專題1.10相似精講精練（解析版）【人教版】

1.比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng).（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若=,則ad=bc.②合比性質(zhì)．若,則③分比性質(zhì)．若=,則=.④合分比性質(zhì)．若,則⑤等比性質(zhì)．若==…=，則2.比例線段（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.3.平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.4.相似圖形（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對于相似圖形，應(yīng)注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.（3）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.5.相似多邊形的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形.（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形.（4）相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等.6.相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.7.相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應(yīng)邊的比相等和對應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個(gè)三角形相似也有對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可.8.相似三角形的應(yīng)用（1）利用影長測量物體的高度.①測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”的原理解決.②測量方法：在同一時(shí)刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計(jì)算出被測量物的長度.（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）.①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形.②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度.（3）借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.9.作圖—相似變換（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到.（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進(jìn)行簡單的相似變換作圖．如圖所示：（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形.10.相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比.（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方.11.位似變換（1）位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形；②對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)；③對應(yīng)邊平行.（2）位似圖形與坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.12.作圖-位似變換（1）畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.借助橡皮筋、方格紙、格點(diǎn)圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計(jì)算機(jī)也很好地將一個(gè)圖形放大或縮小.（2）注意：①畫一個(gè)圖形的位似圖形時(shí)，位似中心的選擇是任意的，這個(gè)點(diǎn)可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求.②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位似圖形的結(jié)果是不唯一的.【考點(diǎn)1】相似圖形【例1】（襄都區(qū)期中）如圖，在矩形、銳角三角形、正方形、直角三角形的外邊加一個(gè)寬度一樣的外框，保證外框的邊與原圖形的對應(yīng)邊平行，則外框與原圖不一定相似的是()A．矩形B．銳角三角形C．正方形D．直角三角形【分析】根據(jù)相似多邊形的判定定理：對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等，對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定最后答案.【解答】解：A、兩矩形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比值不一定相等，不一定相似，符合題意；B、兩銳角三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；C、兩正方形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；D、兩直角三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；故選：A.【變式1.1】（靜安區(qū)校級(jí)期中）下列圖形中一定相似的是()A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．矩形都相似D．等腰直角三角形都相似【分析】根據(jù)相似圖形的定義一一判斷.【解答】解：直角三角形，等腰三角形，矩形不一定相似，等腰直角三角形一定相似.故選：D.【變式1.2】（奉賢區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是()A．兩個(gè)等腰直角三角形B．各有兩邊長是4和5的兩個(gè)直角三角形C．各有兩邊長是4和5的兩個(gè)等腰三角形D．各有一個(gè)角是40°的兩個(gè)等腰三角形【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.【解答】解：A、兩個(gè)等腰直角三角形，兩腰成比例，夾角都是直角相等，一定相似，故本選項(xiàng)符合題意；B、各有兩邊長是4和5的兩個(gè)直角三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C、各有兩邊長是4和5的兩個(gè)等腰三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；D、各有一個(gè)角是40°的兩個(gè)等腰三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意.故選：A.【變式1.3】（南海區(qū)期中）下面四個(gè)選項(xiàng)中的一般三角形、等邊三角形、正方形、矩形的各邊分別等距向外擴(kuò)張1個(gè)單位，那么擴(kuò)張后的幾何圖形與原幾何圖形不一定相似的是()B.D.【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項(xiàng)一一分析，排除不符合要求答案.【解答】解：A：形狀相同，符合相似形的定義，對應(yīng)角相等，所以三角形相似，故A選項(xiàng)不符合要求；B：形狀相同，符合相似形的定義，故B選項(xiàng)不符合要求；C：形狀相同，符合相似形的定義，故C選項(xiàng)不符合要求；D：兩個(gè)矩形，雖然四個(gè)角對應(yīng)相等，但對應(yīng)邊不成比例，故D選項(xiàng)符合要求；故選：D.【考點(diǎn)2】相似圖形的性質(zhì)A．100oB．110oC．120oD．130o【分析】直接利用相似多邊形的性質(zhì)得出∠F=∠B＝70°,再利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案.【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∴∠F=∠B＝70°,故選：C.【分析】利用相似多邊形的對應(yīng)角相等求得答案即可.故選：C.【變式2.2】（晉州市期中）矩形相鄰的兩邊長分別為25和x（x＜25把它按如圖所示的方式分割成五個(gè)全等的小矩形，每一個(gè)小矩形均與原矩形相似，則x的值為()A．5B．5√5【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式，即可得到答案.【解答】解：∵原矩形的長為25，寬為x，∴小矩形的長為x，寬為＝5，∵小矩形與原矩形相似，解得：x＝5√5或﹣5√5（舍去故選：B.【變式2.3】（雙柏縣期中）如圖所示，已知矩形ABCD的邊AD長為8cm，邊AB長為6cm，從中截去一個(gè)矩形（圖中陰影部分如果所截矩形與原矩形相似，那么所截矩形的面積是()A．21cm2B．24cm2C．27cm2D．30cm2【分析】根據(jù)已知先求出矩形ABCD的面積，再利用相似多邊形面積的比等于相似比的平方，進(jìn)行計(jì)算即可解答.【解答】解：∵AD＝8cm，AB＝6cm，∴矩形ABCD的面積＝AD?AB＝8×6＝48（cm2∵矩形AEFB與矩形ABCD相似，∴矩形AEFB的面積＝矩形ABCD的面積=×48＝27（cm2故選：C.【考點(diǎn)3】比例的性質(zhì)【例3】（秦皇島期末）若，則的值為(【分析】根據(jù)合比性質(zhì)直接進(jìn)行解答即可.【解答】解：∵)D．1∴==.故選：C.【分析】由可得b＝3a，把b換成3a即可求出的值.【解答】解：∵=,∴==﹣2.故選：C.【變式3.2】（龍崗區(qū)期中）若3m＝4n（mn≠0則下列比例式成立的是()【分析】利用內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積進(jìn)行判斷.【解答】解：∵3m＝4n，∴=,=.故選：B.【變式3.3】（大埔縣期中）已知且b+2d﹣f≠0，則的值為()【分析】利用等邊性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.【解答】解：∵===,∴===,∴=,故選：C.【考點(diǎn)4】平行線分線段的性質(zhì)【例4】（鎮(zhèn)平縣期中）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，則CE：BC=()【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.【解答】解：∵AG＝2，GD＝1，∵AB∥CD∥EF，∴==故選：A.【變式4.1】（富川縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=B.【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入數(shù)值即可求解.【解答】解：∵AB∥EF∥DC，∴=∴=,∴CB=,∴FB＝CB﹣CF=故選：B.【變式4.2】（鐘山區(qū)期末）已知線段m，n，求作線段x，使得，下列作圖正確的是()B.D.【分析】利用比例的性質(zhì)得到x：b＝b：2a或b：x＝2a：b，當(dāng)m∥n時(shí)，根據(jù)平行線分線段成比例定理可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【解答】解：∵x=,∴作圖正確的是.故選：C.【變式4.3】（濱湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB交AC于E，如果=那么等于()【分析】由AD為△ABC的角平分線，DE∥AB，易得△ADE是等腰三角形，△CDE∽△CBA，又由=,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案.=【解答】解：∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD，∴∠BAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ADE，==∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴=∴=,=故選：B.【考點(diǎn)s】相似三角形的判定條件【例5】（上蔡縣期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D，連接DC；再以點(diǎn)D為圓心，DC長為半徑畫弧，交CB的延長線于點(diǎn)E．若BE＝BD，∠E＝15°,AD=1，則下列結(jié)論正確的是()C.△EBD∽△EDCD．S△ABC=【分析】由BE＝BD，得∠BDE=∠E＝15°,由DE＝DC，得∠DCE=∠E＝15°,則∠ABC=∠BDE+∠E＝30°,∠ACD=∠ADC=∠ABC+∠DCE＝45°,可判斷A錯(cuò)誤；可求得ACB=∠ACD+∠DCE＝60°,則∠A＝90°,所以BC＝2AC＝2，由勾股定理求得AB=知AB≠2AC，可判斷B錯(cuò)誤；由∠E=∠E，∠BDE=∠DCE，可證明△EBD∽△EDC，可判斷C正確；△ABC=,可判斷D錯(cuò)誤，于是得到問題的答案.【解答】解：由作圖可知，AD＝AC，DE＝DC，∴∠ABC=∠BDE+∠E＝15°+15°=30°,∴∠ACD=∠ADC=∠ABC+∠DCE＝30°+15°=45°,故A錯(cuò)誤；∴∠ABC＝30°,∠ACB=∠ACD+∠DCE＝45°+15°=60°,∴AB===,故B錯(cuò)誤；∵∠E=∠E，∠BDE=∠DCE，故C正確；∴S△ABC＝AB?AC=×1=故選：C.【變式5.1】（來安縣期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，那么下列條件中，不能判D.【分析】A和B：根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行判斷即可；C、根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行判斷即可；D、據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行判斷即可.【解答】解：A、由∠ADE=∠C，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；B、由∠AED=∠B，∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；C、因?yàn)?,此時(shí)不確定∠AED=∠B，故不能確定△ADE∽△ACB；因此本選項(xiàng)不能判斷△ADE∽△ACB，D、由,∠A=∠A，則可判斷△ADE∽△ACB；故選：C.【變式5.2】（梁山縣期末）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似【分析】利用△ABC中，∠ACB＝135°,BCAC＝2，然后根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對各選項(xiàng)進(jìn)行判定即可.【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°,AC＝2，BC=,在B、C、D選項(xiàng)中的三角形都沒有135°,而在A選項(xiàng)中，三角形的鈍角為135°,它的兩邊分別為1和，因?yàn)椋訟選項(xiàng)中的三角形與△ABC相似.故選：A.【變式5.3】（東明縣期末）如圖，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、CD上的點(diǎn)，①∠BEF＝90°,則圖中①、②、③、④四個(gè)三角形中，一定相似的是()【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A=∠D＝90°,推出∠ABE=∠DEF，由此證明③和④一定相似.【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠DEF，∴△ABE∽△DEF，即③和④一定相似，故選：B.【考點(diǎn)6】相似三角形的性質(zhì)【例6】（渭濱區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()【分析】設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.【解答】解：設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，當(dāng)△PAE∽△PBC時(shí)即=,解得，x=,當(dāng)△PAE∽△CBP時(shí)即=,解得，x＝2或6，可得：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè).故選：C.【變式6.1】（渝中區(qū)校級(jí)期末）已知兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊之比為9：4，則這兩個(gè)相似三角形的周長之【分析】根據(jù)相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比求解.【解答】解：兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊之比為9：4，則這兩個(gè)相似三角形的周長之比9：4.故選：B.【變式6.2】（肇源縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，點(diǎn)D在邊AC上，且CD＝4，過點(diǎn)D作一條直線交邊AB于點(diǎn)E，使△ADE與△ABC相似，則DE的長是()A．12B．16C．12或16D．以上都不對【分析】為兩種情況：①∠ADE=∠C，根據(jù)△ADE∽△ACB，得出代入求出DE即可；②∠ADE′=∠B，根據(jù)△ADE∽△ABC，得出代入求出即可.【解答】解：∵∠A=∠A，分為兩種情況：①DE∥BC（即∠ADE=∠C∴△ADE∽△ACB，∴=,∵∠A=∠A，∴=,∴=,故選：C.【變式6.3】（永嘉縣校級(jí)模擬）兩對相似的直角三角形按如圖所示的方式擺拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，則矩形EFGH與矩形ABCD的面積之比為()B.D.【分析】由題意可以假設(shè)EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y(tǒng)．利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程組，求出x，y（用a表示再利用勾股定理求出AD，CD（用a表示）即可解決問題.【解答】解：由題意可以假設(shè)EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y(tǒng).∴AH＝y(tǒng)+2a，BE＝x+a，∵△ADH∽△BAE，∴==,∴==,∴矩形EFGH與矩形ABCD的面積之比＝2a2：×a=,故選：D.【考點(diǎn)7】位似【例7】（吉安縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若OA＝2，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為()A3，6）B4，8）C6，12）D6，10）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到△OAD∽△OBG，且根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BG即可得到答案.【解答】解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴△OAD∽△OBG，∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴△OBC∽△OEF，=,∴==,∴=,解得：BE＝12，故選：C.【變式7.1】（建平縣期末）如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（3，1以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來的2倍后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為()A3，1）B3，3）C4，1）D4，4）【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)與位似比的關(guān)系得出C點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來的2倍后得到線段CD，∴A點(diǎn)與C點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，∵C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2位似比為：1：2，故選：D.【變式7.2】（沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3，若△DEF的周長為6，則△ABC的周長是()【分析】根據(jù)位似變換的定義、相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.【解答】解：∵△DEF和△ABC是位似圖形，位似比為2：3，∴△DEF和△ABC的相似比為3：2，∴△ABC的周長=×△DEF的周長＝4，故選：D.【變式7.3】（襄都區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC，任取一點(diǎn)O，連接AO，BO，CO，并取它們的中點(diǎn)D、E、F、順次連接得到△DEF，下列結(jié)論：①△ABC與△DEF是位似圖形；②△ABC與△DEF是相似圖形；③△ABC與△DEF的周長之比1：2；④△ABC與△DEF的面積之比為2：1.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BC，EF＝BC，DF∥AC，DF＝AC，DE∥AB，DE＝AB，進(jìn)而證明△ADEF∽△ABC，根據(jù)位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)判斷即可.【解答】解：∵AO、BO、CO的中點(diǎn)分別為D、E、F，∴EF∥BC，EF＝BC，DF∥AC，DF＝AC，DE∥AB，DE＝AB，∴△DEF∽△ABC，∴△DEF與△ABC是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O，∴△DEF與△ABC是相似圖形，∴△DEF與△ABC的周長比是1：2，△DEF與△ABC的面積比是1：4，∴①②正確，③④錯(cuò)誤.故選：B.【考點(diǎn)8】相似三角形的性質(zhì)與判定【例8】（上蔡縣期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E.（1）證明：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，AD＝12，求的值.【分析】（1）想辦法證明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC＝90°即可解決問題；（2）利用面積法：?AD?BD=?AB?DE求解即可；∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD.∴AD⊥BC，∵?AD?BD＝?AB?DE，:DE＝【變式8.1】（費(fèi)縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，上C＝上DEA．（1）求證：△ADE∞△DEC；（2）若CE＝4，DE＝6，求AD的長．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得上ADE＝上DEC，再由上C＝上DEA，即可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)列出比例式即可求解．【解答】（1）證明：“四邊形ABCD是平行四邊形，:ADⅡBC，:上ADE＝上DEC，“上C＝上DEA，:△ADE∞△DEC．（2）解：“△ADE∞△DEC，::AD＝，“CE＝4，DE＝6，:AD＝9．【變式8.2】（藍(lán)山縣期末）在矩形ABCD中，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CF丄BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF．（1）求證：△DEF∞△BEC；（2）求cos∠BFE的值；（3）當(dāng)BD＝6時(shí)，求CD的長度.【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明三角形相似；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得對邊相等，證明△ABE≌△DCF（SAS再根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例求出=,進(jìn)而求出cos∠BFE的值；（3）先證明△DCE∽△DBC，再得△DCE∽△DBC，進(jìn)而求CD的長度.【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FDB=∠DBC，∵∠DEC=∠BEC，∴△DEF∽△BEC；解2）∵F為AD的中點(diǎn)，∴AF＝FD＝AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴△ABE≌△DCF（SAS∴BF＝FC，∴=,∵△DEF∽△BEC，∴=,∵CF⊥BD，∴cos∠BFE=;解3）∵BD＝6∵CF⊥BD，∴DC2＝BD?DE=2×6=12，【變式8.3】（吉安縣期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，點(diǎn)D在AB上.（1）當(dāng)△ABC∽△CBD時(shí)，求BD的長；（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，說明理由；如果不平分，利用備用圖，畫出∠ACB的平分線CD（CD交AB于D并求BD的長.【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再代入求出BD即可；（2）CD不平分∠ACB，畫出圖形，求出BC＝CE＝4【解答】解1）∵△ABC∽△CBD，∴=,=∴=解得：BD=（2）在（1）中的CD不平分∠ACB，理由是：過B作BE∥DC，交AC的延長線于E，∵DC∥BE，∴∠E=∠ACD，∠DCB=∠CBE，=, ∴=,∴∠E≠∠CBE，即∠ACD≠∠DCB，當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，如圖2，∵DC∥BE，=∴∠E=∠ACD，∠DCB=∠CBE，=∵CD平分∠ACB，∴∠E=∠CBE，∵=,∴=,解得：BD＝2.4.,【考點(diǎn)9】相似三角形的應(yīng)用【例9】（龍泉驛區(qū)期中）小剛測量一棵樹的高度，如圖所示，他把鏡放在水平地面上的C點(diǎn)，沿著直線BC后退到點(diǎn)F，這時(shí)恰好在鏡里看到樹梢頂點(diǎn)A的像，量得BC＝8米，CF＝2米．已知EF，AB均與地面BF垂直，小明的眼睛距離地面1.6米（即EF＝1.6米請你求出樹AB的高.【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△CFE∽△CDE，再根據(jù)其相似比解答.【解答】解：根據(jù)題意，得∠ECF=∠ACB，∠CFE=∠CBA＝90°,則△CFE∽△CBA，=解得：AB＝6.4米.答：松樹的高AB為6.4米.【變式9.1】（旅順口區(qū)期中）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形DEF測量樹的高度AB，∠DEF＝90°,DF＝0.5m，EF＝0.3m．他調(diào)整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線，測得邊DF離地面高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB.【分析】利用相似三角形的判定得到△DEF∽△DCB，由相似三角形的性質(zhì)求得BC的長，則AB＝AC+BC.【解答】解：由題意得：DC⊥BC，∴DE0.4m，答：樹高AB為9m.【變式9.2】（渾南區(qū)期中）如圖，有一塊面積為48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，將它加工成一個(gè)矩形零件EFGH，矩形一邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)落在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)H，G分別在AB，AC上.（1）求證：△AHG∽△ABC；（2）當(dāng)矩形EFGH的面積為△ABC的面積一半時(shí)，求矩形的長和寬分別是多少厘米？【分析】（1）利用相似三角形的判定定理解答即可；（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，AD交HG于點(diǎn)M，利用三角形的面積公式求得AD的長，設(shè)HG＝xcm，HE＝y(tǒng)cm，則DM＝y(tǒng)cm，AM＝AD﹣DM8﹣y）cm，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，得到x，y的關(guān)系式，利用矩形EFGH的面積為△ABC的面積一半列出方程，將x，y的關(guān)系式代入，得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求得結(jié)論.【解答】（1）證明：∵四邊形EFGH∴HG∥EF，∴△AHG∽△ABC；（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，AD交HG于點(diǎn)M，如圖，∵△ABC的面積為48cm2，∵HG∥EF，AD⊥BC，∴AM⊥HG，∴HE＝MD＝GF.設(shè)HG＝xcm，HE＝y(tǒng)cm，則DM＝y(tǒng)cm，∴AM＝AD﹣DM8﹣y）cm，由（1）知：△AHG∽△ABC， ∵矩形EFGH的面積為△ABC的面積一半，=24.解得：x1＝x2＝6，∴y==4，答：矩形的長為6cm，寬為4cm.【變式9.3】（濱湖區(qū)校級(jí)期中）為了測量學(xué)校旗桿上旗幟的寬度MN，如圖，點(diǎn)P、G、C、A在同一水平直線上，MG⊥PA，先是小紅在C處豎立一根標(biāo)桿BC（BC⊥PA地面上的點(diǎn)A、標(biāo)桿頂端B和點(diǎn)N在一條直線上（N在MG上BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；后是賀小明在P處手持自制直角三角紙板DEF（DP⊥PA其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使長直角邊DF與水平地面平行，調(diào)整位置，恰好在P點(diǎn)時(shí)點(diǎn)D、E、M在一條直線上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，請你根據(jù)兩次測量的結(jié)果，求出旗幟的寬度MN.【分析】如圖，延長DF交MG于Q，則DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6，證明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由線段的和差可得結(jié)論.【解答】解：如圖，延長DF交MG于Q，則DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6，∴BC∥MG，∴△ABC∽△ANG，同理得：△DEF∽△DMQ，∴=,∵EF＝0.1米，DF＝0.2米，∴DF＝2EF，∴MQ＝DQ=×23.6＝11.8（米答：旗幟的寬度MN是1.3米.【考點(diǎn)10】相似三角形動(dòng)點(diǎn)問題【例10】（灞橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一點(diǎn)，AD=2cm，點(diǎn)P從C出發(fā)沿C→B→A方向，以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A處，線段DP將△ABC分成兩部分，其中一部分與△ABC相似，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.（1）當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP6﹣t）cm，當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BPt﹣6）cm（請用含t的代數(shù)式表示（2）求出滿足條件的所有t值.【分析】（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，分兩種情形分別求解即可；（2）點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，有兩種情形，點(diǎn)P在AB上時(shí)，有兩種情形，分別求解即可.【解答】解1）當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP6﹣t）cm，當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BPt﹣6）cm故答案為6﹣t）cmt﹣6）cm.（2）如圖，當(dāng)△CPD∽△CAB時(shí)，=,∴t=.∴=,如圖，當(dāng)△ADP∽△ACB時(shí)，∴=∴t=.=∴=∴t=.=綜上所述，滿足條件的t的值為或2或或.【變式10.1】（羅湖區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝20cm，BC＝15cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．求：（1）當(dāng)t＝3時(shí)，這時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？（2）若△CPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)t為多少時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？【分析】（1）在Rt△CPQ中，當(dāng)t＝3，可知CP、CQ的長，運(yùn)用勾股定理可將PQ的長求出；（2）由點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式S△CPQ=CP×CQ求解；（3）應(yīng)分兩種情況：當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CAB時(shí)，根據(jù)=CBA時(shí)，根據(jù)可求出時(shí)間t.,可將時(shí)間t求出；當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△【解答】解：由題意得AP＝4t，CQ＝2t，則CP＝20﹣4t，由勾股定理得PQ=;（2）由題意得AP＝4t，CQ＝2t，則CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面積為S＝cm2；（3）分兩種情況：①當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CAB時(shí)即，解得t＝3；②當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CBA時(shí)即，解得t=.因此t＝3或t＝時(shí)，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.【變式10.2】（新城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以5cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以4cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜2連接PQ.（1）若△BPQ和△ABC相似，求t的值；（2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，BP：BA＝BQ：BC；當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，BP：BC＝BQ：BA，再根據(jù)BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入計(jì)算（2）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入計(jì)算即可.【解答】解1）∵∠ACB＝90°,AC＝6cm，BC＝8cm，分兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，器=,∴=,解得，t＝1，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，=,∴=,解得，t=,∴t＝1或時(shí)，△BPQ∽△BCA；（2）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，如圖所示，則PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，∴∠NAC=∠PCM，∵∠ACQ=∠PMC， 解得t=.【變式10.3】（贛榆區(qū)期末）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°,A發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2連接PQ.（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；（2如圖2）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；（2）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入計(jì)算即可.【解答】解1）①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，,;;或時(shí)，△BPQ與△ABC相似；（2）如圖所示，過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC＝90°,∴△ACQ∽△CMP，,解得：.【考點(diǎn)11】相似與位似作圖問題【例11】（鐘山區(qū)期末）如圖①,在△ABC中，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合過點(diǎn)P的直線PE與AC交于點(diǎn)E使∠AEP=∠B.（1）試判斷△ABC與△AEP的關(guān)系，并說明理由.（2）若把滿足（1）的直線PE稱作“△ABC的一條相似線”，在圖②的△ABC中，∠A＝36°,AB=AC，且點(diǎn)P在AC垂直平分線上，請問過點(diǎn)P的“△ABC的相似線”有幾條？并在圖②中作出所有過點(diǎn)P的“△ABC的相似線”.【分析】（1）根據(jù)∠AEP=∠B，∠A=∠A，可得△ABC∽△AEP；（2）根據(jù)相似三角形的判定可得作∠ACB的平分線交AB于P，過點(diǎn)P分別畫PM∥AC，PN∥BC，即可得出答案.【解答】解1）△ABC∽△AEP∵∠AEP=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△AEP；（2）共有3條，如圖所示：作∠ACB的平分線交AB于P，過點(diǎn)P分別畫PM∥AC，PN∥BC，∴PM、PC、PN所在直線即為所求作相似線.【變式11.1】（王益區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.請用尺規(guī)作圖法在AC邊上求作一點(diǎn)D，使得△BDC∽△ABC保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作∠ABC的角平分線BD交AC于點(diǎn)D.【解答】解：如圖，點(diǎn)D即為所求.【變式11.2】（興慶區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知線段A1B1與線段AB關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，點(diǎn)A1(﹣1，2）是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B1是點(diǎn)B（3，1）的對應(yīng)點(diǎn).（1）畫出線段AB和A1B1；（2）畫出線段AB以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2的線段A2B2，并直接寫出的值.【分析】（1）利用中心對稱變換的性質(zhì)作出圖形即可；（2）分兩種情形畫出圖形，可得結(jié)論.【解答】解1）如圖，線段AB和A1B1即為所求；（2）如圖，線段A2B2，線段A′2B′2即為所求.=1或3.【變式11.3】（北海期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長是一個(gè)單位長度，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3B（3，4C（2，2）.（1）作出△ABC向下平移4個(gè)單位長度得到的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)將△ABC放大為原圖形的2倍，得到△A2BC2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo).【分析】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可.（2）分別作出A，C的對應(yīng)點(diǎn)A2，C2即可.【解答】解1）如圖，△A1B1C1，即為所求作，C1（22）.【考點(diǎn)12】相似綜合問題【例12】（碭山縣月考）四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等我們就把這條對角線稱為這個(gè)四邊形的“理想對角線”.（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝70°,∠ADC＝145°,AB＝AD，AD∥BD是四邊形ABCD的“理想對角線”；（2）如圖2，四邊形ABCD中，AC平分上BCD，上BAD+上BCD＝180。，求證：對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出上ADB＝上ABD＝上CBD，求出上ADB＝上ABD=上CBD＝35。，求出上A＝上BDC＝110。，再根據(jù)相似三角形的判定推出△ABD∞△DBC即可；（2）設(shè)上ACD＝上ACB＝BCD＝x。，上DAC＝a。，根據(jù)上BAD+上BCD＝180。求出上BAD=-上ACD-上DAC＝180。-x。-a。，求出上BAC＝上D，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出即可.【解答】證明1）“AD＝AB，:上ADB＝上ABD，“ADⅡBC，:上ADB＝上CBD，:上ADB＝上ABD＝上CBD，“上ABC＝上ABD+上CBD＝70。，“上ADC＝145。，即上A＝上BDC，“上ABD＝上CBD，:△ABD∞△DBC，:對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”；（2）“AC平分上BCD，:上ACD＝上ACB，“上BAD+上BCD＝180。，由三角形內(nèi)角和定理得：∠D＝180°﹣∠ACD﹣∠DAC＝180°﹣x°﹣a°,∴∠BAC=∠D，∵∠ACB=∠ACD，∴△ABC∽△DAC，∴對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”.【變式12.1】（鄲城縣月考）四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等我們就把這條對角線稱為這個(gè)四邊形的“理想對角線”.（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝70°,AB＝AD，AD∥BC，當(dāng)∠ADC＝145°時(shí)．求證：對角線BD是四邊形ABCD的“理想對角線”.（2）如圖2，四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，當(dāng)∠BCD與∠BAD滿足什么關(guān)系時(shí)，對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”，請說明理由.【分析】（1）利用兩角對應(yīng)相等證明△ABD∽△DBC，可得結(jié)論.（2）如圖2中，當(dāng)∠BAD+∠BCD＝180°時(shí)，對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”．證明△ACB∽△DCA，可得結(jié)論.∴∠ABD=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠C＝35°,∴△ABD∽△DBC，∴BD是四邊形ABCD的“理想對角線”.（2）解：如圖2中，當(dāng)∠BAD+∠BCD＝180°時(shí)，對角線AC是四邊形ABCD的“理想對角線”.理由：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°,∠BAD+∠BCD=∠BAC+∠C