第21章 一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試-2024年新九年級數(shù)學(xué)（人教版）

第21章一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法．知識點一、一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

解題策略：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．知識點二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．解題策略：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．知識點三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.解題策略：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．知識點四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.解題策略：列方程解應(yīng)用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.一．一元二次方程的定義（共3小題）1．（2024?漢川市模擬）下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2023秋?鄒平市期末）已知關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是A． B．2 C．或3 D．33．（2023秋?武侯區(qū)期末）若方程□是關(guān)于的一元二次方程，則“□”可以是A． B． C． D．二．一元二次方程的一般形式（共3小題）4．（2023秋?永善縣期末）把一元二次方程化為一般形式，正確的是A． B． C． D．5．（2023秋?東西湖區(qū)期末）關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是A．5，， B．5，2， C．，2，1 D．，，6．（2023秋?商河縣期末）將一元二次方程，化成的形式，則，的值分別是A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69三．一元二次方程的解（共3小題）7．（2024?涼山州）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為A．2 B． C．2或 D．8．（2024?東莞市校級二模）如果關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則代數(shù)式的值為A． B．2023 C．2024 D．20259．（2024?涼山州）已知，，則的值為．四．解一元二次方程-直接開平方法（共3小題）10．（2023秋?萍鄉(xiāng)期末）解方程：．11．（2024?瀘縣一模）解方程：．12．（2024?柳州一模）解方程：．五．解一元二次方程-配方法（共3小題）13．（2024?合肥二模）解一元二次方程．14．（2024?金平區(qū)校級一模）解方程：．15．（2024?景德鎮(zhèn)二模）王明在學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程后，解方程的過程如下：解：移項，得．第一步二次項系數(shù)化為1，得．第二步配方，得．第三步因此．第四步由此得或．第五步解得，．第六步（1）王明的解題過程從第步開始出現(xiàn)了錯誤；（2）請利用配方法正確地解方程．六．解一元二次方程-公式法（共3小題）16．（2024?鐵鋒區(qū)二模）解方程：．17．（2024?高青縣校級一模）解方程：．18．（2023秋?廈門期末）解方程：．七．解一元二次方程-因式分解法（共3小題）19．（2024?河源一模）解方程：．20．（2024?郴州二模）解方程：．21．（2024?建華區(qū)三模）解方程：．八．換元法解一元二次方程（共3小題）22．（2023秋?金壇區(qū)校級月考）設(shè)，是一個直角三角形兩條直角邊的長，且，求的值．23．（2022秋?渝中區(qū)期末）閱讀材料，解答問題．解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：（1）；（2）．24．（2023秋?賽罕區(qū)校級期中）提出問題：為解方程，我們可以令，于是原方程可轉(zhuǎn)化為，解此方程，得，（不符合要求，舍去）．當(dāng)時，，．原方程的解為，．以上方法就是換元法解方程，從而達到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解決問題：運用上述換元法解方程：．九．根的判別式（共4小題）25．（2023秋?東城區(qū)校級期末）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程恰有一個根小于，求的取值范圍．26．（2023春?泰安期中）已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）已知是關(guān)于的方程的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩條邊長．①求的值；②求的周長．27．（2023秋?崆峒區(qū)校級期中）已知關(guān)于的一元二次方程，其中、、分別為三邊的長．（1）如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由．28．（2023秋?南部縣校級月考）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）已知等腰的底邊，若，恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．（3）閱讀材料：若三邊的長分別為，，，那么可以根據(jù)秦九韶海倫公式可得：，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點，根據(jù)以上信息，求的面積．一十．根與系數(shù)的關(guān)系（共5小題）29．（2024?玄武區(qū)二模）關(guān)于的方程為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數(shù)根30．（2024?賽罕區(qū)二模）若，且有，及，則的值是A． B． C． D．31．（2024春?諸暨市期中）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為A．2025 B．2023 C． D．32．（2024?順德區(qū)三模）已知是方程的一個根，則它的另一根是A． B． C． D．33．（2024?鹽城三模）設(shè)方程的兩個根為，，那么的值等于A． B．1 C． D．2一十一．由實際問題抽象出一元二次方程（共3小題）34．（2024?眉山）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為A． B． C． D．35．（2024?鼓樓區(qū)校級二模）學(xué)校組織了一次籃球單循環(huán)比賽（每兩隊之間只進行一次比賽），共進行了28場比賽，設(shè)參加這次比賽的隊有個，則可列方程A． B． C． D．36．（2024?離石區(qū)模擬）某地政府準備在如圖所示的寬為25米的矩形地塊上建一所學(xué)校，設(shè)計要求將該矩形地塊分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地塊恰好均為正方形，丙地塊為矩形，甲地塊為教學(xué)區(qū)，丙地塊為行政辦公場區(qū)，乙地塊為學(xué)生活動區(qū)．若丙地塊的面積為30平方米，則矩形地塊的長為多少米，設(shè)矩形地塊長為米．根據(jù)題意列方程正確的是A． B． C． D．一十二．一元二次方程的應(yīng)用（共8小題）37．（2024?黑龍江三模）在數(shù)學(xué)實踐課上，小華要給一幅長，寬的手抄報加一個邊框，如圖所示，上下左右邊框的寬度相等，且整個圖形面積為，則小華添加的邊框的寬度是A． B． C． D．38．（2024?城關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，，，為矩形的四個頂點，，，動點，分別從點，同時出發(fā)，點以的速度向點移動，一直到達點為止，點以的速度向點移動，當(dāng)點到達點時點隨之停止運動．（1），，，（用含的代數(shù)式表示）；（2）為多少時，四邊形的面積為；（3）為多少時，點和點的距離為．39．（2024?韓城市模擬）九年級（1）班在畢業(yè)之際，每一名學(xué)生都互相寫了一條祝福留言，全班一共寫了1640條祝福，則九年級（1）班共有多少名學(xué)生？40．（2024?榆陽區(qū)二模）某單位響應(yīng)綠色環(huán)保倡議，提出要節(jié)約用紙，逐步走向“無紙化”辦公．據(jù)統(tǒng)計，該單位2月份紙的用紙量為1000張，到了4月份紙的用紙量降到了640張．求從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率．41．（2024?金平區(qū)二模）2023年7月，第31屆世界大學(xué)生夏季運動會在成都舉辦，其中大運會吉祥物蓉寶廣受歡迎，成為熱銷商品．某商家以每套40元的價格購進一批蓉寶．當(dāng)該商品每套的售價是50元時，每天可售出180套，若每套的售價每提高2元，則每天少賣4套．設(shè)蓉寶每套的售價定為元，該商品銷售量套．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天銷售所獲的利潤為到4800元，求的值．42．（2024?埇橋區(qū)校級模擬）為了緩解我市新型冠狀肺炎護目鏡需求，兩江新區(qū)某護目鏡生產(chǎn)廠家自正月初三起便要求全體員工提前返崗．在接到單位的返崗任務(wù)后，員工們都毫無怨言，快速回到了自己的工作崗位，用努力工作的行動踐行著自己的社會責(zé)任感與社會擔(dān)當(dāng)．已知該廠擁有兩條不同的護目鏡加工生產(chǎn)線、．原計劃生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡400個，生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡500個．（1）若生產(chǎn)線、共工作12小時，且生產(chǎn)護目鏡總數(shù)量不少于5500個，則生產(chǎn)線至少生產(chǎn)護目鏡多少小時？（2）原計劃、生產(chǎn)線每天均工作8小時，但現(xiàn)在為了盡快滿足我市護目鏡的需求，兩條生產(chǎn)線每天均比原計劃多工作了相同的小時數(shù)，但因為機器損耗及人員不足原因，生產(chǎn)線每增加1小時，該生產(chǎn)線實際工作時每小時的產(chǎn)量均減少10個，生產(chǎn)線每增加1小時，該生產(chǎn)線每小時的產(chǎn)量均減少15個，這樣一天生產(chǎn)的護目鏡將比原計劃多3300個，求該廠實際每天生產(chǎn)護目鏡的時間．43．（2024春?宿遷期末）如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度51米的櫥欄（圖中實線部分）圍成兩個大小相同的長方形圍欄，設(shè)長為米．（1）米（用含的代數(shù)式表示）；（2）若長方形圍欄面積為210平方米，求的長；（3）長方形圍欄面積是否有可能達到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)的值；若不可能，則說明理由．44．（2024?古浪縣二模）某校生物小組有一塊長，寬的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道．要使種植面積為，小道的寬應(yīng)是多少？一十三．配方法的應(yīng)用（共3小題）45．（2023秋?宿遷期末）的三邊分別為，，，有，，按邊分類，則是三角形．46．（2024春?張店區(qū)校級月考）已知，則的值為．47．（2024春?西山區(qū)校級月考）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，例如：當(dāng)時，求的最小值．解：，，即時取等號．的最小值為4．請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）當(dāng)時，求的最小值．一．選擇題（共10小題）1．（2024春?鄞州區(qū)期中）下列方程屬于一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2023秋?江津區(qū)期末）如果方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值是A．2 B． C． D．33．（2023秋?贛榆區(qū)期末）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、4．（2023秋?瀍河區(qū)期末）若是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值是A． B． C．1 D．25．（2023秋?常州期末）方程的解為A．， B．， C．， D．，6．（2024?莫旗一模）畢業(yè)10年后，某班同學(xué)聚會，見面時相互間均握了一次手，一共握手的次數(shù)為780，則這次參加聚會的同學(xué)有A．38人 B．40人 C．41人 D．42人7．（2024?麥積區(qū)校級模擬）設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．（2024?珠暉區(qū)一模）一元二次方程的根的情況是A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根9．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期末）某學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生向山區(qū)捐送圖書，第一年共捐書400本，三年共捐書1525本．設(shè)該校捐書本數(shù)的年平均增長率為，根據(jù)題意，下列方程正確的是A． B． C． D．10．（2024?河南模擬）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是A． B．且 C．且 D．二．填空題（共6小題）11．（2024春?肇源縣月考）方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為．12．（2024?泗洪縣一模）若是關(guān)于的方程的解，則的值為．13．（2024?惠城區(qū)一模）若關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是．14．（2024?鞍山模擬）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．15．（2022春?西湖區(qū)校級期中）已知實數(shù)，滿足，，則代數(shù)式的值等于．16．（2023秋?安州區(qū)期末）如圖所示，某市世紀廣場有一塊長方形綠地長，寬，在綠地中開辟三條道路后，剩余綠地的面積為，則圖中的值為．三．解答題（共8小題）17．（2022秋?河?xùn)|區(qū)期末）解方程：（1）；（2）．18．（2023秋?新賓縣期末）解方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．19．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若為符合條件的最小整數(shù)，且該方程的較大根是較小根的3倍，求的值．20．（2023秋?渠縣期末）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．（1）求的值？（2）求的值？21．（2023秋?秦州區(qū)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．22．（2024?衡陽縣模擬）某商城在2021年端午節(jié)期間促銷海爾冰箱，每臺進貨價為2500元，標價為3000元．（1）商城舉行了“新老用戶粽是情”摸獎活動，中獎?wù)呱坛菍⒈溥B續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價的百分率；（2）市場調(diào)研表明：當(dāng)每臺售價為2900元時，平均每天能售出8臺，當(dāng)每臺售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，若商城要想使海爾冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，則每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元？23．（2024?扶溝縣一模）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？24．（2023秋?貴陽期末）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿方向運動，動點同時從點出發(fā)，沿方向運動，如果點，的運動速度均為．（1）運動幾秒時，點，相距？（2）的面積能等于嗎？為什么？

第21章一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法．知識點一、一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

解題策略：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．知識點二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．解題策略：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．知識點三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.解題策略：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．知識點四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.解題策略：列方程解應(yīng)用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.一．一元二次方程的定義（共3小題）1．（2024?漢川市模擬）下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：、是一元二次方程，符合題意；、是一元一次方程，不符合題意；、是一元一次方程，不符合題意；、不是整式方程，不符合題意，故選：．【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋?鄒平市期末）已知關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是A． B．2 C．或3 D．3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出即可．【解答】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，且，解得：，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的定義和絕對值，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．3．（2023秋?武侯區(qū)期末）若方程□是關(guān)于的一元二次方程，則“□”可以是A． B． C． D．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可得．【解答】解：．，是一元一次方程，此選項不符合題意；．，是一元一次方程，此選項不符合題意；．，是一元二次方程，此選項符合題意；．，是二元二次方程，此選項不符合題意；故選：．【點評】本題主要考查一元二次方程的定義，判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（共3小題）4．（2023秋?永善縣期末）把一元二次方程化為一般形式，正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【解答】解：將一元二次方程化為一般形式之后，變?yōu)?，故選：．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握定義是解題關(guān)鍵．5．（2023秋?東西湖區(qū)期末）關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是A．5，， B．5，2， C．，2，1 D．，，【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式即可得二次項系數(shù)，一次項，常數(shù)項．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是5、、，故選：．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般式，關(guān)鍵是掌握任何一個關(guān)于的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項，叫做二次項系數(shù)；叫做一次項；叫做常數(shù)項．6．（2023秋?商河縣期末）將一元二次方程，化成的形式，則，的值分別是A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69【分析】根據(jù)完全平方公式、移項法則把原方程化為一般形式，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：，則，，由題意得：，，解得：，，故選：．【點評】本題考查的是一元二次方程的一般形式，要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（共3小題）7．（2024?涼山州）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為A．2 B． C．2或 D．【分析】利用一元二次方程解的定義及一元二次方程的定義可得且，解得的值即可．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程的一個根是，且，解得：，故選：．【點評】本題考查一元二次方程解的定義及一元二次方程的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．8．（2024?東莞市校級二模）如果關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則代數(shù)式的值為A． B．2023 C．2024 D．2025【分析】把代入，可得，再代入，即可求解．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程的一個解是，，即，．故選：．【點評】本題主要考查了一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確方程的解一定使得原方程成立．9．（2024?涼山州）已知，，則的值為3．【分析】由已知條件可得，將其代入中整理后解一元二次方程求得符合題意的的值即可．【解答】解：，，，，即，解得：，（舍去），即的值為3，故答案為：3．【點評】本題考查一元二次方程的解，結(jié)合已知條件得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．四．解一元二次方程-直接開平方法（共3小題）10．（2023秋?萍鄉(xiāng)期末）解方程：．【分析】開平方求出的值，然后求出的值即可．【解答】解：由原方程，得，則或，整理，得或，解得，．【點評】本題考查了解一元二次方程直接開平方法．如果方程能化成的形式，那么．11．（2024?瀘縣一模）解方程：．【分析】由原方程得到，利用直接開平方法，方程兩邊直接開平方即可．【解答】解：由原方程，得，直接開平方，得，解得，．【點評】題主要考查了解一元二次方程直接開平方法，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2024?柳州一模）解方程：．【分析】先變形得到，然后利用直接開平方法求解．【解答】解：，所以，．【點評】本題考查了解一元二次方程直接開平方法：形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．五．解一元二次方程-配方法（共3小題）13．（2024?合肥二模）解一元二次方程．【分析】先把方程左邊化為完全平方公式的形式，再利用直接開方法求解即可．【解答】解：，，，，，．【點評】本題考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解題的關(guān)鍵．14．（2024?金平區(qū)校級一模）解方程：．【分析】方程移項后，利用完全平方公式配方，再利用平方根定義開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程，配方得：，開方得：，解得：，．【點評】此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15．（2024?景德鎮(zhèn)二模）王明在學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程后，解方程的過程如下：解：移項，得．第一步二次項系數(shù)化為1，得．第二步配方，得．第三步因此．第四步由此得或．第五步解得，．第六步（1）王明的解題過程從第二步開始出現(xiàn)了錯誤；（2）請利用配方法正確地解方程．【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．（1）由配方法解一元二次方程即可判斷錯誤的步驟；（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案．【解答】解：（1）解題過程從第二步開始出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是系數(shù)化為1時，等式右邊的未除以2，故答案為：二；（2）．移項，得：，二次項系數(shù)化為1，得：，配方，得：，因此，由此得：或，解得：．【點評】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．六．解一元二次方程-公式法（共3小題）16．（2024?鐵鋒區(qū)二模）解方程：．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：這里，，，△，，，．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適、簡便的方法求解．17．（2024?高青縣校級一模）解方程：．【分析】根據(jù)所給方程，用公式法對其進行求解即可．【解答】解：由題知，，，，所以△，所以，故．【點評】本題考查解一元二次方程公式法，熟知公式法是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋?廈門期末）解方程：．【分析】找出，及的值，得到根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：這里，，，△，，則，．【點評】此題考查了解一元二次方程公式法，利用公式法解方程時，首先將方程整理為一般形式，找出，及的值，當(dāng)根的判別式的值大于等于0時，代入求根公式即可求出解．七．解一元二次方程-因式分解法（共3小題）19．（2024?河源一模）解方程：．【分析】首先把一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程的乘積，即，然后解一元一次方程即可．【解答】解：，，或．【點評】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握因式分解法解一元二次方程的步驟，此題難度不大．20．（2024?郴州二模）解方程：．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：，分解因式得：，解得：，．【點評】此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．21．（2024?建華區(qū)三模）解方程：．【分析】由于方程左右兩邊都含有，可將看作一個整體，然后移項，再分解因式求解．【解答】解：原方程可變形為：，，或；解得，．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．八．換元法解一元二次方程（共3小題）22．（2023秋?金壇區(qū)校級月考）設(shè)，是一個直角三角形兩條直角邊的長，且，求的值．【分析】設(shè)，則原方程化為，求出，，求出或3，根據(jù)、為直角三角形的兩直角邊得出且，再求出答案即可．【解答】解：，設(shè)，則原方程化為：，，，或，，，即或3，，是一個直角三角形兩條直角邊的長，，，，舍去，即．故答案為：3．【點評】本題考查了用換元法解一元二次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．23．（2022秋?渝中區(qū)期末）閱讀材料，解答問題．解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)，則原方程可化為．然后利用因式分解法解該方程，進而求得的值；然后再利用直接開平方法求得的值；（2）設(shè)，則原方程可化為，然后利用因式分解法解該方程，進而求得的值；然后再利用公式法求得的值．【解答】解：（1）設(shè)，則原方程可化為，整理，得，解得，．當(dāng)時，即，解得，當(dāng)時，即，解得．綜上所述，原方程的解為，；（2）設(shè)，則原方程可化為，整理，得，解得，．當(dāng)時，即，，當(dāng)時，無解．原方程的解為，．【點評】本題主要考查了換元法和因式分解法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．24．（2023秋?賽罕區(qū)校級期中）提出問題：為解方程，我們可以令，于是原方程可轉(zhuǎn)化為，解此方程，得，（不符合要求，舍去）．當(dāng)時，，．原方程的解為，．以上方法就是換元法解方程，從而達到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解決問題：運用上述換元法解方程：．【分析】設(shè)，則原方程可化為，求出的值，再代入求出即可．【解答】解：，設(shè)，則原方程可化為，，或，解得，：，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以原方程的解為，，，．【點評】本題考查了用換元法解方程和解一元二次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．九．根的判別式（共4小題）25．（2023秋?東城區(qū)校級期末）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程恰有一個根小于，求的取值范圍．【分析】（1）計算根的判別式得到△，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）解方程得到，，則，然后解不等式即可．【解答】（1）證明：△，此方程總有兩個實數(shù)根；（2），，，此方程恰有一個根小于，，解得，即的取值范圍為．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．26．（2023春?泰安期中）已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）已知是關(guān)于的方程的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩條邊長．①求的值；②求的周長．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△，由此可證出不論取何值，方程必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）①先把代入方程得；②方程為，利用因式分解法解方程得到，，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系確定三角形三邊長，然后計算對應(yīng)的三角形周長．【解答】（1）證明：，，，△，不論取何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解①：把代入方程得：，解得；②方程為，解得，，因為這個方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩條邊長，而，所以這個等腰三角形三邊分別為、5、5，所以的周長為．【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三邊的關(guān)系．27．（2023秋?崆峒區(qū)校級期中）已知關(guān)于的一元二次方程，其中、、分別為三邊的長．（1）如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)方程解的定義把代入方程得到，整理得，即，于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；（2）根據(jù)判別式的意義得到△，整理得，然后根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形．【解答】解：（1）是等腰三角形．理由如下：是方程的根，，，，，是等腰三角形；（2）是直角三角形．理由如下：方程有兩個相等的實數(shù)根，△，，，是直角三角形．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．也考查了勾股定理的逆定理．28．（2023秋?南部縣校級月考）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）已知等腰的底邊，若，恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．（3）閱讀材料：若三邊的長分別為，，，那么可以根據(jù)秦九韶海倫公式可得：，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點，根據(jù)以上信息，求的面積．【分析】（1）根據(jù)△，構(gòu)建不等式求解即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得一元二次方程兩根相等，利用△，構(gòu)建方程求解值，即可得一元二次方程，解方程可求解，，進而可求解的周長；（3）由海倫公式可求解的面積，過分別作，，，垂足分別為，，，利用角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合的面積可求解的長，再根據(jù)三角形的面積公式計算可求解．【解答】解：（1）由題意得：△，且，化簡得：，解得：且；（2）由題意知：，恰好是等腰的腰長，，，是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根，△，解得，，解得，，的周長為：；（3）由（2）知：的三邊長為3，3，4，，，過分別作，，，垂足分別為，，，是角平分線的交點，，，解得，．【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．一十．根與系數(shù)的關(guān)系（共5小題）29．（2024?玄武區(qū)二模）關(guān)于的方程為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數(shù)根【分析】先計算判別式的值，再利用非負數(shù)的性質(zhì)得到△，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：整理關(guān)于的方程為：，△，方程有兩個不相等的實數(shù)根，兩根之積為，方程有一個正根，一個負根．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．30．（2024?賽罕區(qū)二模）若，且有，及，則的值是A． B． C． D．【分析】方程兩邊同時除以，等式仍成立，和可看作方程的兩根，由此可解答．【解答】解：，．，即，和可看作方程的兩根，，即．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和解的定義，解題的關(guān)鍵是掌握，是一元二次方程的兩根時，．31．（2024春?諸暨市期中）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為A．2025 B．2023 C． D．【分析】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計算即可．【解答】解：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，，，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題的關(guān)鍵是明確兩根之和為．32．（2024?順德區(qū)三模）已知是方程的一個根，則它的另一根是A． B． C． D．【分析】先設(shè)方程的另外一個根為，然后根據(jù)兩根之和為，即可求得的值．【解答】解：設(shè)方程的另外一個根為，是方程的一個根，，解得，故選：．【點評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程兩根之和為．33．（2024?鹽城三模）設(shè)方程的兩個根為，，那么的值等于A． B．1 C． D．2【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．【解答】解：方程的兩個根為，，，故選：．【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩根之和等于．一十一．由實際問題抽象出一元二次方程（共3小題）34．（2024?眉山）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為A． B． C． D．【分析】利用2021年的產(chǎn)量年平均增長率為年的產(chǎn)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．35．（2024?鼓樓區(qū)校級二模）學(xué)校組織了一次籃球單循環(huán)比賽（每兩隊之間只進行一次比賽），共進行了28場比賽，設(shè)參加這次比賽的隊有個，則可列方程A． B． C． D．【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），個球隊比賽總場數(shù)，由此可得出方程．【解答】解：設(shè)邀請個隊，每個隊都要賽場，但兩隊之間只有一場比賽，由題意得，，故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象一元二次方程的知識，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)與球隊之間的關(guān)系．36．（2024?離石區(qū)模擬）某地政府準備在如圖所示的寬為25米的矩形地塊上建一所學(xué)校，設(shè)計要求將該矩形地塊分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地塊恰好均為正方形，丙地塊為矩形，甲地塊為教學(xué)區(qū)，丙地塊為行政辦公場區(qū)，乙地塊為學(xué)生活動區(qū)．若丙地塊的面積為30平方米，則矩形地塊的長為多少米，設(shè)矩形地塊長為米．根據(jù)題意列方程正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的面積甲地的面積乙地的面積丙地塊的面積列方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得，即．故選：．【點評】本題主要考查了根據(jù)實際問題列一元二次方程，找準題目的等量關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．一十二．一元二次方程的應(yīng)用（共8小題）37．（2024?黑龍江三模）在數(shù)學(xué)實踐課上，小華要給一幅長，寬的手抄報加一個邊框，如圖所示，上下左右邊框的寬度相等，且整個圖形面積為，則小華添加的邊框的寬度是A． B． C． D．【分析】設(shè)小華添加的邊框的寬度是，則整個圖形的長為，寬為，根據(jù)整個圖形面積為，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小華添加的邊框的寬度是，則整個圖形的長為，寬為，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），小華添加的邊框的寬度是．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．38．（2024?城關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，，，為矩形的四個頂點，，，動點，分別從點，同時出發(fā)，點以的速度向點移動，一直到達點為止，點以的速度向點移動，當(dāng)點到達點時點隨之停止運動．（1），，，（用含的代數(shù)式表示）；（2）為多少時，四邊形的面積為；（3）為多少時，點和點的距離為．【分析】（1）當(dāng)運動時間為時，根據(jù)點，的運動方向及運動速度，即可用含的代數(shù)式表示出各線段的長度；（2）利用梯形的面積計算公式，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值；（3）過點作于點，則，利用勾股定理，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)運動時間為時，，，，．故答案為：；；；．（2）依題意得：，整理得：，解得：答：當(dāng)為5時，四邊形的面積為．（3）過點作于點，則，如圖所示．依題意得：，即，解得：，．答：當(dāng)為或時，點和點的距離為．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各線段之間的關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出各線段的長度；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（3）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．39．（2024?韓城市模擬）九年級（1）班在畢業(yè)之際，每一名學(xué)生都互相寫了一條祝福留言，全班一共寫了1640條祝福，則九年級（1）班共有多少名學(xué)生？【分析】設(shè)九年級（1）班共有名學(xué)生，則每名學(xué)生需寫條祝福留言，利用全班寫祝福留言的總條數(shù)全班人數(shù)（全班人數(shù)，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)九年級（1）班共有名學(xué)生，則每名學(xué)生需寫條祝福留言，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：九年級（1）班共有41名學(xué)生．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．40．（2024?榆陽區(qū)二模）某單位響應(yīng)綠色環(huán)保倡議，提出要節(jié)約用紙，逐步走向“無紙化”辦公．據(jù)統(tǒng)計，該單位2月份紙的用紙量為1000張，到了4月份紙的用紙量降到了640張．求從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率．【分析】設(shè)從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率為，利用該單位4月份紙的用紙量該單位2月份紙的用紙量從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率），可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率為，根據(jù)題意得：，，解得：，（不符合題意，舍去）．答：該單位紙的用紙量月平均降低率為．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．41．（2024?金平區(qū)二模）2023年7月，第31屆世界大學(xué)生夏季運動會在成都舉辦，其中大運會吉祥物蓉寶廣受歡迎，成為熱銷商品．某商家以每套40元的價格購進一批蓉寶．當(dāng)該商品每套的售價是50元時，每天可售出180套，若每套的售價每提高2元，則每天少賣4套．設(shè)蓉寶每套的售價定為元，該商品銷售量套．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天銷售所獲的利潤為到4800元，求的值．【分析】（1）利用日銷售量，即可找出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用總利潤每套的銷售利潤日銷售量，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，即；（2）根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，．答：的值為80或100．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．42．（2024?埇橋區(qū)校級模擬）為了緩解我市新型冠狀肺炎護目鏡需求，兩江新區(qū)某護目鏡生產(chǎn)廠家自正月初三起便要求全體員工提前返崗．在接到單位的返崗任務(wù)后，員工們都毫無怨言，快速回到了自己的工作崗位，用努力工作的行動踐行著自己的社會責(zé)任感與社會擔(dān)當(dāng)．已知該廠擁有兩條不同的護目鏡加工生產(chǎn)線、．原計劃生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡400個，生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡500個．（1）若生產(chǎn)線、共工作12小時，且生產(chǎn)護目鏡總數(shù)量不少于5500個，則生產(chǎn)線至少生產(chǎn)護目鏡多少小時？（2）原計劃、生產(chǎn)線每天均工作8小時，但現(xiàn)在為了盡快滿足我市護目鏡的需求，兩條生產(chǎn)線每天均比原計劃多工作了相同的小時數(shù)，但因為機器損耗及人員不足原因，生產(chǎn)線每增加1小時，該生產(chǎn)線實際工作時每小時的產(chǎn)量均減少10個，生產(chǎn)線每增加1小時，該生產(chǎn)線每小時的產(chǎn)量均減少15個，這樣一天生產(chǎn)的護目鏡將比原計劃多3300個，求該廠實際每天生產(chǎn)護目鏡的時間．【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)線生產(chǎn)護目鏡小時，則生產(chǎn)線生產(chǎn)護目鏡小時，利用工作總量工作效率工作時間，結(jié)合該廠每天生產(chǎn)護目鏡總數(shù)量不少于5500個，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該廠實際每天生產(chǎn)護目鏡的時間為小時，則生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡個，生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡個，利用工作總量工作效率工作時間，結(jié)合該廠實際一天生產(chǎn)的護目鏡將比原計劃多3300個，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)線生產(chǎn)護目鏡小時，則生產(chǎn)線生產(chǎn)護目鏡小時，根據(jù)題意得：，解得：，的最小值為7．答：生產(chǎn)線至少生產(chǎn)護目鏡7小時；（2）設(shè)該廠實際每天生產(chǎn)護目鏡的時間為小時，則生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡個，生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡個，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：該廠實際每天生產(chǎn)護目鏡的時間為14小時．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．43．（2024春?宿遷期末）如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度51米的櫥欄（圖中實線部分）圍成兩個大小相同的長方形圍欄，設(shè)長為米．（1）米（用含的代數(shù)式表示）；（2）若長方形圍欄面積為210平方米，求的長；（3）長方形圍欄面積是否有可能達到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)的值；若不可能，則說明理由．【分析】（1）由題意知，，代入求解即可；（2）由題意知，即，且，求解可得，由題意知，，即，整理得，，計算求解滿足要求的的值即可；（3）根據(jù)題意，令，由△，可知該方程沒有實數(shù)根，進而可判斷長方形圍欄面積是否有可能達到240平方米．【解答】解：（1）由題意知，，，，故答案為：；（2）由題意知，即，解得，，，解得，，，由題意知，，即，整理得，，，解得，（不合題意，舍去），，長方形圍欄面積為210平方米，的長為10；（3）不可能，理由如下：令，整理得，△，該方程沒有實數(shù)根，長方形圍欄面積不可能達到240平方米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式以及根的判別式．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列一元二次方程并正確求解．44．（2024?古浪縣二模）某校生物小組有一塊長，寬的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道．要使種植面積為，小道的寬應(yīng)是多少？【分析】本題可設(shè)道路的寬為，將4塊草地平移為一個長方形，長為，寬為．根據(jù)長方形面積公式即可求出道路的寬．【解答】解：設(shè)道路的寬為，依題意有，整理，得．，，（不合題意，舍去）答：小道的寬應(yīng)是．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，再設(shè)出未知數(shù)，列出方程．一十三．配方法的應(yīng)用（共3小題）45．（2023秋?宿遷期末）的三邊分別為，，，有，，按邊分類，則是等腰三角形．【分析】將，代入中得到關(guān)系式，利用完全平方公式變形后，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出與的值，進而求出的值，即可確定出三角形形狀．【解答】解：，，，即，整理得：，，，，即；，即，，則為等腰三角形．故答案為：等腰．【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．46．（2024春?張店區(qū)校級月考）已知，則的值為8．【分析】利用配方法即可解決問題．【解答】解：，，，，，．故答案為：8．【點評】本題考查配方法的應(yīng)用、冪的有關(guān)性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用整體的思想思考問題，屬于中考常考題型．47．（2024春?西山區(qū)校級月考）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，例如：當(dāng)時，求的最小值．解：，，即時取等號．的最小值為4．請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）當(dāng)時，求的最小值．【分析】（1）根據(jù)閱讀中的公式計算即可；（2）先配方，化簡，運用公式計算即可．【解答】解：（1）當(dāng)時，，，，即時，的最小值為2；（2），，，又，，即，的最小值為．【點評】本題考查了配方法，完全平方公式的應(yīng)用，二次根式混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中閱讀內(nèi)容解答．一．選擇題（共10小題）1．（2024春?鄞州區(qū)期中）下列方程屬于一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個選項中的方程即可．【解答】解：．方程是二元二次方程，選項不符合題意；．方程是二元一次方程，選項不符合題意；．方程是一元二次方程，選項符合題意；．方程是一元一次方程，選項不符合題意．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?江津區(qū)期末）如果方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值是A．2 B． C． D．3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出的值即可．【解答】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，且，且，即．故選：．【點評】本題考查了一元一次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出且是解此題的關(guān)鍵．3．（2023秋?贛榆區(qū)期末）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、【分析】移項，把右邊化為0，變?yōu)橐话闶郊纯傻贸龃鸢福窘獯稹拷猓?，即，即二次項系?shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是3、、．故選：．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且特別要注意的條件．在一般形式中叫二次項，叫一次項，是常數(shù)項．其中，，分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．4．（2023秋?瀍河區(qū)期末）若是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值是A． B． C．1 D．2【分析】把代入方程，得出一個關(guān)于的方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：，解得：．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出一個關(guān)于的方程．5．（2023秋?常州期末）方程的解為A．， B．， C．， D．，【分析】首先直接開平方可得一元一次方程，再解即可．【解答】解：，，則，，，，故選：．【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，關(guān)鍵是掌握形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得．6．（2024?莫旗一模）畢業(yè)10年后，某班同學(xué)聚會，見面時相互間均握了一次手，一共握手的次數(shù)為780，則這次參加聚會的同學(xué)有A．38人 B．40人 C．41人 D．42人【分析】設(shè)這次參加聚會的同學(xué)有人，利用握手的總次數(shù)這次參加聚會的同學(xué)人數(shù)（這次參加聚會的同學(xué)人數(shù)，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這次參加聚會的同學(xué)有人，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），這次參加聚會的同學(xué)有40人．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2024?麥積區(qū)校級模擬）設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】先利用一元二次方程解的定義得到，利用降次的方法得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：是方程的實數(shù)根，，，，，是方程的兩個實數(shù)根，，．故選：．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．也考查了一元二次方程的解．8．（2024?珠暉區(qū)一模）一元二次方程的根的情況是A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】先計算根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：△，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．9．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期末）某學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生向山區(qū)捐送圖書，第一年共捐書400本，三年共捐書1525本．設(shè)該校捐書本數(shù)的年平均增長率為，根據(jù)題意，下列方程正確的是A． B． C． D．【分析】第二年的捐書量第一年的捐書量年平均增長率），第三年的捐書量第一年的捐書量年平均增長率），三年共捐書量第一年的捐書量第二年的捐書量第三年的捐書量，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，故選：．【點評】本題主要考查列一元二次方程解決實際問題，讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程是解決本題的關(guān)鍵．10．（2024?河南模擬）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是A． B．且 C．且 D．【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且△，然后求出兩不等式的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得且△，解得且．故選：．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．二．填空題（共6小題）11．（2024春?肇源縣月考）方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為2．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出即可．【解答】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，且，解得：．故答案為：2．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出和是解此題的關(guān)鍵．12．（2024?泗洪縣一模）若是關(guān)于的方程的解，則的值為2020．【分析】把代入方程求出的值，再將所求式子變形，然后將的值代入計算即可．【解答】解：是關(guān)于的方程的解，，化簡，得：，，故答案為：2020．【點評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．13．（2024?惠城區(qū)一模）若關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是．【分析】由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，△，解得：．故答案為：．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△時，方程沒有實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．14．（2024?鞍山模擬）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，．故答案為：．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．15．（2022春?西湖區(qū)校級期中）已知實數(shù)，滿足，，則代數(shù)式的值等于2或7．【分析】分兩種情況：（1）當(dāng)時；（2）當(dāng)時，聯(lián)立方程組，運用加減消元法并結(jié)合完全平方公式，求得和的值，然后將原式通分化簡，代入求解．【解答】解：（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，聯(lián)立方程組，將①②得：，整理得：③，將①②得：，整理得：，，，又，，即④，將④代入③，得，即，又，，．綜上所述，代數(shù)式的值等于2或7．故答案為：2或7．【點評】本題考查分式的化簡求值及完全平方公式的運用，掌握完全平方公式的公式結(jié)構(gòu)和分式的化簡計算法則準確計算是解題關(guān)鍵．16．（2023秋?安州區(qū)期末）如圖所示，某市世紀廣場有一塊長方形綠地長，寬，在綠地中開辟三條道路后，剩余綠地的面積為，則圖中的值為．【分析】由題意：剩余綠地的面積為，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），即圖中的值為，故答案為：．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用題，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）17．（2022秋?河?xùn)|區(qū)期末）解方程：（1）；（2）．【分析】（