【專題06分式】-2024年新八年級數(shù)學暑假提升講義復習資料（滬科版）

專題06分式知識點1：分式的定義（1）一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分數(shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運算，而不能稱之為分式，但如果用負指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因為y﹣1＝僅是一種數(shù)學上的規(guī)定，而非一種運算形式．知識點2：分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號．知識點3：分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．知識點4：分式的值分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當?shù)淖冃巍⑥D(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．知識點5：分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當分子、分母的系數(shù)為分數(shù)或小數(shù)時，應用分數(shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項的符號．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．知識點6：分式的約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當分子與分母含有負號時，一般把負號提到分式本身的前面．③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．知識點7：最簡分式與最簡公分母1.最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．和分數(shù)不能化簡一樣，叫最簡分數(shù)．2.最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．知識點8：分式的運算1．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運算．運算順序應先把各個分式進行乘方運算，再進行分式的乘除運算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當分子和分母是多項式時，一般應先進行因式分解，再約分．②整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運算時，要注意運算順序，乘除法是同級運算，要嚴格按照由左到右的順序進行運算，切不可打亂這個運算順序．2．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．3．分式的混合運算（1）分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算．【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題1．注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．2．注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進行約分化為最簡分式或整式．3．注意運算律的應用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律運算，會簡化運算過程．4．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．知識點9：列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進行代換．注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分數(shù)線代替．知識點10：分式方程1．分式方程分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)．2．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．4．換元法解分式方程1、解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．5．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．6．由實際問題抽象出分式方程由實際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等．（2）列分式方程解應用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路．7．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．題型歸納【題型1分式有意義的條件】滿分技法分式有無意義取決于分母,要使分式有意義，只要保證分式的分母不為0即可.同理，要使分式無意義，只要讓分母為0即可1．（22-23七年級下·安徽亳州·期末）要使分式有意義，則應滿足的條件是（

）A． B． C． D．2．（22-23七年級下·安徽安慶·期末）若分式的值為，則的值為（）A． B． C．或 D．或3．（2024七年級下·安徽·專題練習）若分式有意義，則的取值范圍是．【題型2分式值為零的條件】滿分技法解分式值為零的方法：分式的值為0的條件是分子為0、分母不為0，二者缺一不可.解題時，可以先求出使分子為0的字母的值，再檢驗這個值是否使分母為0，當分母不為0時，這個值才是所要求的字母的值.4．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）分式的值是零，則的值為（

）A．5 B． C． D．5．（22-23七年級下·安徽滁州·期末）如果分式的值為0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．6．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）已知分式的值為，則．【題型3分式的求值】滿分技法分式的求值，要靈活運用分式的基本性質(zhì)、消元思想或者整體代還思想是解題的秘籍.7．（22-23七年級下·安徽阜陽·階段練習）若，則值為（

）A． B．3 C． D．8．（22-23七年級下·安徽安慶·階段練習）若，則的值是（

）A．10 B． C． D．23（2023·安徽·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【題型4判斷分式變形是否正確】滿分技法分式變形如果是符號變形問題，可利用分式的符號法則，把負號提到分式的前面.(2)若分式的分子或分母是多項式，則要先用括號把分子或分母括起來，再乘以(或除以)同一個不等于0的整式，避免只用分子或分母中的部分項乘以(或除以)這個不為0的整式.10．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）下列式子從左到在變形正確的是（

）A． B． C． D．11．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）下列各式中，錯誤的是（

）A． B． C． D．12．（22-23七年級下·安徽·階段練習）分式可變形為（

）A． B． C． D．【題型5利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】滿分技法解答此類問題，關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù),把字母變化后的值代入式子中進行約分，再與原式比較，得出結(jié)論.13．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）如果把分式中的、同時擴大為原來的2倍，那么該分式的值（

）A．不變 B．擴大為原來的2倍 C．縮小為原來的 D．縮小為原來的14．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）若把分式中和的值都擴大為原來的倍，則分式的值（）A．擴大為原來的倍 B．縮小為原來的C．縮小為原來的 D．擴大為原來的倍15．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）把分式中的值都擴大為原來的2倍，則分式的值（

）A．縮小為原來的 B．不變C．擴大為原來的2倍 D．擴大為原來的4倍16．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）若將中的x與y都擴大2倍，則這個代數(shù)式的值（

）A．不變 B．擴大2倍 C．擴大4倍 D．縮小到原來的【題型6約分】滿分技法(1)分式的約分是恒等變形，要保證約分前后分式的值相等.(2)約分一定要約到分子與分母只有公因式1為止，即得到一個整式或最簡分式為止.17．（22-23七年級下·安徽亳州·期末）下面的約分，正確的是（

）A． B．C． D．18．（2024七年級下·安徽·專題練習）下面的約分，正確的是（

）A． B．C． D．19．（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）已知，則的值（

）A． B．2 C．1 D．3【題型7異分母分式加減法】滿分技法四步搞定異分母分式相加減：第1步，通分，將異分母分式轉(zhuǎn)化成同分母分式；第2步，加減，分母不變，分子相加減；第3步，合并，分子去括號，合并同類項；第4步，約分，分子、分母約分，把結(jié)果化為最簡分式或整式.20．（22-23八年級下·安徽宿州·期末）計算的值為（）A．1 B． C． D．21．（23-24七年級下·安徽宣城·期中）若，，則．22．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）作差法是一種比較兩個數(shù)或代數(shù)式大小的常用方法．(1)若，，試比較A與B的大小關(guān)系，并說明理由．(2)已知，，試比較與的大小【題型8整式與分式相加減】滿分技法整式與分式相加減，可以先把整式寫成分母為1的形式，然后再與分式合并進行計算.23．（22-23七年級下·安徽阜陽·期末）（1）已知，求；（2）已知，求．24．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）【閱讀理解】材料1：為了研究分式與分母的關(guān)系，小明得到數(shù)據(jù)如下表：…01234……無意義10.50.25…從表格數(shù)據(jù)觀察可知，當時，隨著的增大，的值隨之減小，并無限接近0；當時，隨著的增大，的值也隨之減小．材料2：對于一個分子、分母都是多項式的分式，當分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做真分式；當分母的次數(shù)不高于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做假分式．有時候，需要把一個假分式化成整式和真分式的代數(shù)和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：．【應用新知】（1）當時，隨著的增大，的值______（填增大或減?。?；當時，隨著的增大，的值______（填增大或減小）；（2）當時，隨著的增大，的值無限接近一個數(shù)，請求出這個數(shù)；【能力提升】（3）當時，求代數(shù)式值的取值范圍．25．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）若一個分式只含有一個未知數(shù)，分式的分子未知數(shù)的次數(shù)大于分母未知數(shù)的次數(shù)，則該分式可拆分成整式與分式和的形式，例如將拆分如下：【方法一】原式；【方法二】設，則．原式．(1)將分式拆分成一個整式和一個分式的和的形式為____________；(2)任選上述一種方法，將拆分成一個整式和一個分式的和的形式；(3)已知分式的值為整數(shù)，求x的值．【題型9分式加減乘除混合運算】滿分技法分式的混合運算同分數(shù)的混合運算一樣,也是先乘方，再乘除,最后加減.同一級運算,要按照從左到右的順序進行,有括號的要先算括號里面的26．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）若且a，b，c均不為0，則的值為（

）A． B． C．0 D．227．（23-24七年級下·安徽宣城·期中）已知，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．28．（2024七年級下·安徽·專題練習）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)”和“假分數(shù)”，而假分數(shù)都可化為帶分數(shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式）．如：；解決下列問題：(1)分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)如果為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，求所有符合條件的的值．29．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：___________________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．【題型10分式化簡求值】滿分技法解決分式的化簡與求值問題的一般思路是先化簡，再將已知條件代入求值，有時也會用到整體代入的思想.化簡與求值的重點是化簡30．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）若，，則的值為（

）A． B．1 C． D．231．（23-24七年級下·安徽阜陽·階段練習）對于任意兩個非零實數(shù)，，定義新運算“*”如下：，例如：．則（1）．（2）若，則的值為．32．（2024七年級下·安徽·專題練習）請你先將代數(shù)式化簡，然后從0、1、2中選擇一個數(shù)作為的值，并求出式子的值．33．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）先化簡，再求值：，其中．【題型11解分式方程】滿分技法(1)解分式方程的關(guān)鍵是去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.(2)分式方程去分母時，一定不能漏乘不含分母的項.(3)解出未知數(shù)的值后必須檢驗.34．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）已知關(guān)于x的分式方程：．（1）若方程的根為，則m的值為；（2）若方程的解為負數(shù)，則m的取值范圍為．35．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）解方程：．36．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）解方程：．37．（23-24七年級下·安徽阜陽·階段練習）我們把形如（，不為零），且兩個解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．例如為十字分式方程，可化為，，；再如為十字分式方程，可化為，，．應用上面的結(jié)論解答下列問題：(1)若為十字分式方程，則______，______；(2)若十字分式方程的兩個解分別為，，求的值；(3)若關(guān)于的十字分式方程的兩個解分別為，求的值．【題型12根據(jù)分式方程解的情況求值】滿分技法先用待定系數(shù)表示出未知數(shù)，再根據(jù)題目已知條件將分式方程的根寫成特殊解的形式進行求值.38．（2024七年級下·安徽·專題練習）已知關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的所有整數(shù)的和為（

）A．2 B．5 C．6 D．939．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）已知關(guān)于的分式方程的解是非負數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且40．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）若整數(shù)使得關(guān)于的不等式組至少有2個整數(shù)解，且使得關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為．【題型13分式方程無解問題】滿分技法分式方程無解有兩種情況:①由分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程無解;②所解出的整式方程的根全是增根.41．（22-23七年級下·安徽安慶·期末）若關(guān)于的分式方程無解，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．242．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）若關(guān)于的方程有增根，則的值是．43．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）①若關(guān)于的方程有增根，則增根是．②若關(guān)于的方程無解，則的值為．44．（22-23七年級下·安徽滁州·期中）已知，關(guān)于的分式方程．(1)當，時，求分式方程的解；(2)當時，求為何值時，分式方程無解；(3)若，為正整數(shù)，分式方程的解為整數(shù)時，求的值．【題型14列分式方程】滿分技法列分式方程要根據(jù)題目實際要求，往往題目中會給出兩組等量關(guān)系式子（是比、分號往往是提示出），利用等量關(guān)系式子列出等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程即可.45．（22-23七年級下·安徽蚌埠·期末）某市原計劃在沿河地帶種植樹木萬棵，由于青年志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多，結(jié)果提前天完成任務，設原計劃每天植樹萬棵，可列方程為（

）A． B．C． D．46．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）長豐縣2023年第一季度生產(chǎn)總值（GDP）以15.1%的增速領跑合肥各區(qū)縣，其中工業(yè)增速為35.9%最為搶眼．現(xiàn)有甲工廠加工200個零件與乙工廠加工300個零件所用時間相同，若乙工廠每小時比甲工廠多加工20個零件，求兩工廠的零件加工效率？設甲工廠的零件加工效率為x個/小時，依題意列方程正確的是（

）A． B． C． D．47．（22-23七年級下·安徽·階段練習）某校組織九年級學生去距學校的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了后，其余學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度.設騎車學生的速度為，則所列方程正確的是（

）A． B． C． D．48．（22-23七年級下·安徽滁州·階段練習）某河道有大小兩臺挖機作河底清淤泥工作，大挖機每小時比小挖機多挖，若大挖機挖所用的時間與小挖機挖所用的時間相同，若設小挖機每小時挖，則依題意可列方程為．【題型15分式方程的實際應用】滿分技法（1）工程問題常用的等量關(guān)系：解決工程問題時，一要抓住“工作總量＝工作效率×工作時間”，二要抓住“所有隊工作量之和＝工作總量”,根據(jù)這兩種關(guān)系列方程求解,有的時候工作總量沒有給出，我們可以設它為單位“1”，此時獨立完成的工作隊的工作效率與工作時間互為倒數(shù)關(guān)系.（2）行程問題中常用的等量關(guān)系：行程問題屬于典型應用題，其中路程、時間和速度三個量之間的關(guān)系是“路程＝速度×時間”解這類應用題，首先分析出問題中的已知量，確定待求量，然后找出反映全部題意的等量關(guān)系，從而列出方程求解.49．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）巢馬城際鐵路某路段由甲、乙兩個工程隊共同承包修建，經(jīng)調(diào)查，甲工程隊單獨完成該工程的時間是乙工程隊單獨完成該工程時間的2倍，若甲、乙兩工程隊共同完成該工程需要20天，則乙工程隊單獨完成該工程的時間是（

）A．30天 B．35天 C．40天 D．60天50．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）冬去春來，隨著天氣變暖，某服裝店的某款T恤衫迎來暢銷．該服裝店先用6400元購進該款T恤衫若干件，脫銷后，又用13600元購進第二批該款T恤衫，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍，但每件進價多了5元．(1)該服裝店兩次一共購進該款T恤衫多少件？(2)如果這兩批該款T恤衫每件的售價相同，且全部售完后總利潤率不低于，那么每件售價至少是多少元？51．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）為了方便師生鍛煉身體，某學校準備改擴建一塊運動場地．現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，乙工程隊每天施工，甲工程隊每天比乙工程隊每天多施工，甲工程隊施工所需天數(shù)與乙工程隊施工所需天數(shù)相等．(1)求的值；(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續(xù)施工，兩隊共施工20天，且完成的施工面積不少于．求甲工程隊至少單獨施工多少天？52．（23-24七年級下·安徽阜陽·階段練習）又是一年中考到，學校準備購買一些加油元素的貼紙裝飾，九年級的教師經(jīng)過拍選，選定了“九年磨利劍，朝試鋒芒”的款和“蓄意待發(fā)，未來可期”的款兩種貼紙，經(jīng)過了解，款貼紙比款貼紙單價貴元，花費元購買的款貼紙與花費元購買的款貼紙數(shù)量相同．(1)款與款兩種貼紙的單價分別為多少元？(2)學校計劃花費不超過元，購買兩種貼紙共張，且款貼紙數(shù)量不超過款貼紙數(shù)量的倍，問學校有哪幾種購買方案？請將購買方案列舉出來．過關(guān)檢測一、單選題53．（22-23七年級下·安徽滁州·階段練習）下列分式計算正確的是（）A． B．C． D．54．（22-23七年級下·安徽阜陽·階段練習）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．55．（22-23七年級下·安徽阜陽·階段練習）下列代數(shù)式屬于分式的是（

）A． B． C． D．56．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）代數(shù)式，，，，，中分式的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個57．（22-23七年級下·安徽亳州·期末）當分式有意義時，滿足的條件是（

）A． B． C． D．二、填空題58．（22-23七年級下·安徽阜陽·階段練習）已知正整數(shù)a，b，c滿足．（1）當，時，；（2）當時，（用含a的代數(shù)式表示）．59．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）若分式，則分式的值等于．60．（22-23七年級下·安徽六安·階段練習）已知x，y，z滿足，則分式的值為．61．（22-23七年級下·安徽馬鞍山·期末）已知非零實數(shù)a，b滿足，則的值等于．三、解答題62．（2024七年級下·安徽·專題練習）某商家預測一種襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元．(1)該商家購進的第一批襯衫是多少件？(2)若兩批襯衫按相同的標價銷售，如果兩批襯衫全部售完利潤率不低于（不考慮其它因素），那么每件襯衫的標價至少是多少元？（結(jié)果保留整數(shù)）63．（2024七年級下·安徽·專題練習）2020年6月8日，岳西縣黃沙嶺隧道建成通車，來榜至岳西里程由原來的23千米縮短為現(xiàn)在的16千米．從來榜開車到岳西，若隧道開通后的平均速度比隧道開通前的平均速度提高，則隧道開通后比隧道開通前少用22分鐘，在隧道開通和平均速度提高的條件下，從來榜開車到岳西只需多少分鐘？64．（22-23七年級下·安徽亳州·期末）如果兩個分式與的和為常數(shù)，且為正整數(shù)，則稱與互為“完美分式”，常數(shù)稱為“完美值”，如分式，，，則與互為“完美分式”，“完美值”．(1)已知分式，，判斷A與B是否互為“完美分式”？若不是，請說明理由；若是，請求出“完美值”；(2)已知分式，，若與互為“完美分式”，且“完美值”，其中為正整數(shù)，分式的值為正整數(shù)．①求所代表的代數(shù)式；②求的值．

專題06分式知識點1：分式的定義（1）一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分數(shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運算，而不能稱之為分式，但如果用負指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因為y﹣1＝僅是一種數(shù)學上的規(guī)定，而非一種運算形式．知識點2：分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號．知識點3：分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．知識點4：分式的值分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．知識點5：分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當分子、分母的系數(shù)為分數(shù)或小數(shù)時，應用分數(shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項的符號．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．知識點6：分式的約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當分子與分母含有負號時，一般把負號提到分式本身的前面．③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．知識點7：最簡分式與最簡公分母1.最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．和分數(shù)不能化簡一樣，叫最簡分數(shù)．2.最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．知識點8：分式的運算1．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運算．運算順序應先把各個分式進行乘方運算，再進行分式的乘除運算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當分子和分母是多項式時，一般應先進行因式分解，再約分．②整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運算時，要注意運算順序，乘除法是同級運算，要嚴格按照由左到右的順序進行運算，切不可打亂這個運算順序．2．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．3．分式的混合運算（1）分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算．【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題1．注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．2．注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進行約分化為最簡分式或整式．3．注意運算律的應用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律運算，會簡化運算過程．4．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．知識點9：列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進行代換．注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分數(shù)線代替．知識點10：分式方程1．分式方程分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)．2．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．4．換元法解分式方程1、解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．5．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．6．由實際問題抽象出分式方程由實際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等．（2）列分式方程解應用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路．7．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．題型歸納【題型1分式有意義的條件】滿分技法分式有無意義取決于分母,要使分式有意義，只要保證分式的分母不為0即可.同理，要使分式無意義，只要讓分母為0即可1．（22-23七年級下·安徽亳州·期末）要使分式有意義，則應滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，，即可求解．【詳解】解：由題意可得，，解得故選：C【點睛】此題考查了分式有意義的條件，分母不能為零，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的有關(guān)性質(zhì)．2．（22-23七年級下·安徽安慶·期末）若分式的值為，則的值為（）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)分式的值為，分子為，分母不為，進行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，解得：．故選：．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件，熟練掌握分式的值為，分子為，分母不為，是解答本題的關(guān)鍵．3．（2024七年級下·安徽·專題練習）若分式有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．根據(jù)分式有意義的條件可知，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【題型2分式值為零的條件】滿分技法解分式值為零的方法：分式的值為0的條件是分子為0、分母不為0，二者缺一不可.解題時，可以先求出使分子為0的字母的值，再檢驗這個值是否使分母為0，當分母不為0時，這個值才是所要求的字母的值.4．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）分式的值是零，則的值為（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得且，再解即可．【詳解】解：由題意得，且，解之得．故選：A．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子的值為0；（2）分母的值不為0．這兩個條件缺一不可．5．（22-23七年級下·安徽滁州·期末）如果分式的值為0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)分式值為0的條件進行求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選B．【點睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．6．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）已知分式的值為，則．【答案】【分析】根據(jù)分式的值為零的條件：分子且分母，即可求出結(jié)論．【詳解】解：分式的值為零，，解得：．故答案為：7．【點睛】此題考查的是分式的值為零的條件，掌握分式的值為零的條件：分子且分母是解決此題的關(guān)鍵．【題型3分式的求值】滿分技法分式的求值，要靈活運用分式的基本性質(zhì)、消元思想或者整體代還思想是解題的秘籍.7．（22-23七年級下·安徽阜陽·階段練習）若，則值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出，再代入要求的式子進行計算即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了分式的求值，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（22-23七年級下·安徽安慶·階段練習）若，則的值是（

）A．10 B． C． D．23【答案】D【分析】將已知等式變形為，再將所求式子利用分式的性質(zhì)和完全平方公式變形為，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體思想的運用，以及完全平方公式的變形．9．（2023·安徽·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】先根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：，當時，∴原式=．【點睛】本題考查了分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行求解．【題型4判斷分式變形是否正確】滿分技法分式變形如果是符號變形問題，可利用分式的符號法則，把負號提到分式的前面.(2)若分式的分子或分母是多項式，則要先用括號把分子或分母括起來，再乘以(或除以)同一個不等于0的整式，避免只用分子或分母中的部分項乘以(或除以)這個不為0的整式.10．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）下列式子從左到在變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行計算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）下列各式中，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、，正確，不符合題意；B、，正確，不符合題意；C、，正確，不符合題意；D、，錯誤，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，熟知分式中分子與分母同時乘以或除以一個不為0的數(shù)或式子，分式的值不變是解題的關(guān)鍵．12．（22-23七年級下·安徽·階段練習）分式可變形為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案；【詳解】解：原式；故選D．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，分式的基本性質(zhì)是：分子分母同時乘以或除以同一個因式，分式的值不變；解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)，解答時要特別注意結(jié)合所給選項一起判斷如何變形．【題型5利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化】滿分技法解答此類問題，關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù),把字母變化后的值代入式子中進行約分，再與原式比較，得出結(jié)論.13．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）如果把分式中的、同時擴大為原來的2倍，那么該分式的值（

）A．不變 B．擴大為原來的2倍 C．縮小為原來的 D．縮小為原來的【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：x，y同時擴大為原來的2倍，則有，∴該分式的值是原分式值的，故C正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，給分子分母同時乘以一個整式（不為0），不可遺漏是解答本題的關(guān)鍵．14．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）若把分式中和的值都擴大為原來的倍，則分式的值（）A．擴大為原來的倍 B．縮小為原來的C．縮小為原來的 D．擴大為原來的倍【答案】A【分析】，都擴大成原來的2倍就是分別變成原來的2倍，變成和．用和代替式子中的和，看得到的式子與原來的式子的關(guān)系．【詳解】解：用和代替式子中的和得：，則分式的值擴大為原來的2倍．故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)．解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．15．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）把分式中的值都擴大為原來的2倍，則分式的值（

）A．縮小為原來的 B．不變C．擴大為原來的2倍 D．擴大為原來的4倍【答案】A【分析】本題考查的是分式的性質(zhì)，先把分式中的x、y用，代替，再把所得式子與原式相比較即可．【詳解】解：把分式中，的值都擴大為原來的2倍，則分式變?yōu)椋捶质降闹悼s小為原來的，故選：A．16．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）若將中的x與y都擴大2倍，則這個代數(shù)式的值（

）A．不變 B．擴大2倍 C．擴大4倍 D．縮小到原來的【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，即可求解．【詳解】故選：C【點睛】本題考查分式的性質(zhì)，分式的化簡，掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6約分】滿分技法(1)分式的約分是恒等變形，要保證約分前后分式的值相等.(2)約分一定要約到分子與分母只有公因式1為止，即得到一個整式或最簡分式為止.17．（22-23七年級下·安徽亳州·期末）下面的約分，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)作答．【詳解】解：A．，故該選項正確；B．，故該選項錯誤；C．，故該選項錯誤；D．，故該選項錯誤．故選A．【點睛】本題主要考查了分式的化簡，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2024七年級下·安徽·專題練習）下面的約分，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了約分的方法，熟練掌握約分的方法是解決此題的關(guān)鍵．約分：將分子和分母數(shù)共同的約數(shù)約去（也就是除以那個數(shù)）剩下如果還有相同因數(shù)就繼續(xù)約去，直到公約數(shù)為1為止，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、，故A選項不符合題意；B、，故B選項不符合題意；C、，故C選項符合題意；D、已經(jīng)為最簡形式，故D選項不符合題意．故選：C．19．（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）已知，則的值（

）A． B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】本題考查了算術(shù)平方根非負性的應用，根據(jù)算術(shù)平方根有意義的條件得出，進而得出，得出代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：依題意，∴∴∴原式可化為：∴即∴，故選：C．【題型7異分母分式加減法】滿分技法四步搞定異分母分式相加減：第1步，通分，將異分母分式轉(zhuǎn)化成同分母分式；第2步，加減，分母不變，分子相加減；第3步，合并，分子去括號，合并同類項；第4步，約分，分子、分母約分，把結(jié)果化為最簡分式或整式.20．（22-23八年級下·安徽宿州·期末）計算的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的運算法則，先通分再加減，最后化簡即可．【詳解】解：原式，故選：B．【點睛】本題考查了分式的加減運算，分母不同時，先通分再加減．21．（23-24七年級下·安徽宣城·期中）若，，則．【答案】2【分析】本題考查了積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，異分母分式加法，根據(jù)積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，求出，再將分式化為，代入求解即可．【詳解】解：，，，，，，，，，，，故答案為：2．22．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）作差法是一種比較兩個數(shù)或代數(shù)式大小的常用方法．(1)若，，試比較A與B的大小關(guān)系，并說明理由．(2)已知，，試比較與的大小【答案】(1)；理由見解析(2)【分析】本題考查了分式的加減，不等式的性質(zhì)，完全平方公式的應用等知識點，能靈活運用作差法進行計算是解此題的關(guān)鍵．（1）先求出，再比較大小即可；（2）先求出，再比較大小即可；【詳解】（1）解：；理由如下：∵，∴，（2）∵，，∴，∴,∴.【題型8整式與分式相加減】滿分技法整式與分式相加減，可以先把整式寫成分母為1的形式，然后再與分式合并進行計算.23．（22-23七年級下·安徽阜陽·期末）（1）已知，求；（2）已知，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)分式的性質(zhì)以及分式的加減，進行化簡，即可求解；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)可得，進而即可求解．【詳解】解：（1）移項，得，整理，得，即．∵，∴．（2）由已知，得，∴．∵，∴．【點睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的加減運算，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）【閱讀理解】材料1：為了研究分式與分母的關(guān)系，小明得到數(shù)據(jù)如下表：…01234……無意義10.50.25…從表格數(shù)據(jù)觀察可知，當時，隨著的增大，的值隨之減小，并無限接近0；當時，隨著的增大，的值也隨之減小．材料2：對于一個分子、分母都是多項式的分式，當分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做真分式；當分母的次數(shù)不高于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做假分式．有時候，需要把一個假分式化成整式和真分式的代數(shù)和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：．【應用新知】（1）當時，隨著的增大，的值______（填增大或減?。?；當時，隨著的增大，的值______（填增大或減?。?；（2）當時，隨著的增大，的值無限接近一個數(shù)，請求出這個數(shù)；【能力提升】（3）當時，求代數(shù)式值的取值范圍．【答案】（1）減小，減??；（2）2；（3）【分析】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵．（1）由的變化情況，判斷、的變化情況即可；（2）由，即可求解；（3）由，再結(jié)合的取值范圍即可求解．【詳解】解：（1）∵當時，隨著的增大而減小，∴隨著的增大，的值減??；∵當時，隨著的增大減小，∵，∴隨著的增大，的值減??；（2）∵，∵當，隨著的增大時，的值無限接近0，∴的值無限接近2；（3），∵時，，∴，∴．25．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）若一個分式只含有一個未知數(shù)，分式的分子未知數(shù)的次數(shù)大于分母未知數(shù)的次數(shù)，則該分式可拆分成整式與分式和的形式，例如將拆分如下：【方法一】原式；【方法二】設，則．原式．(1)將分式拆分成一個整式和一個分式的和的形式為____________；(2)任選上述一種方法，將拆分成一個整式和一個分式的和的形式；(3)已知分式的值為整數(shù)，求x的值．【答案】(1)(2)(3)4或2或5或1．【分析】本題考查用整體思想以及換元思想將一個分子次數(shù)比分母大的分式拆分成整式與分式和的形式．（1）根據(jù)方法一求解即可；（2）根據(jù)方法一求解即可；（3）根據(jù)方法一拆分成一個整式和一個分式的和的形式，分類討論即可．【詳解】（1）．故答案為：；（2）原式；（3）原式∵分式的值為整數(shù)，∴，∴．【題型9分式加減乘除混合運算】滿分技法分式的混合運算同分數(shù)的混合運算一樣,也是先乘方，再乘除,最后加減.同一級運算,要按照從左到右的順序進行,有括號的要先算括號里面的26．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）若且a，b，c均不為0，則的值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】本題主要考查整式的加減運算和分式的混合運算，熟練掌握整式的運算和分式的混合運算的順序和法則是解題的關(guān)鍵．由已知得：，，，再將所求的式子去括號后，同分母加在一起，分別將所求的式子整體代入約分即可．【詳解】解：∵，∴，，，∴=，，故選：A．27．（23-24七年級下·安徽宣城·期中）已知，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的變形．熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．由題意知，根據(jù)，代值求解即可．【詳解】解：由題意知，，故選：D．28．（2024七年級下·安徽·專題練習）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)”和“假分數(shù)”，而假分數(shù)都可化為帶分數(shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式）．如：；解決下列問題：(1)分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)如果為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，求所有符合條件的的值．【答案】(1)真(2)(3)0，，2，【分析】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）利用題中的新定義判斷即可；（2）根據(jù)題中的方法把原式化為帶分式即可；（3）原式化為帶分式，根據(jù)與分式的值都為整數(shù)，求出即可．【詳解】（1）解：∵的分子次數(shù)為0，分母次數(shù)為1，∴分式是真分式；故答案為：真；（2）解：；（3）解：，∵為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，∴，，1，3，解得：，，0，2，則所有符合條件的值為0，，2，．29．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：___________________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析．【分析】此題考查的是歸納總結(jié)能力，抓住題目中的相似點找到其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察前幾個式子，然后進行仿寫，即可得到答案；（2）對題目中給的等式進行比較、歸納，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律為，第n個等式，左邊第一項的分母為，分子是，第二項是，等式右邊為．代入再進行驗證正確性即可．【詳解】（1）解：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，則第5個等式為：；故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，則：第n個等式為：；證明：等式左邊，等式右邊，∴左邊右邊．【題型10分式化簡求值】滿分技法解決分式的化簡與求值問題的一般思路是先化簡，再將已知條件代入求值，有時也會用到整體代入的思想.化簡與求值的重點是化簡30．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）若，，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本題考查了分式的運算，冪的乘方，由，得到，進而得到，即可求解，掌握分式的運算的運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故選：B．31．（23-24七年級下·安徽阜陽·階段練習）對于任意兩個非零實數(shù)，，定義新運算“*”如下：，例如：．則（1）．（2）若，則的值為．【答案】/506【分析】本題考查了分式的化簡求值，理解定義的新運算是解題的關(guān)鍵．（1）按照新定義進行計算即可；（2）根據(jù)定義新運算可得，從而可得，然后代入式子中進行計算即可解答．【詳解】解：（1）．故答案為：；（2），，，故答案為：506．32．（2024七年級下·安徽·專題練習）請你先將代數(shù)式化簡，然后從0、1、2中選擇一個數(shù)作為的值，并求出式子的值．【答案】，當時，原式【分析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，再根據(jù)分式有意義的條件選擇把代入計算即可求出值．【詳解】解：原式，，，又因為，當時，原式．33．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）先化簡，再求值：，其中．【答案】；4【分析】本題主要考查了分式混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，先根據(jù)分式混合運算法則進行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：．當時，原式．【題型11解分式方程】滿分技法(1)解分式方程的關(guān)鍵是去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.(2)分式方程去分母時，一定不能漏乘不含分母的項.(3)解出未知數(shù)的值后必須檢驗.34．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）已知關(guān)于x的分式方程：．（1）若方程的根為，則m的值為；（2）若方程的解為負數(shù)，則m的取值范圍為．【答案】35且【分析】本題主要考查了解分式方程，已知分式方程解的情況求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的方法，注意分式方程中分母不等于零．（1）將代入分式方程，然后求出m的值即可；（2）先解分式方程，然后再根據(jù)分式方程的解為負數(shù)，列出關(guān)于m的不等式，解不等式即可．【詳解】解：（1）把代入得：，化簡得：，解得：；故答案為：35．（2）去分母得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，∵方程的解為負數(shù)，∴且，解得：且．故答案為：且．35．（23-24七年級下·安徽安慶·階段練習）解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解分式方程．一般步驟為：去分母，去括號，移項，合并同類項，把系數(shù)化為1，檢驗．方程去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，檢驗即可得到方程的解．【詳解】去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，檢驗：當時，，∴原分式方程的解為．36．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）解方程：．【答案】【分析】此題主要考查了解分式方程，正確地將原方程變形是解決問題的關(guān)鍵．方程兩邊同時乘以變?yōu)檎椒匠?，求解即可，注意檢驗．【詳解】解：，，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．37．（23-24七年級下·安徽阜陽·階段練習）我們把形如（，不為零），且兩個解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．例如為十字分式方程，可化為，，；再如為十字分式方程，可化為，，．應用上面的結(jié)論解答下列問題：(1)若為十字分式方程，則______，______；(2)若十字分式方程的兩個解分別為，，求的值；(3)若關(guān)于的十字分式方程的兩個解分別為，求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題主要考查了分式，分式方程，解分式方程，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練運用是解題的關(guān)鍵．（1）利用題干中的方法解答即可；（2）利用題干中的方法求得，值，再將，值代入運算即可；（3）利用（2）中的方法解答即可．【詳解】（1）為十字分式方程，可化為：，，．故答案為：；；（2）方程為十字分式方程，可化為：，，．，．；（3）方程是十字分式方程，可化為，，，，．，．原式．【題型12根據(jù)分式方程解的情況求值】滿分技法先用待定系數(shù)表示出未知數(shù)，再根據(jù)題目已知條件將分式方程的根寫成特殊解的形式進行求值.38．（2024七年級下·安徽·專題練習）已知關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的所有整數(shù)的和為（

）A．2 B．5 C．6 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，分式方程的解，利用不等式組的解為，確定的取值范圍，解分式方程，當解為正整數(shù)時求得值，將符合條件的值相加即可得出結(jié)論．【詳解】解：不等式組的解集為，．．關(guān)于的分式方程的解為．是原分式方程的增根，．．關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)，為正整數(shù)．，4，7．，，4．所有滿足條件的所有整數(shù)的和為：．故選：C．39．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）已知關(guān)于的分式方程的解是非負數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意義的條件，正確的計算是解題的關(guān)鍵．解分式方程，根據(jù)分式方程的解為非負數(shù)，進而列出一元一次不等式，結(jié)合分式有意義的條件即可求解．【詳解】解：，去分母得：，解得：，∵關(guān)于x的分式方程的解是非負數(shù)，∴且，解得：且，故選：D．40．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）若整數(shù)使得關(guān)于的不等式組至少有2個整數(shù)解，且使得關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為．【答案】4【分析】本題考查了解一元一次不等式組、解分式方程，有難度，注意分式方程中的解要滿足分母不為0的情況．先解不等式組得到，則，求出a的取值范圍，再解分式方程得到，即可求解．【詳解】解：解不等式組得，因為這個不等式組至少有2個整數(shù)解，∴，∴，∴∵，解方程得，∵分式方程有整數(shù)解，，∴，∴，∴滿足條件的所有整數(shù)的和為4，故答案為：4．【題型13分式方程無解問題】滿分技法分式方程無解有兩種情況:①由分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程無解;②所解出的整式方程的根全是增根.41．（22-23七年級下·安徽安慶·期末）若關(guān)于的分式方程無解，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】先把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后根據(jù)分式方程無解，可得，再代入整式方程，即可求解．【詳解】解：去分母得：，解得：，因為分式方程無解，所以，即，把代入整式方程得：，解得：．故選：B．【點睛】本題主要考查了分式方程無解的問題，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．42．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）若關(guān)于的方程有增根，則的值是．【答案】【分析】利用分式方程解法的一般步驟解分式方程，令方程的解為得到關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：在方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項，合并同類項得：，∴，∵關(guān)于的方程有增根，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查解分式方程，分式方程的增根，利用分式方程增根的意義解答是解題的關(guān)鍵．43．（22-23七年級下·安徽蚌埠·階段練習）①若關(guān)于的方程有增根，則增根是．②若關(guān)于的方程無解，則的值為．【答案】42或3【分析】根據(jù)分式方程有增根，即分母為0進行求解即可；分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根確定出a的值即可．【詳解】解：①∵分式方程有增根，∴，∴，故答案為：4；②去分母得：，移項得：，合并同類項得：，當，即時，無解，分式方程無解；當時，系數(shù)化為1得：，∵分式方程有增根，∴，即，∴，解得，經(jīng)檢驗，是的解，∴，綜上可知，或，故答案為：2或3；【點睛】本題主要考查了分式方程有增根的情況，熟知分式方程有增根的情況是分式方程分母為0．44．（22-23七年級下·安徽滁州·期中）已知，關(guān)于的分式方程．(1)當，時，求分式方程的解；(2)當時，求為何值時，分式方程無解；(3)若，為正整數(shù)，分式方程的解為整數(shù)時，求的值．【答案】(1)(2)或(3)3，55【分析】（1）將的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；（2）把的值代入分式方程，將分式方程去分母后化為整式方程，分類討論的值使分式方程無解即可；（3）把代入分式方程，將分式方程化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和為正整數(shù)即可確定的值．【詳解】（1）解：把，代入分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，去括號得：，移項合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，檢驗：把代入，所以原分式方程的解是；（2）解：把代入分式方程，得：，方程兩邊同時乘以，得：，去括號得：，移項合并同類項得：，①當時，即，方程無解，②當時，，時，分式方程無解，即，不存在；時，分式方程無解，即，，綜上所述，或時，分式方程無解；（3）解：把代入分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，整理得：，∵，且為正整數(shù)，為整數(shù)，∴必為65的因數(shù)，，∵，∴65的因數(shù)有1，5，13，65，1，5小于11，可以取13，65這兩個數(shù)，對應地，方程的解為0，4，對應地，的值為3，55，滿足條件的可取3，55這兩個數(shù)．【點睛】本題考查分式方程的計算，熟練掌握解分式方程的步驟是解決問題的前提條件，分式方程無解的兩種情況要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程無解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．【題型14列分式方程】滿分技法列分式方程要根據(jù)題目實際要求，往往題目中會給出兩組等量關(guān)系式子（是比、分號往往是提示出），利用等量關(guān)系式子列出等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程即可.45．（22-23七年級下·安徽蚌埠·期末）某市原計劃在沿河地帶種植樹木萬棵，由于青年志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多，結(jié)果提前天完成任務，設原計劃每天植樹萬棵，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設原計劃每天植樹萬棵，則實際每天植樹萬棵，根據(jù)題意列方程解答即可．【詳解】解：設原計劃每天植樹萬棵，則實際每天植樹萬棵，根據(jù)題意得，，故選．【點睛】本題考查了分式方程與實際問題，明確題目中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．46．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）長豐縣2023年第一季度生產(chǎn)總值（GDP）以15.1%的增速領跑合肥各區(qū)縣，其中工業(yè)增速為35.9%最為搶眼．現(xiàn)有甲工廠加工200個零件與乙工廠加工300個零件所用時間相同，若乙工廠每小時比甲工廠多加工20個零件，求兩工廠的零件加工效率？設甲工廠的零件加工效率為x個/小時，依題意列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意設出甲工廠的零件加工效率為x個/小時，則乙工廠的零件加工效率為個/小時，根據(jù)時間=工作量÷工作效率，以甲工廠加工200個零件與乙工廠加工300個零件所用時間相同，列出分式方程即可．【詳解】解：設出甲工廠的零件加工效率為x個/小時，則乙工廠的零件加工效率為個/小時，根據(jù)題意，得故選：B．【點睛】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．47．（22-23七年級下·安徽·階段練習）某校組織九年級學生去距學校的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了后，其余學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度.設騎車學生的速度為，則所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設騎車學生的速度為，汽車的速度是，根據(jù)同時到達列出方程即可．【詳解】解：設騎車學生的速度為，汽車的速度是，根據(jù)題意列方程得，，故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的應用，解題關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，列出方程，注意單位轉(zhuǎn)換．48．（22-23七年級下·安徽滁州·階段練習）某河道有大小兩臺挖機作河底清淤泥工作，大挖機每小時比小挖機多挖，若大挖機挖所用的時間與小挖機挖所用的時間相同，若設小挖機每小時挖，