2024年高中數(shù)學競賽講義

高中數(shù)學競賽講義（一）──集合與簡易邏輯一、基礎知識定義1

一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體組成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，一般用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示措施有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的措施，如{1，2，3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的措施。例如{有理數(shù)}，分別表示有理數(shù)集和正實數(shù)集。定義2

子集：對于兩個集合A與B，假如集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。要求空集是任何集合的子集，假如A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。假如A是B的子集，并且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。定義3

交集，定義4

并集，定義5

補集，若稱為A在I中的補集。定義6

差集，。定義7

集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R記作定理1

集合的性質(zhì)：對任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【證明】這里僅證（1）、（3），其他由讀者自己完成。（1）若，則，且或，因此或，即；反之，，則或，即且或，即且，即（3）若，則或，因此或，因此，又，因此，即，反之也有定理2

加法原理：做一件事有類措施，第一類措施中有種不一樣的措施，第二類措施中有種不一樣的措施，…，第類措施中有種不一樣的措施，那么完成這件事一共有種不一樣的措施。定理3

乘法原理：做一件事分個步驟，第一步有種不一樣的措施，第二步有種不一樣的措施，…，第步有種不一樣的措施，那么完成這件事一共有種不一樣的措施。二、措施與例題1．利用集合中元素的屬性，檢查元素是否屬于集合。例1

設，求證：（1）；（2）；（3）若，則[證明]（1）因為，且，因此（2）假設，則存在，使，因為和有相同的奇偶性，因此是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不也許等于，假設不成立，因此（3）設，則（因為）。2．利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。例2

設A，B是兩個集合，又設集合M滿足，求集合M（用A，B表示）?！窘狻肯茸C，若，因為，因此，因此；再證，若，則1）若，則；2）若，則。因此綜上，3．分類討論思想的應用。例3

，若，求【解】依題設，，再由解得或，因為，因此，因此，因此或2，因此或3。因為，因此，若，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。4．計數(shù)原理的應用。例4

集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合對（A，B）的個數(shù)；（2）求I的非空真子集的個數(shù)。【解】（1）集合I可劃分為三個不相交的子集；A\B，B\A，中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種也許，每一個也許確定一個滿足條件的集合對，因此集合對有310個。（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I自身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個，非空真子集有1022個。5．配對措施。例5給定集合的個子集：，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具備該性質(zhì)，求的值?！窘狻繉的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得對，每一對不能同在這個子集中，因此，；其次，每一對中必有一個在這個子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設為C1A與A，并設，則，從而能夠在個子集中再添加，與已知矛盾，因此。綜上，。6．競賽常用措施與例問題。定理4

容斥原理；用表示集合A的元素個數(shù)，則，需要xy此結論能夠推廣到個集合的情況，即定義8

集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個-劃分。定理5

最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6

抽屜原理：將個元素放入個抽屜，必有一個抽屜放有不少于個元素，也必有一個抽屜放有不多于個元素；將無窮多個元素放入個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。例6

求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)?！窘狻坑?，，由容斥原理，，因此不能被2，3，5整除的數(shù)有個。例7

S是集合{1，2，…，}的子集，S中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個元素？【解】將任意連續(xù)的11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數(shù)至多有一個屬于S，將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組，提成6組，其中一組只有一個數(shù)，若S含有這11個數(shù)中最少6個，則必有兩個數(shù)在同一組，與已知矛盾，因此S至多含有其中5個數(shù)。又因為=182×11+2，因此S一共至多含有182×5+2=912個元素，另首先，當初，恰有，且S滿足題目條件，因此最少含有912個元素。例8

求所有自然數(shù)，使得存在實數(shù)滿足：【解】

當初，；當初，；當初，。下證當初，不存在滿足條件。令，則因此必存在某兩個下標，使得，因此或，即，因此或，。（?。┤?，考慮，有或，即，設，則，導致矛盾，故只有考慮，有或，即，設，則，推出矛盾，設，則，又推出矛盾，因此故當初，不存在滿足條件的實數(shù)。（ⅱ）若，考慮，有或，即，這時，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，因此，這又矛盾，因此只有，因此。故當初，不存在滿足條件的實數(shù)。例9

設A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三個數(shù)，B中取兩個數(shù)組成五個元素的集合，求的最小值。【解】設B中每個數(shù)在所有中最多重復出現(xiàn)次，則必有。若否則，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，最少有一個A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設它是1，就有集合{1，}，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數(shù)，這不也許，因此20個中，B中的數(shù)有40個，因此最少是10個不一樣的，因此。當初，如下20個集合滿足要求：{1，2，3，7，8}，

{1，2，4，12，14}，

{1，2，5，15，16}，

{1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，

{1，3，6，12，15}，

{1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，

{2，3，4，13，15}，

{2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，

{2，4，6，7，11}，

{2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，

{3，5，6，7，10}，

{4，5，6，14，15}。例10集合{1，2，…，3n}能夠劃提成個互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)【解】設其中第個三元集為則1+2+…+因此。當為偶數(shù)時，有，因此，當為奇數(shù)時，有，因此，當初，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}滿足條件，因此的最小值為5。三、基礎訓練題1．給定三元集合，則實數(shù)的取值范圍是___________。2．若集合中只有一個元素，則=___________。3．集合的非空真子集有___________個。4．已知集合，若，則由滿足條件的實數(shù)組成的集合P=___________。5．已知，且，則常數(shù)的取值范圍是___________。6．若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有___________個。7．集合之間的關系是___________。8．若集合，其中，且，若，則A中元素之和是___________。9．集合，且，則滿足條件的值組成的集合為___________。10．集合，則___________。11．已知S是由實數(shù)組成的集合，且滿足1））若，則。假如，S中最少含有多少個元素？闡明理由。12．已知，又C為單元素集合，求實數(shù)的取值范圍。四、高考水平訓練題1．已知集合，且A=B，則___________，___________。

2．，則___________。3．已知集合，當初，實數(shù)的取值范圍是___________。4．若實數(shù)為常數(shù)，且___________。5．集合，若，則___________。6．集合，則中的最小元素是___________。7．集合，且A=B，則___________。8．已知集合，且，則的取值范圍是___________。9．設集合，問：是否存在，使得，并證明你的結論。10．集合A和B各含有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下列條件的集合C的個數(shù)：1）且C中含有3個元素；2）。11．判斷如下命題是否正確：設A，B是平面上兩個點集，，若對任何，都有，則必有，證明你的結論。五、聯(lián)賽一試水平訓練題1．已知集合，則實數(shù)的取值范圍是___________。2．集合的子集B滿足：對任意的，則集合B中元素個數(shù)的最大值是___________。3．已知集合，其中，且，若P=Q，則實數(shù)___________。4．已知集合，若是平面上正八邊形的頂點所組成的集合，則___________。5．集合，集合，則集合M與N的關系是___________。6．設集合，集合A滿足：，且當初，，則A中元素最多有___________個。7．非空集合，≤則使成立的所有的集合是___________。8．已知集合A，B，aC（無須相異）的并集,則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個數(shù)是___________。9．已知集合，問：當取何值時，為恰有2個元素的集合？闡明理由，若改為3個元素集合，結論怎樣？10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。11．S是Q的子集且滿足：若，則恰有一個成立，并且若，則，試確定集合S。12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個五元子集滿足：S中的任何兩個元素至多出目前兩個不一樣的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？六、聯(lián)賽二試水平訓練題1．是三個非空整數(shù)集，已知對于1，2，3的任意一個排列，假如，，則。求證：中必有兩個相等。2．求證：集合{1，2，…，1989}能夠劃分為117個互不相交的子集，使得（1）每個恰有17個元素；（2）每個中各元素之和相同。3．某人寫了封信，同時寫了個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？4．設是20個兩兩不一樣的整數(shù)，且整合中有201個不一樣的元素，求集合中不一樣元素個數(shù)的最小也許值。5．設S是由個人組成的集合。求證