高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：§1 2 第1課時(shí) 空間向量基本定理(人教A版)

第1課時(shí)空間向量基本定理第一章

§1.2空間向量基本定理1.理解空間向量基本定理及其意義并會簡單應(yīng)用.2.掌握空間向量的正交分解.學(xué)習(xí)目標(biāo)回顧平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.類似地，任意一個(gè)空間向量能否用任意三個(gè)不共面的向量a，b，c表示呢？導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練一、空間向量基本定理二、空間向量的正交分解三、用基底表示空間向量內(nèi)容索引一、空間向量基本定理問題1

如圖，設(shè)i，j，k是空間中三個(gè)兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點(diǎn)O，對于任意一個(gè)空間向量p＝

，p

能否用i，j，k表示呢？問題2

你能證明唯一性嗎？提示假設(shè)除(x，y，z)外，還存在有序?qū)崝?shù)組(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，則x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨設(shè)x′≠x，則(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，這與已知矛盾.所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)是唯一的.1.空間向量的基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在

的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得

.2.基底：我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)

，a，b，c都叫做基向量.唯一p＝xa＋yb＋zc知識梳理基底1.空間向量的基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在

的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得

.2.基底：我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)

，a，b，c都叫做基向量.唯一p＝xa＋yb＋zc知識梳理基底注意點(diǎn)：(1)空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達(dá)式也有可能不同.(2)一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.(3)由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)不共線的非零向量共面，所以若三個(gè)向量不共面，就說明它們都不是零向量.∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，反思感悟基底的判斷思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為一個(gè)基底.(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷.跟蹤訓(xùn)練1

(多選)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列向量組中，可以作為空間一個(gè)基底的向量組有A.{a，b，x} B.{x，y，z}C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}√√√可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.跟蹤訓(xùn)練1

(多選)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列向量組中，可以作為空間一個(gè)基底的向量組有A.{a，b，x} B.{x，y，z}C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}√√√可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.二、空間向量的正交分解1.單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量

，且長度都為

，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.2.正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使

.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)

的向量，叫做把空間向量正交分解.兩兩垂直1知識梳理a＝xi＋yj＋zk兩兩垂直三、用基底表示空間向量反思感悟用基底表示向量時(shí)：(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律；(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.解如圖，連接AC，EF，D1F，BD1，1.知識清單：(1)空間的基底.(2)空間向量基本定理.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：(1)基向量理解錯(cuò)誤，沒有注意到基向量的條件.(2)運(yùn)算錯(cuò)誤，利用基底表示向量時(shí)計(jì)算要細(xì)心.課堂小結(jié)隨堂演練1.設(shè)p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√1234解析當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底，當(dāng){a，b，c}為基底時(shí)，一定有a，b，c為非零向量.因此p?q，q?p.√12343.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)O為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，√12341234√1234課時(shí)對點(diǎn)練1.(多選)若{a，b，c}是空間一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是A.a,2b,3c B.a＋b，b＋c，c＋aC.a＋b＋c，b＋c，c D.a＋2b,2b＋3c,3a－9c√解析因?yàn)閧a，b，c}是空間的一個(gè)基底，所以a，b，c不共面，對于A，B，C選項(xiàng)，每組都是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；對于D，a＋2b,2b＋3c,3a－9c滿足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以這三個(gè)向量是共面向量，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√2.(多選)給出下列命題，其中是真命題的是A.若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}

也可以作為空間的一個(gè)基底B.已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.已知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，

不能構(gòu)成空間的一

個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面D.若a，b是兩個(gè)不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，

b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底√12345678910111213141516√√解析A中，假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，從而c＝

∴c與a，b共面，與已知條件矛盾，∴d與a，b不共面，即A是真命題；B中，根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，顯然B是真命題；12345678910111213141516D中，因?yàn)閍，b，c共面，所以{a，b，c}不能構(gòu)成基底，故D錯(cuò)誤.√123456789101112131415164.已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若p＝a＋b，q＝a－b，則A.a，p，q是空間的一組基底B.b，p，q是空間的一組基底C.c，p，q是空間的一組基底D.p，q與a，b，c中的任何一個(gè)都不能構(gòu)成空間的一組基底√解析假設(shè)c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得c＝(k1＋k2)a＋(k1－k2)b，這與{a，b，c}是空間的一個(gè)基底矛盾，故c，p，q是空間的一組基底，故選C.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析取PC的中點(diǎn)E，連接NE，123456789101112131415169.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC1與B1C的交點(diǎn).1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516綜合運(yùn)用12.若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，當(dāng)d＝αa＋βb＋γc時(shí)，α＋β＋γ＝____.解析由已知得，d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.又d＝e1＋2e2＋3e3，123456789101112131415163故有α＋β＋γ＝3.1234567891011121314151614.如圖所示，在正方體OABC－O1A1B1C1中，點(diǎn)G為△ACO1的重心，

＝xa＋yb＋zc，則x＋y＋z＝____.解析易知△ACO1為正三角形，連接OB，設(shè)AC，BO相交于點(diǎn)M，連接O1M，如圖所示，123456789101112131415161可得x＋y＋z＝1.√拓廣探究12345678910111213141516解析如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點(diǎn)E，1234567891011121314151612345678910111213141516解連接AG并延長交BC于點(diǎn)H，連接DM(圖略).12345678910111213141516∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)，M共面，12345678910111213141516備用工具&資料解連接AG并延長交BC于點(diǎn)H，連接DM(圖略).12345678910111213141516∵點(diǎn)D，