函數(shù)．故選C．]判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)的注意點：(1)f(x)與g(x)的(化簡之前)定義域必須相同；(2)f(x)與g(x)的(化簡之后)表達(dá)式必須相同；(3)二者缺一不可．跟進訓(xùn)練2(多選)下列四組函數(shù)，f(x)與g(x)不表示同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x－1，g(x)＝xB．f(x)＝x，g(x)＝(x)2C．f(x)＝1，g(x)＝(x＋1)0D．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝x+1，ABC[對A，g(x)＝x2-1x+1(x≠－1)，f(x對B，g(x)＝(x)2＝x(x≥0)，f(x)與g(x)定義域不同；對C，g(x)＝(x＋1)0＝1(x≠－1)，f(x)與g(x)定義域不同；對D，f(x)＝|x＋1|＝x+1，x≥-1，-x-1，x<-1，考點三函數(shù)解析式的求法求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)構(gòu)造方程組消元法．[典例3](1)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意x∈R均滿足：2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1(2)設(shè)函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，滿足f(f(x))＝16x＋5，則f(x)＝________．(3)已知fx-1x＝x2＋1x2，則函數(shù)f((1)A(2)4x＋1(3)x2＋211[(1)由2f(x)－f(－x)＝3x＋1，可得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，①又4f(x)－2f(－x)＝6x＋2，②①＋②得：3f(x)＝3x＋3，解得f(x)＝x＋1，故選A．(2)∵f(x)為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，∴設(shè)f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－53(不合題意，舍去)．因此f(x)＝4x(3)令x－1x＝t，則x2＋1x2＝x-1所以f(t)＝t2＋2，所以f(x)＝x2＋2，所以f(3)＝32＋2＝11．]本例(1)的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于f(x)與f(－x)的二元一次方程組，用構(gòu)造方程組消元法求解；本例(2)注意f(x)為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b，a>0，用待定系數(shù)法求解；本例(3)換元法的關(guān)鍵是令x－1x＝t，發(fā)現(xiàn)x2＋1x2＝x-1x跟進訓(xùn)練3(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)滿足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x[解](1)法一(配湊法)：∵f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1，x≥1．法二(換元法)：令x＋1＝t，t≥1，則x＝t－1，x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴2a=1，∴f(x)＝12x2－32(3)(方程組法)∵2f(x)＋f1x＝3x，∴將x用1x得2f1x＋f(x)＝3x由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠考點四分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．提醒：(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．[典例4](1)已知函數(shù)f(x)＝2x-1，x<A．8 B．7C．6 D．5(2)(2021·浙江卷)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x2-4，x>2，x-3+a，(1)A(2)2[(1)因為函數(shù)f(x)＝2所以f(3)＝23＝8．故選A．(2)因為6>2，所以f(6)＝6－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]由于分段函數(shù)在x的不同取值范圍內(nèi)對應(yīng)的表達(dá)式不同，所以做題時應(yīng)注意函數(shù)表達(dá)式的選擇．本例(1)因為3>0，則代入f(x)＝2x；本例(2)在求解時要先內(nèi)后外，即先求出f(6)的值為2，再求f(f(6))＝f(2)＝1＋a．跟進訓(xùn)練4(1)(2024·山東省聊城一中期中)已知函數(shù)f(x)＝3x+1，x≥4，A．37 B．41C．19 D．23(2)已知函數(shù)f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0，A．－3 B．－1C．1 D．3(3)已知函數(shù)f(x)＝1則f(f(－2))＝________．(1)B(2)A(3)4[(1)因為f(x)＝3x+1，x≥4，fx2，x<4，因此，f(3)＋f(4)＝41．故選B．(2)∵函數(shù)f(x)＝2∴f(1)＝21＝2，∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，當(dāng)a>0時，f(a)＝2a＝－2，方程2a＝－2無解，即滿足條件的a不存在；當(dāng)a≤0時，f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3．∴a＝－3．故選A．(3)由f(x)＝1所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝23-1＝22＝4．故答案為4．]課后習(xí)題(五)函數(shù)的概念及其表示1．(人教A版必修第一冊P69練習(xí)T2改編)函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是()ABCDB[函數(shù)f(x)＝|x－1|＝x-1，2．(多選)(人教A版必修第一冊P72習(xí)題3.1T2改編)下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x2－2x－1與g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝-x3與g(x)＝C．f(x)＝xx與g(x)＝D．f(x)＝x與g(x)＝xAC[f(x)＝-x3＝－x-x與g(x)＝x-x的表達(dá)式不同；f(x)＝x與g(x)＝x23．(人教A版必修第一冊P65例2改編)已知函數(shù)f(x)＝x＋1x，則f(x)的定義域為________；若f(a)＝2，則a(－∞，0)∪(0，＋∞)1[要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0，故f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(a)＝2得a＋1a＝2，解得a4．(人教A版必修第一冊P74習(xí)題3.1T13改編)函數(shù)f(x)＝[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．(1)若f(a)＝3，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x∈(－1.5，2]時，寫出函數(shù)f(x)的解析式．[解](1)若f(a)＝3，則[a]＝3，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，知a∈[3，4)．(2)當(dāng)x∈(－1.5，2]時，f(x)＝-5．下列圖象中，能表示函數(shù)y＝f(x)圖象的是()A．①② B．②③C．②④ D．①③D[∵一個x只能對應(yīng)一個y，∴①③符合題意．對于②中，當(dāng)x>0時，一個x對應(yīng)兩個y，不符合函數(shù)的定義；對于④中，當(dāng)x＝0時，一個x對應(yīng)兩個y，不符合函數(shù)的定義．故選D．]6．(2024·福建福州模擬)下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)是同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x，g(x)＝xB．f(x)＝2lgx，g(x)＝lgx2C．f(x)＝|x|，g(x)＝xD．f(x)＝12x，g(xC[A選項，f(x)＝x的定義域是R，g(x)＝x2x的定義域是{x|xB選項，f(x)＝2lgx的定義域是{x|x＞0}，g(x)＝lgx2的定義域是{x|x≠0}，所以不是同一個函數(shù)；C選項，g(x)＝x2＝|x|＝f(x)，兩個函數(shù)D選項，f(x)＝12x的定義域是R，g(x)＝7．(2024·湖北省武昌實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)f(x)＝2x，x≥4，A．6 B．11C．24 D．36C[1＋log23∈(2，3)，所以f(1＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝238．(多選)十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉引入了“倒函數(shù)”概念：若函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(－x)＝1，則稱f(x)為“倒函數(shù)”．下列函數(shù)為“倒函數(shù)”的是()A．f(x)＝1 B．f(x)＝x2C．f(x)＝ex D．f(x)＝lnxAC[對于A：f(x)＝1，則f(－x)＝1，所以f(x)·f(－x)＝1，故A正確；對于B：f(x)＝x2，則f(2)·f(－2)＝16，故B錯誤；對于C：f(x)＝ex，則f(－x)＝e－x，所以f(x