6多元函數(shù)微積分簡介(一)

空間解析幾何簡介

6.1

多元函數(shù)的極限與連續(xù)6.2

偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.3

目錄

第六章多元函數(shù)微積分一復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法6.4

下頁

空間解析幾何簡介

6.1

多元函數(shù)的極限與連續(xù)6.2

偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.3

目錄

第六章多元函數(shù)微積分一復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法6.4

下頁6.1空間解析幾何簡介

一、空間直角坐標(biāo)系通常規(guī)定x軸，y軸，z軸的正向要遵循右手法則.橫軸縱軸豎軸坐標(biāo)原點(diǎn)6.1空間解析幾何簡介

Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限.ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ6.1空間解析幾何簡介

空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)6.1空間解析幾何簡介

【解】根據(jù)坐標(biāo)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，描出各點(diǎn)如下圖所示.【例如】

在空間直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A(1,2,3),B(0,1,1),C(-1,0,0).6.1空間解析幾何簡介

●空間兩點(diǎn)的距離公式長方體的對角線長的平方等于三條棱長的平方和，則：如圖可知,該長方體的各棱長分別為：所以點(diǎn)和兩點(diǎn)間的距離為已知6.1空間解析幾何簡介

三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.【例1】（1）

求證：以【證】因?yàn)樗怨嗜切螢榈妊切?公式6.1空間解析幾何簡介

【例1】（2）一動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)到原點(diǎn)O(0,0,0)的距離為定值1，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解】因?yàn)閨MO|=1，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得化簡，得所求軌跡方程為6.1空間解析幾何簡介

二、平面與直線由兩點(diǎn)間的距離公式得

x+2y-2z-3=0.●平面方程【解】依題意有化簡后，可得點(diǎn)M的軌跡方程為【例2

】

求與兩定點(diǎn)，的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程.

6.1空間解析幾何簡介

空間中任意一個(gè)平面的方程都可表示為一個(gè)三元一次方程：此方程稱為平面的一般方程【例3】（1）求過點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程.即x+y+z=1.【解】

已知平面的一般方程為將點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的坐標(biāo)分別代入平面方程，得解得將此代入平面方程得6.1空間解析幾何簡介

【解】設(shè)平面的方程為Ax+By+Cz+D=0.將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得【例3】（2）設(shè)平面過點(diǎn)P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(abc≠0)，求它的方程．將上面結(jié)果代入所設(shè)方程得，即為平面的截距式方程.整理得6.1空間解析幾何簡介

平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面平行于軸；平面通過軸；平面平行于面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.平面一般方程：6.1空間解析幾何簡介

例如，

作出下列平面.

(1)x=2;

(2)z=3;

(3)x+y=2;【解】(1)x=2表示過點(diǎn)(2,0,0)且平行于yOz面的平面.

(2)z=3表示過點(diǎn)(0,0,3)且平行于xOy面的平面.6.1空間解析幾何簡介

(3)x+y=2表示過點(diǎn)(2,0,0),(0,2,0)且與z軸平行的平面.表示過三點(diǎn)(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面.6.1空間解析幾何簡介

※【例4】

求過x軸和點(diǎn)M(2,-2,3)的平面方程.【解】因?yàn)槠矫孢^x軸，所以設(shè)平面的方程為By+Cz=0.將點(diǎn)M(2,-2,3)代入上式，得-2B+3C=0.解得將代入方程By+Cz=0中，得因?yàn)?，故所求平面方程為?y+2z=0.6.1空間解析幾何簡介

●

直線方程設(shè)空間一直線為l

,

為交于l

的兩個(gè)平面，方程為

直線的一般方程6.1空間解析幾何簡介

※點(diǎn)到平面的距離6.1空間解析幾何簡介

●曲面方程的概念【定義1】如果曲面S與三元方程F(x,y,z)

=

0有如下關(guān)系：（1）曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0，

(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足F(x,y,z)=0，則稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程，而曲面S

稱為F(x,y,z)=0的圖形.定義16.1空間解析幾何簡介

【例5】求球心在點(diǎn)，半徑為R的球面方程.

【解】設(shè)M(x,y,z)是球面上任意一點(diǎn)，則整理，得特別地，當(dāng)球心在原點(diǎn)O(0,0,0)時(shí)，球面方程為根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得【解】把原方程配方，得【例6】方程表示怎樣的曲面？所以，它表示球心在點(diǎn)(2,0,-1),半徑為的球面．6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、多元函數(shù)的概念

【例1】圓柱的體積和它的底半徑R，高H之間具有關(guān)系對于R、H在一定范圍內(nèi)取一對確定的值時(shí)，V都有惟一確定的值與之對應(yīng).【例2】設(shè)R是電阻R1,R2并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系對于R1,R2在一定范圍內(nèi)取一對確定的值，R都有惟一確定的值與之對應(yīng).6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)自變量x，y的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，通常記為D.二元函數(shù)的定義域是平面點(diǎn)集。

二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).z

=f(x，y).設(shè)在某一變化過程中有三個(gè)變量x，y，z，如果對于變量x，y在其變化范圍內(nèi)所取的每一對數(shù)值，

變量z按照某一法則f，都有惟一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱z為x，y的二元函數(shù)，記作定義16.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

平面區(qū)域：整個(gè)x,y平面或x,y平面上由幾條曲線所圍成的部分.圍成平面區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包含邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開區(qū)域.如果一個(gè)區(qū)域可以包含在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、適當(dāng)大的長度為半徑的圓內(nèi)，則稱該區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，否則稱為無界區(qū)域.對于自變量x,y

的一組值，對應(yīng)著xoy面上的一點(diǎn)P（x,y）因此，二元函數(shù)也可以看作是平面上點(diǎn)的函數(shù)，即Z=f（P）.6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【例3】求下列函數(shù)的定義域并畫出圖形：.【解】（1）由對數(shù)函數(shù)的定義可知，該函數(shù)的定義域是：定義域區(qū)域如圖所示.6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)要使函數(shù)Z有意義，必須,即

所以，所求函數(shù)的定義域是6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【解】由兩邊平方，得整理，得

※【例4】作二元函數(shù)的圖形，并指出其定義域D.

定義域D為6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)上述二元函數(shù)的極限又叫做二重極限.

鄰域:

內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿任意路經(jīng)趨于點(diǎn)時(shí)，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域f（x,y）無限趨向于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A是函數(shù)當(dāng)P（x,y）趨于時(shí)的極限，記作定義2二、二元函數(shù)的極限6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【例5】求極限

【解】＝2.【例6】求極限

【解】6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【例7】討論極限是否存在？

【解】因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P（x,y

）沿直線y=0趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)，有＝0

而當(dāng)點(diǎn)P（x,y）沿直線y=x

趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)，有＝

＝所以，極限不存在.

【注意】二元函數(shù)的極限存在，是指點(diǎn)以任何方式趨于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都無限接近于常數(shù)Ａ．6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)則稱二元函數(shù)f（x,y）在點(diǎn)處連續(xù).二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域（指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域）內(nèi)是連續(xù)的.

定義，如果極限存在，且設(shè)函數(shù)f（x,

y）在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義３三、二元函數(shù)的連續(xù)性數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)連續(xù).

如果函數(shù)f（x,y）在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函●二元函數(shù)連續(xù)性定義6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)【例8】求下列極限：

（1）（2）【解】（1）（2）的間斷點(diǎn)是(0,0)．函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).

例如，函數(shù)6.2

多元函數(shù)的極限與連續(xù)●有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)的性質(zhì)

【性質(zhì)1】（最大值和最小值定理)如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則該函數(shù)在D上一定有最大值和最小值。

【性質(zhì)2】（介值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)必能取得介于它的兩個(gè)不同函數(shù)值之間的任何值至少一次。一、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分●

偏導(dǎo)數(shù)的概念存在，則稱此極限值為函數(shù)Z=f（x，y）在點(diǎn)處對x

的偏導(dǎo)數(shù)，記作

【定義1】設(shè)函數(shù)Z=f（x，y）在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量y

保持定值y0

而自變量x

在處有增量△x時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量如果極限6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分即類似地,如果極限存在,那么稱此極限值為函數(shù)Z=f（x，y）在點(diǎn)處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記作即6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分即類似地，z=f（x,y）對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)記作即如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x，y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是x，y的函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)為對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【解】

【例1】求在(1,2)的偏導(dǎo)數(shù)6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例2】設(shè)求【解】

【例3】求三元函數(shù)u=2xy+3yz+5zx的偏導(dǎo)數(shù).【解】6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分在點(diǎn)M

處的切線關(guān)于x軸和y軸的斜率.※根據(jù)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，偏導(dǎo)數(shù)和在幾何上，分別表示曲線6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分●

高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)則它們?nèi)匀皇莤，y的函數(shù).如果這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)對x和對y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù).（1）兩次都對x求偏導(dǎo)數(shù)，即，記作即6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分（2）第一次對x，第二次對y求偏導(dǎo)數(shù)，即，記作（3）第一次對y，第二次對x求偏導(dǎo)數(shù)，即，記作（4）兩次都對y求偏導(dǎo)數(shù)，即，記作二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二階混合偏導(dǎo)數(shù)

二階混合偏導(dǎo)數(shù)

6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【解】【例4】設(shè)求與關(guān)系？【思考】6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【定理1】如果函數(shù)z=f（x，y）的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)

及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.定理說明，只要兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則它們的結(jié)果與求導(dǎo)次序無關(guān).6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例5】設(shè)，求【解】6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分※【例6】驗(yàn)證函數(shù)滿足方程：【證】因此拉普拉斯方程6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分※

●

偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義當(dāng)價(jià)格P2不變而P1發(fā)生變化時(shí)，需求量Q1和Q2將隨P1變化而變化，需求量Q1和Q2對價(jià)格的彈性分別為η11稱為甲商品需求量Q1對自身價(jià)格P1的直接價(jià)格偏彈性，η21稱為甲商品需求量Q2對自身價(jià)格P1的交叉價(jià)格偏彈性.類似地，可定義并解釋6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例7】已知某商品需求量Q1是該商品價(jià)格P1與另一相關(guān)商品價(jià)格P2

的函數(shù)，且Q1=120-2P1+15P2，求當(dāng)時(shí)，需求的直接價(jià)格偏彈性η11及交叉價(jià)格偏彈性η12.【解】當(dāng)時(shí)，

故得并且有6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分1.全微分的概念f（x+△x）－f（x）≈f

（x）△x.對x的偏增量對x的偏微分對y的偏增量對y的偏微分三、全微分6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分△z=f（x+△x，y+△y）—f（x，y）可以表示為△z=A△x+B△y+

其中A、B是x，y的函數(shù)，與△x，△y無關(guān)，是一個(gè)比

高階的無窮小，則稱A

x+B

y是二元函數(shù)Z=f（x,y）在點(diǎn)（x,y）處的全微分，記作dz，即dz=A△x+B△y.這時(shí)，也稱二元函數(shù)Z=f（x,y）在點(diǎn)（x，y）處可微.

【定義2】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，點(diǎn)（x+△x，y+△y）在該鄰域內(nèi)，如果函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的增量6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分

【定理2】如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）處可微分，則它在點(diǎn)（x，y）處連續(xù).【證】已知因?yàn)樗?.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分

【定理3】（可微的必要條件）如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)【證】可微，則它在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)必存在，且6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【解】因?yàn)椤径ɡ?】（可微的充分條件）如果函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微，且有

【例1】求函數(shù)

的全微分.所以6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【解】【例2】求函數(shù)的全微分.【解】

【例3】求函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分2.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例4】當(dāng)正圓錐體變形時(shí)，它的底面半徑由30cm增大到30.1cm，高由60cm減少到59.5cm，求正圓錐體體積變化的近似值.【解】正圓錐體體積為將r=30，△r=0.1，h=60，△h=－0.5代入上式，得

6.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例5】計(jì)算（0.99）2.02的近似值

.【解】設(shè)f(x,y)=xy

,取△x=－0.01,y=2,△y=0.02,則f（1，2）=1,6.4復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)是變量u、v的函數(shù),而又是x,y的函數(shù)，則是x,y的復(fù)合函數(shù).中間變量函數(shù)結(jié)構(gòu)圖

6.4復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

【定理1】如果函數(shù)z=f(u，v)關(guān)于u，v有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)u=u(x，y),

v=v(x，y)在點(diǎn)(x，y)有偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f(u(x，y)，v(x，y))在點(diǎn)(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且鏈?zhǔn)椒▌t6.4復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)【解】